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Deuxième Proposition. Quelle que soit la direction des lignes de projection d'un parallelogramme sur un plan, ce parallelogramme se projette suivant un second parallelogramme dont la diagonale est la projection de la diagonale du premier,

Du Rapport des deux vitesses d'un point qui décrie

une Epicycloïde sphérique.

(4) Le point qui décrit l'épicycloïde sphérique est animé de deux mouvemens de rotation, l'un autour de la ligne des pôles du cercle fixe , et l'autre autour de la ligne des pôles du cercle mobile (la ligne des póles d'un cercle est la droite menée par le centre du cercle perpendiculairement à son plan). Les arcs décrits en même temps autour de la ligne des pôles du cercle fixe par les différens points du cercle mobile, sont proportionnels aux distances de ces points à cette ligne des pôles; or , l'un de ces points en est distant d'une quantité égale au rayon du cercle fixe, et ce point est celui dans lequel les cercles fixe et mobile se touchent; donc la vitesse de rotation de ce point autour de la ligne des pôles du cercle fixe est, à la vitesse de rotation d'un point quelconque du cercle mobile, dans le rapport du rayon du cercle fixe à la perpendiculaire abaissée du point quelconque sur l'axe de rotation. Mais en représentant par i l'arc que parcourt dans un temps donné un point quelconque M du cercle mobile autour de la ligne des pâles, le point de contact du cercle fixe et du cercle mobile décrit dans le même temps autour de la ligne des pôles dụ cercle fixe un arc de même longueur 1 compté sur le cercle fixe; donc le point M du cercle mobile décrit dans le même temps, autour de la ligne des pôles du cercle fixe, un arc d'un rayon égal à la distance du point M à cette ligne des pôles, et dont la longueur est (en nommant cette

d distance d et le rayon du cercle fixe r), IX, ou ; or, les arcs que le point M du cercle mobile tend à décrire dans le même temps sont les mesures de ses deux vitesses de rotation, l'une autour de la ligne des pôles du cercle mobile, et l'autre autour de la ligne des pôles du cercle fixe ; donc ces deux vitesses sont

d dans le rapport de 1 a ou dans le rapport de rà d, c'est-à-dire dans le rapport du rayon du cercle fixe à la perpendiculaire abaissée du point de l'épicycloïde que l'on considère sur la ligne des pôles de ce cercle fixe.

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Construction de la Tangente à l'Epicycloïde. (5) Soit (fig. 1, 2, 3, planche II , ) A my le cercle fixe, tracé sur le plan de projection qu'on suppose horizontal ; soient (fig. 2) FF', F C les lignes des pôles du cercle fixe et du cercle mobile tracées sur le second plan de projection qu'on suppose vertical ; F' A et AC B sont les projections sur ce plan du cercle fixe et du cercle mobile; B A D ou CFF) est l'angle des plans de ces deux cercles.

(6) Le cercle mobile qui touche le cercle fixe au point A se projette (fig. 1) suivant l'ellipse A M"b, et pour le montrer dans sa véritable grandeur, on suppose qu'il ait tourné autour de son diamètre AB, jusqu'à ce qu'il ait pris la position AM B (fig. 3), et que le plan de la fig. 3 se confonde avec celui de la fig. 2.

(7) Un point quelconque M ( fig. 3) du cercle mobile se projette ( fig. 1), en un point M", tel que D' M' perpendiculaire à A C soit égal à MM' (fig. 3) perpendiculaire à À B. D'après l'article (4), les vitesses du point quelconque M (fig. 3), de l'épicycloïde sont dans le rapport du rayon (fig. 1) F A ou FM du cercle fixe, à la distance M" Fiodu point M'à ļa ligne des pôles Fl du cercle fixe, ou menant les tangentes A T, MID des cercles qui ont pour rayons F'A et FM", ces deux vitesses sont dans le rapport de ÅT à M" D; donc si l'on porte sur la droite ME (fig. 3) qui touche le cercle mobile au point M, une droite égale à , et si l'on conçoit par ce point M une autre droite égale et parallèle à M" D, on aura, à partir du point M, deux droites qui représenteront en grandeur et en direction les vîtesses de ce point M; donc la diagonale du parallelogramme construit sur ces deux droites comme côtés, sera la tangente à l'épicycloïde au point M; il s'agit maintenant de démontrer que cette tangente rencontrera la droite qui est menée (fig. 3) par le point B extrémité du diamètre AB, perpendiculairement au plan du cercle AMB; ce diamètre AB du cercle mobile AMB passe par le point de contact A de ce cercle et du cercle fixe.

Démonstration du Théorême (Voyez la note, pag. 87)

sur la Tangente à l'Epicycloïde sphérique.

(8) Soit projette le parallelogramme des vitesses sur le plan du cercle mobile dont la trace sur le plan horizontal est AT (fig. 1), en prenant pour lignes de projection des droites horizontales parallèles à A D ou perpendiculaires à la trace A T's la vitesse autour de la ligne des pôles du cercle fixe représentée en grandeur par M" D, se projettera suivant une droite égale à M'D', et (tig. 3) suivant la direction de la droite MM"=M'D'; la vitesse autour de la ligne des pôles du cercle mobile est représentée en grandeur par AT (fig. 1); et comme la direction de la tangente ME (fig. 3) de cette vitesse est dans le plan même du cercle mobile sur lequel on projette le parallelogramme des vitesses , MM et ML (fig. 3) = AT seroni les deux côtes du

parallelogramme des vitesses projetté sur le plan du cercle mobile; donc la diagonale MQ de ce parallelogramme sera ( art. 3) la projection de la diagonale du parallelogramme des vitesses , et par conséquent la projection de la tangente à l'épicycloide sur le plan du cercle'mobile. Cette projection coupe le diamètre A B au point pl ; or ce diamètre est la projection oblique de la perpendiculaire au plan du cercle AM B elevée par le point B sur ce plan; donc le point pl doit aussi être la projection d'un point de cette perpendiculaire, dans l'hypothèse où elle rencontre la tangente à l'épicycloide ; ainsi la question est ramenée à démontrer que le point pl est à-la-fois la projection d'un point de la tangente à l'épicycloïde, et d'un point de la perpendiculaire élevée par le point B au plan du cercle mobile, perpendiculaire que nous désignerons par la lettre r.

