D'APRÈS l'avis de plusieurs professeurs distingués, on s'est déterminé à rétablir, dans cette neuvieme édition, la théorie des paralleles à-peu-près sur la même base qu'Euclide. Il en résultera plus de facilité pour les étudiants, et cette raison a paru prépondérante, d'autant que les objections auxquelles est encore sujette la théorie des paralleles, ne peuvent être entièrement résolues que par des considérations analytiques, telles que celles qui sont exposées dans la note deuxieme.

La démonstration de la surface de la zône sphérique a été simplifiée d'après une remarque faite par M. Pilatte, professeur de mathématiques au Lycée d'Angers.

Enfin, un beau mémoire sur les polyèdres, présenté récemment à l'Institut par M. Cauchy, ingénieur des ponts et chaussées, a fourni le moyen de démontrer, à la fin de la note XIIe, le théorême que supposent les définitions 9 et 10 du onzième livre d'Euclide, ce qui ajoute un nouveau degré de perfection à cette partie des éléments.

Tels sont les principaux changements et améliorations qu'offre cette édition; on a d'ailleurs apporté de nouveaux soins à l'exécution typographique, et la gravure des planches a été refaite à neuf.

Le lecteur qui voudra se borner, au moins dans une premiere lecture, aux simples éléments, peut passer sans inconvénient les notes, appendices, et généralement tout ce qui est imprimé en petits caracteres, comme étant moins utile ou exigeant une étude plus approfondie. Il reviendra ensuite sur ces objets, s'il le juge à propos, en choisissant ceux qui lui conviendront le mieux, d'après l'avis d'un professeur éclairé.

N. B. Les nombres mis en marge indiquent les propositions auxquelles on devra recourir pour l'intelligence des démonstrations. Un seul nombre, comme 4, indique la proposition iv du livre courant : deux nombres, 20. 3, indiquent la xx® proposition du livre 11. Dans la Trigonométrie on a distingué les articles et les renvois par des chiffres romains.

DE GÉOMÉTRIE.

LIVRE PREMIER.

LES PRINCIPES.

DÉFINITIONS.

I. LA Géométrie est une science qui a pour objet la mesure de l'étendue.

L'étendue a trois dimensions, longueur, largeur et hauteur.

II. La ligne est une longueur sans largeur.

Les extrémités d'une ligne s'appellent points : le point n'a donc pas d'étendue.

III. La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre.

IV. Toute ligne qui n'est ni droite ni composée de lignes droites est une ligne courbe.

Ainsi, AB est une ligne droite, ACDB une ligne fig. 1. brisée ou composée de lignes droites, et AEB est une ligne courbe.

V. Surface est ce qui a longueur et largeur, sans hauteur ou épaisseur.

VI. Le plan est une surface, dans laquelle pre-
Neuv, éd.

I

fig. 2.

nant deux points à volonté, et joignant ces deux `points par une ligne droite, cette ligne est toute entiere dans la surface.

VII. Toute surface qui n'est ni plane ni composée de surfaces planes est une surface courbe.

VIII. Solide ou corps est ce qui réunit les trois dimensions de l'étendue.

IX. Lorsque deux lignes droites AB, AC, se rencontrent, la quantité plus ou moins grande dont elles sont écartées l'une de l'autre, quant à leur position, s'appelle angle; le point de rencontre ou d'intersection A est le sommet de l'angle; les lignes AB, AC, en sont les côtés.

L'angle se désigne quelquefois par la lettre du sommet A seulement, d'autres fois par trois lettres BAC ou CAB, ayant soin de mettre la lettre du sommet au milieu.

Les angles sont, comme toutes les quantités, susceptibles d'addition, de soustraction, de multiplicafig. 20. tion, et de division: ainsi l'angle DCE est la somme des deux angles DCB, BCE, et l'angle DCB est la différence des deux angles DCE, BCE.

fig. 3.

fig. 4.

fig. 5.

X. Lorsque la ligne droite AB rencontre une autre droite CD, de telle sorte que les angles adjacents BAC, BAD soient égaux entre eux, chacun de ces angles s'appelle un angle droit; et la ligne AB est dite perpendiculaire sur CD.

XI. Tout angle BAC plus petit qu'un angle droit est un angle aigu; tout angle plus grand DEF est un angle obtus.

XII. Deux lignes sont dites parallèles, lorsque, étant situées dans le même plan, elles ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge l'une' et l'autre.

XIII. Figure plane est un plan terminé de toutes parts par des lignes.

Si les lignes sont droites, l'espace qu'elles renferment s'appelle figure rectiligne ou polygone, et les fig. 6. lignes elles-mêmes prises ensemble forment le contour ou périmetre du polygone.

XIV. Le polygone de trois côtés est le plus simple de tous, il s'appelle triangle; celui de quatre côtés s'appelle quadrilatere; celui de cinq, pentagone; celui de six, hexagone, etc.

XV. On appelle triangle équilatéral celui qui a ses fig. 7. trois côtés égaux; triangle isoscele, celui dont deux fig. 8. côtés seulement sont égaux; triangle scalene, celui fig. 9. qui a ses trois côtés inégaux.

XVI. Le triangle rectangle est celui qui a un angle

droit. Le côté opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse: ainsi ABC est un triangle rectangle en A, le côté fig. 10, BC est son hypoténuse.

XVII. Parmi les quadrilateres on distingue :

Le quarré, qui a ses côtés égaux et ses angles droits. fig. 11, (Voyez la prop. xxvIII, liv. 1).

Le rectangle, qui a les angles droits sans avoir les fig. 12. côtés égaux. (Voyez la même prop.)

Le parallelogramme ou rhombe, qui a les côtés op- fig. 13. posés parallèles.

Le losange, dont les côtés sont égaux sans que les fig. 14. angles soient droits.

Enfin le trapeze, dont deux côtés seulement sont fig. 15. paralleles.

XVIII. On appelle diagonale la ligne qui joint les sommets de deux angles non adjacents: telle est AC. fig. 42. XIX. Polygone équilatéral est celui dont tous les côtés sont égaux; polygone équiangle, celui dont tous les angles sont égaux.

XX. Deux polygones sont équilatéraux entre eux