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Remettant donc yo, à la place de oy , on aura :

d. gum=my-dy; et de cette manière la différentielle d'une puissance se trouve démontrée pour une valeur quelconque de l'exposant.

2°. Soit o r=a x; conséquemment qy=avet o (x+y)=a*ty; d'où l'on conclut o x. Qy= Q(x+y).

Divisant par oy, après avoir développé le second membre suivant les puissances des x , il vient

oly x2

303 px=1+ act

Фу

o'y ally ally les coefficiens

etc., devront être indépendans

py de la variable y, qui ne doit pas entrer dans la valeur de o x; or, si l'on fait

o'y

dy

Q1" y

+

2.3+ etc.;

2

* * 2.3

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A,

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2

2.3+ etc.

on en concluera facilement

EA", etc.;
Фу

Oy et par conséquent :

x2
0 x = ** =I+ A x + A'
=

+A3 On démontrera , comme à l'ordinaire , que la quantité A est le logarithme hyperbolique de la base a.

o'y L'équation = A donne d.oy=ply.dy = Aq y. dy; donc d.a'da'dy.

30. Soito(1+x)= Log. (1+x); on aura en mêmetempso y = Log. y et $ (y + y x ) = Log. (y + yx); et à cause de Log (y + xy) = Log.y + Log. (1+x), on en concluera l'équation caractéristique

oy + ®(1+x)=0(y + xy). Développant le second membre suivant les puissances de xy. et supprimant oy de part et d'autre, il vient

73

to etc. 3

x2

2.3

3

+

2

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Mdy

;donc

Les coefficiens yo yo yo o'y, y3 pill y, etc. , seront donc constans; mais si l'on fait

y d y = M; on en concluera , par des différentiations répétées ga phly=-M, yo'l y = 2 M, y4q" y=- 2.3. M, etc. Généralement, de l'équation ga o(a) y =N, on tirera, en différentiant, pint?)y tnya-(r)y=0; et par conséquent

gutio (+ 1) y=- ny Q (n)y=-nN; résultat qui renferme la loi des coefficiens.

La valeur de 0 (1 + x) devient donc 0(1+x)= Log (1+x) = M (x

+ etc. ).

3 4 La quantité M qui reste indéterminée, est ce qu'on appelle le Module , dont la valeur dépend de l'espèce de logarithme que l'on considère, et qui est égal à l'unité pour les logarithmes hyperboliques. L'équation yo'y=M, donne d.oy=dly.dy

y
Mdy
d. log.y =

у 40. Soit Q2=cos. x; par conséquent oy=cos. Y, Q (y +x) = cos (y + x) et o (y-x) = cos(y — *); l'équation connue

2. cos. X. cos: y=cos (y + x) + cos. (y), deviendra

20x0y=p(y + x) + ® (y). En développant les deux fonctions (y + x), o (y - 3) suivant les puissances de x, et divisant ensuite par 2 Qy, on trouve gro. Olv

Oly Q x =i+

to etc. j Фу

2. 3.4 2. 3. 4. 5. 6.' oy d'où l'on conclut , comme précédemment, que tous les coefficiens

qily orig

etc, doivent être constans; faisant O y

фу o y donc

or on en tirera sans difficulté

VI

*4

+

+

2

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qilly = -4, etc:

ах

2

Фу
Фу

Фу et le développement de o x deviendra

of ac 4 ? 6 Q Xcos. it +

2.3.4+2.3.4.5.6+ etc. On démontrera tout-à-l'heure que la constante « égale - I.

1°: Soit enfin fx= sin. x, et en même temps Q y = cos. y. On aura sin.(y + x)=f(y + x), sin. (y - 3)=f(y- *) d'ailleurs on a

2. sin. x. cos. y =sin. (y + x) - sin (y-x); par conséquent

2 4 x. Qy = (y + x)-f(y->): Développant le second membre suivant les puissances de x , et divisant par 2. Qy, il vient fyty

rc 5 **Ex.

ofty Фу 2.3

2.3. 5

+ etc. Pere Py Ainsi tous les coefficiens

15 y, etc., doivent être cons

t'i tans; or, si l'on pose

on en concluera

фу q"!! Try

nity
a 6,

:696,
Фу
ФУ

øy étant la constante déjà employée dans le développement de cos. x. Celui de f x devient donc

6 a x2 x=sin. = 60+ +

2.3.4.5 On démontre rigoureusement que la limite du rapport

est l'unité ; il faut donc qu'on ait 6= I. De plus les développemens de sin. w et cos. x doivent rendre identique l'équation sin. x + cos. XI; or on a

6• a xc4 cos'. ec mi to set etc., sin. 6* 3* +

3

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2. 3.

sin. Oca

+ etc;

1

5

par conséquent
cos. *x + sin. 'x=ito

x=itx: (6't«) + etc.=1; d'où il suit a=-69 =-1. En faisant « = -1 et 6= I dans les développemens de cos. » et sin. w, on trouve c4

xa

öc ? + -, etc. sin.x=x

etc. 2.3.4.