(9) Puisque l'épicycloide décrite par un point quelconque d'un cercle mobile est sur une sphère dont le rayon est égal à la droite qui unit un point quelconque du cercle mobile et le point d'intersection des lignes des pôles du cercle fixe et du cercle mobile, la tangente à l'épicycloïde est nécessairement dans un plan tangent à cette sphère ; donc après avoir mené par la tangente ME (fig. 3) un plan tan zent à la sphère du rayon AF, si ce plan coupe la perpendiculaire » en un point, et que la projection de ce point soit p', on en concluera que ce même point appartient à-la-fois et à la perpendiculaire x et à la tangente à l'epicycloïde ; pour trouver le point où le plan qui touche la sphère du rayon AF suivant ME, coupe la perpendiculaire », on mene d'abord le plan tangent à cette sphère au point A; AP perpendiculaire au rayon A F sera la trace de ce plan sur la fig. 2; et considérant le triangle rece tangle BAP, dans un plan perpendiculaire à celui du cercle mobile A MB , B P est la perpendiculaire , et BAP est l'angle de ce plan tangent avec le plan du cercle mobile AMD; or (art, 2 ), le plan tangent suivant ME fait avec le plan de ce cercle le même angle; donc si l'on porte la droite BK' qui est égale à MX, et qui est perpendiculaire à ME, de B en M', et si l'on mène M' P' parallèle à AP, P' sera le point d'intersection du plan tangent suivant ME et de la perpendiculaire r;

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reste donc à démontrer que le point p' intersection du diamètre Ap' B et de la diagonale Mp', est la projection du point p'.

(10) Pour construire la projection p' du point Pl sur le plan du cercle mobile, il faut employer le même systême de projection que pour les côtés du parallelogramme des vitesses; donc si on mene par le point P'une droite ppl parallèle à AD (fig. 3), elle coupera le diamètre A B au point demandé p!; d'où il suit que l'expression de la droite Bpl doit être la même, soit que l'on considère ce point p' comme la projection du point pl comme l'intersection du diamètre A B et de la droite MQp', qui est la projection de la diagonale du parallelogramme des vitesses ; considerons-le d'abord comme projection du point P', intersection du plan tangent à la sphere suivant et de la perpendiculaire *.

(11) Nommons le rayon du cercle fixe le rayon du cercle mobile

7, l'angle du plan de ces deux cercles le rayon

des tables Ayant prolongé le diamètre A B (fig. 2 ) jusqu'à ce qu'il rencontre la ligne

des pôles FF! du cercle fixe en un point B', on a

m ,

1.

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r

Le triangle rectangle FC B' donne :

rl cos mtr sin m:pl

cos m : FC= Les deux triangles rectangles FCA et B M' P' sont semblables,

COS m

sin m.

et on a :

r sin m FC:CA:: BM':BP=BMX

rtricos m Le triangle rectangle B P'p' donne :

sin m: cosm :: BPI: Bp=BP'X

COS m

sin m

pl cos m

donc

Bp=MBX

r+r! cos m première expression de B pr.

(12) Regardons maintenant le point p' (fig. 2) comme l'intersection du diamètre A B et de la projection AQp' de la diagonale du parallelogramme des vitesses du point M.

On a vu que les côtés MM', ML du parallelogramme M'MLQ sont dans le rapport des droites Fl D!, FA; d'où il suit que les droites EN, EM détermineront aussi la direction de la diagonale MON, pourvu que le rapport de ces dernières droites soit égal à celui de MMà ML ou de Fl D'à F A.

( 13 ) D'après les dénominations de l'article précédent, CM' BM':-pl, A M'=2rBM', AF Dans le triangle rectangle A M'D', on a :

AD' = cos m (211-BM'); et par l'article (12), (a) EN: EM::FD:FA::r+cos m (27-BM):r d'où l'on tire :

EN-EM:EM::cos m ( 2 r!.. BM'):7. et à cause EM=EB,

(b) BN: EM:: cos m ( 2 7! - BM):r les deux triangles rectangles CMM' et EMK sont semblables et donnent la proportion

EM(BM' F') CM:CM:: EM:EK= de cette équation et des proportions (a) et (b), on tire les va« leurs suivantes de EN et BN:

+cos m (2r'— BM')) EN

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ri.

M (1

r.

E M cos m ( 2 rl BM')
BN=

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EN-EKENK=

EM(r+r'cos m)(2 r' - BM')

rrl.
Les deux triangles rectangles N K M et NB p' donnent :

KM
NK:KM::NB:Bp'=NB X

NK
NB X BM'
Bp!

X BM',
NK.

r+ricosm deuxième expression de B p'; et comme elle est égale à celle qu'on a trouvée art. 11, il s'ensuit que la tangente à l'épicycloïde au point M (fig. 3) coupe la perpendiculaire B P au plan du cercle A M B en un point P', intersection de cette perpendiculaire et du plan qui touche la sphère du rayon AF au point M; donc la projection orthogonale de la tangente à l'é. picycloïde sur le plan du cercle mobile est une droite MB, qui passe par l'extrémité du diamètre A B de ce cercle, dont l'autre

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