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extrémité est le point de contact A du cercle mobile et du cercle fixe.

(14) Il est à remarquer que lorsque les droites F F', F C qui sont les lignes des pôles du cercle fixe et du cercle mobile, sont perpendiculaires entr'elles comme dans les fig. 1. a, fig. 2.2, la projection oblique Mp' et la projection orthogonale MB de la tangente à l'épicycloide sur le plan du cercle mobile se confondent, et que le point p' se projette dans ce cas en B extrémité du diamètre AB;c'est après avoir examine ce cas particulier, que M. Gaultier a employé le systême de projection oblique, qui l'a conduit à l'expression simple

de la droite Bp', qui determine la position de la sangente à l'épicycloïde pour le cas général où les deux lignes des pôles sont entr'elles un angle quelconque. (15) Les fig. 1, 2, 3, étant construites ainsi

3, étant construites ainsi que la projection de l'épicycluide sphérique sur le plan de la fig. 1, si on demande la tangente au point de cette projection, on abaissera la perpendiculaire p'p pil sur A D, et on fera pil pil=p'pl, la droite M" pil sera la tangente demandée.

(16) J'ai fait voir (pag. 26 de ce volume ) que la tangente à l'épicycloide est l'intersection de deux plans tangens à deux sphères dont les centres et les rayons sont connus ; il suit de l'article 13 que l'intersection d'un de ces plans tangens et d'une droite connue de position détermine un point de cette tangente, en sorte qu'en joignant ce point et le point de contact donné sur l'épicycloide , par une droite, on a encore la tangente à cetle courbe, comme par l'intersection des plans tangens aux sphères.

QUESTION PROPOSÉE AU CONCOURS GÉNÉRAL DES

LYCÉES DE PARIS (année 1809).

(ire. et ae. Classes de Mathématiques des Lycées. )

On suppose une sphère, donnée de position et tournant autour d'un de ses diamètres : par le centre de cette sphère on mène un plan indéfini, qui fait un angle donné avec l'axe de rotation: chacun des points de la sphère, dans son mouvement, décrit autour de cet axe une circonférence de cercle. On suppose maintenant que dans le plan donné il y ait un point qui se meuve autour de la sphère, dans une orbite circulaire, concentrique avec elle, et à une distance si considérable que les rayons

risuels menés de ce point à toute la surface de la sphère puissent être censés parallèles entre eux. Cela posé, s'il y a des taches sur la surface de la sphère, les cercles décrits par ces taches étant vus du point éloigné, paroîtront ovales.

On demande de déterminer la figure et l'équation de ces ovales projetées sur un plan perpendiculaire à la direction des rayons visuels.

Et comme les dimensions apparentes varient suivant la position du point éloigné dans son orbite, il y aura une position où on les verra dans leur plus grande ouverture, et un autre où on les verra extrêmement applatis et semblables à des lignes droites.

On demande de déterminer ces deux positions, en supposant toujours l'origine des rayons visuels assez éloignés du centre de la sphère, pour qu'on puisse les considérer comme parallèles : ce problême a son application dans la nature, lorsqu'on observe les taches du soleil dans les différens temps de l'année. La sphère douée d'un mouvement de rotation représente cet astre : le plan fixe est l'écliptique ; le point éloigné circulant dans ce plan se meut autour du soleil dans un orbite très-peu différent du cercle. Les taches du soleil observéés de la terre, présentent dans leur mouvement de rotation autour de cet astre, les apparences successives que nous proposons de déterminer.

Solution qui a remporté le premier Prix au Concours

général.

Par M. VANÉECHOUT, Elève de l'Ecole Polytechnique.

Soit A B (planc. I, fig. 4. ) l'axe de rotation de la sphère, O son centre, D une des positions du point qui circule dans le plan donné. Je considère comme le plan de la figure celui qui passe par AB et OD.

Tout point E de la sphère décrit une circonférence dont le plan est perpendiculaire à l'axe, et dont le centre est sur cet axe. La projection de ce cercle sur le plan de la figure 'est une perpendiculaire EHà AB; et si, dans ce plan , je prends EH pour axe de abscises, et une perpendiculaire à EH menée par le point E, pour axe des ordonnées, l'équation de la courbe que décrit le point E, est en représentant El parc, y=203-22.

Il s'agit de trouver l'équation de cette courbe projetée sur un

élevé par

plan perpendiculaire à Od. Je choisis celui mené par le point E ; la trace EX! de ce plan est perpendiculaire à OD; de plus, ce plan est perpendiculaire au plan de la figure (puisqu'il l'est à OD): il renferme donc l'axe des ordonnées que l'on suppose

le point E. Je conserve cette même ligne pour axe des ordonnées, et je prends la trace EX de ce plan pour axe des abscises. Tout point de la courbe se projette sur le plan perpendiculaire, en y abaissant une perpendiculaire qui sera par conséquent parallèle au plan de la figure. Donc tout point de la courbe et sa projection sont également distants du plan de la figure : ainsi les y ne doivent pas être changes. Quant aux x et x', si L est le pied de l'ordonnée d'un des points de la courbe, abaissant LM perpendiculaire sur EX!, M sera le pied de l'ordonnée de la projection du même point. Donc EL et EM sont l'x et l'ic' d'un même point.

ac Or on a x

cos LE M; et l'angle LEM est égal à l'angle BOD comme ayant les côtés perpendiculaires. Repré

x' sentant donc ce dernier par a, il en résulte x = L'équation de la projection est donc :

2 Coco acha y'a

ou yo = x' (2 c Cosa -- ) équation d'une ellipse rapportée à son sommet.