2.3.4.5 ty L'équation =b=1, donne d. fy=ty.dy=0 y.dy; donc d. sin. y=cos. y.d y; résultat d'après lequel on peut former les différentielles de toutes les fonctions trigonométriques.

COS. X1

Sur la Courbure des Surfaces.

M. Dupin, capitaine au corps impérial du génie maritime, a envoyé à S. Exc. le comte de Cessac et à M. le comte Monge l'analyse d'un ouvrage sur la courbure et l'osculation des surfaces, qu'il a l'intention de faire imprimer : un de ses amis m'a écrit qu'en attendant la publication on pouvoit insérer dans la Correspondance les deux théorêmes suivans , qui sont énoncés dans l'analyse de l'ouvrage de M. Dupin; on propose de trouver la démonstration de ces deux théorêmes.

H. C.

THÉORÊ MES à démontrer.

1

Premiere Proposition. Etant donnée une surface courbe quelconque et un point P sur cette surface, on mène par ce point un plan tangent à la surface , et on la coupe par une suite de plans parallèles au plus tangent; par le même point P de contact, on fait passer deux courbes quelconques C et C qui rencontrent chacun des plans parallèles au plan tangent en deux points; on joint ces points par des lignes droites, et le système de ces droites forme une surface gauche dont la droite génératrice est constamment parallèle au plan tangent au point P; considérant dans chaque plan coupant parallèle au plan, tangent, le contour de la section et la droite qui unit' les deux points de rencontre du plan coupant et des deux courbes Cet C', on fait mouvoir la section dans son plan , de telle manière que chacun des points de cette section parcourt une droite parallèle A la droite qui unit les deux points des courbes C et C, le lieu

des sections parallèles transportées chacune dans son plan d'après la même loi, est une nouvelle surface qui est osculatrice de la surface donnée ; si on suppose que les deux courbes C et C'ont un contact du premier ordre avec des lignes de la surface donnée , la nouvelle surface aura avec celle-ci un contact du troisième ordre; et en général si le contact des courbes est du meme ordre, le contact de la surface dérivée avec la surface primitive sera du degré m + 2.

Deuxième Proposition. Etant donnée la courbe de contact de deux surfaces dont l'une est circonscrite à l'autre, on mène par une tangente à cette courbe un plan quelconque , qui coupe les deux surfaces suivant deux lignes courbes ; quel que soit le point de la courbe donnée, par lequel on ait mené la tangente les deux sections planes ont en ce point un contact du second ordre, ou, autrement, elles sont osculatrices l'une de l'autre.

De l’Epicy cloïde sphérique et de sa tangente ;

Par M. HACHETTE.

(1) On a vu (pag. 27 du vol. 2, No. 1 ) que M. Gaultier construit la tangente à l'épicycloïde sphérique, en la considérant comme la résultante des deux vitesses dont le point décrivant de l'épicycloïde est animé à chaque instant, et il démontre d'après cette construction le théorême (1) énoncé pag. 25 sur la tangente à l'épicycloïde en un point quelconque. Sa démonstration est fondée sur les deux propositions suivantes de géométrie :

(2) Première Proposition. Les plans tangens à une sphère, menés par des points pris sur un cercle de cette sphère, font tous le même angle avec le plan de ce cercle.

(1) Théorême : Si pour un point quelconque d'une épicycloïde sphérique on conçoit le cercle mobile auquel il appartient, la droite qui toucheroit l'épicycloïde plane qu'on obtiendroit dans le cas où les deux cercles, l'un fixe et l'autre mobile', seroient dans le même plan, est la projection orthogonale de la tangente à l'épicycloïde sphérique sur le plan du cercle mobile correspondant au point de contact, quelle que soit d'ailleurs l'inclinaison du plan de ce dernier cercle par rapport au plan du cercle fixe.

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