B: En la comparant à l'équation générale y'= x (2 A-),

B ou à A=CCOS a projection du rayon IE sur EX'; Ā

COS

1

COS a

2 COS a

2 COS a

I

COS

COS

d'où B =

= c. Le second axe est donc toujours égal à c. Il est donc le plus grand. Et comme c est une quantité constante, il s'ensuit que lellipse a plus ou moins d'ouverture selon que l'axe c cos e, ou simplement cos a, est plus ou moins grand.

Or, si 0 Bl (fig. 5) est la projection de OB sur le plan dans lequel se trouve le point décrivant, OB étant l'axe de rotation l'angle BOB'=0, est l'angle de cet axe et du plan, angle qui est donné. D étant l'une des positions du point décrivant, on BOD=«; représentons en outre DOB pary,

Si a, b, c sont les trois angles plans d'un angle trièdre, et que A,B,C soient les angles dièdres opposés, on a :

cos a =sin b sin c cos A t cos b cos C.

a

Et comme dans l'angle trièdre OBB'D, l'angle des deux plans BOB' et DOB est droit, on a cos a = cos O cosy:

Donc aux accroissemens ou décroissemens de cos y répondent ceux de cos a. Donc l'ellipse s'élargit ou s'applatit, selon que le point D s'approche ou s'éloigne de O B'. La plus grande valeur cos y est 1 ; alors le point D est sur OB' et il vient cos a=cos e. Le deuxième axe est c cos. 0. C'est la plus grande valeur qu'il puisse avoir. Donc jamais la courbe décrite par une des taches ne paroîtra un cercle, à moins que cost=1 d'où e=0; c'est-à-dire à moins que le plan donné ne passe par l'axe ; alors la courbe décrite paroît un cerle quand le point D est sur cet axe. Si l'on a cos 0

=0, d'où o =

= 100, y étant quelconque, a = 0, le second axe c cos a est aussi zéro ; et l'équation se réduit à x'= o équation de l'axe des ordonnées. Toujours l'on voit les courbes décrites suivant des lignes droites; et en effet , pour l'une quelconque des positions du point Di la direction O D des rayons visuels est constamment parallèle au plan de ces courbes; ce qui explique le résultat que

donne l'analyse.

0 étant quelconque, si cos y =o d'où y = 100°, O D est alors perpendiculaire à 0.B'; et l'on a coś « = o. Il arrive donc dans ce cas particulier ce qui arrive pour une position quelconque de D quand 0, = 100°.

on a COS

Extrait d'une Lettre de M. Gergonne, Professeur

de Mathématiques transcendantes au Lycée de Nimes , département du Gard.

to Juillet 1809. Dans votre intéressante feuille que je lis très-assidument, mais qui ne paroît pas aussi fréquemment que pourroient le desirer ceux qui aiment et cultivent les sciences exactes , M. Monge a démontré que le centre de gravité d'un tétraèdre est au milieu de la droite qui joint les milieux de deux arêtes opposées quelconques. Il y a quelque temps que j'étois parvenu au même théorême d'une manière un peu différente et fort simple, en partant d'une remarque de Roberval qui probablement seroit aujourd'hui tout-à-fait oubliée, si l'illustre auteur de la Mécanique Analytique ne lui avoit en quelque sorte assuré l'immo talité en la consignantdans ce bel ouvrage. Cette remarque consiste en ce que le centre de gravité d'un tétraèdre est le même que

le centre commun de gravité de quatre points matériels égaux en masse, qui se trouveroient situés aux quatre sommets du tétraèdre; et cela s'aperçoit sur-le-champ, par l'identité des procédés qui conduisent à la détermination de l'un et de l'autre centre de gravité.

Or de-là résulte immédiatement le théorême de M. Monge. On voit en effet que le centre commun de gravité des masses situées aux deux extrémités de l'une quelconque des arêtes'sera le milieu de cette arête, que le centre commun de gravité des deux autres masses sera le milieu de l'arête opposée , et qu'ainsi le centre de gravité de tout le systême, et conséquemment celui du tétraèdre, sera le milieu de la droite qui joint ces deux points.

On parvient donc ainsi, par de simples considérations de statique, à démontrer que les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d'un tétraèdre passent toutes par le même point, et que ce point est leur milieu commun ; le principe des momens montre de plus que la distance de ce point à un plan quelconque est le quart de la somme des distances au même plan des quatre sommets du tétraèdre; et les mêmes considérations prouvent que les droites qui joignent les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés, passent toutes par le même point, où elles se coupent en deux parties dont l'une est double de l'autre, et que la distance de ce point à un plan quelconque est le tiers de la somme des distances au même plan des sommets du triangle. On pourroit faire sans doute beaucoup d'autres applications de la statique à la géométrie.

Ona vraiment lieu d'être surpris que Roberval n'ait pas aperçu ces diverses conséquences de l'observation qu'il avoit faite; elles sont si simples qu'on ne pourroit, ce me semble, sans une negligence impardonnable , les passer sous silence dans des élémens de statique.

HYDROSTATIQUE. Sur la Fontaine de Heron et la Lampe hydrostatique

de MM. Girard.

Par M. HACHETTE.

Ces deux appareils sont du nombre de ceux que j'ai considérés dans mon Cours des Machines; les principes qui servent de base à leur construction sont développés dans la solution des deux problêmes suivans.

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