laire sera inégalement distant des mêmes extré mités A et B. Car, 1o puisqu'on suppose AC=CB, les deux obliques AD, DB, s'écartent également de la perpendiculaire; donc elles sont égales. Il en est de même des deux obliques AE, EB, des deux AF, FB, etc.; donc 1o, tout point de la perpendiculaire est également distant des extrémités A et B. 2o Soit I un point hors de la perpendiculaire; si on joint IA, IB, l'une de ces lignes coupera la perpendiculaire en D, d'où tirant DB, on aura DB—DA. Mais la ligne droite IB est plus petite que la ligne brisée ID+DB, et ID+DB=ID+DA=IA; donc IB<IÁ; donc 2o, tout point hors de la perpendiculaire est inégalement distant des extrémités A et B. PROPOSITION XVIII. THÉORÊME. Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté égal. Soit l'hypoténuse AC=DF, et le côté AB-DE, je fig. 33. dis que le triangle rectangle ABC sera égal au triangle rectangle DEF. L'égalité serait manifeste si le troisieme côté BC était égal au troisieme EF: supposons, s'il est possible, que ces côtés ne soient pas égaux, et que BC soit le plus grand. Prenez BG=EF, et joignez AG. Le triangle ABG est égal au triangle DEF; car l'angle droit B est égal à l'angle droit E, le côté AB÷DE, et le côté BG=EF; donc ces deux triangles sont égaux*, * pr. 6. et on a par conséquent AG-DF; mais, par hypo these, DF-AC; donc AG=AC. Mais l'oblique AC *pr. 16. ne peut être égale à AG*, puisqu'elle est plus éloignée de la perpendiculaire AB; donc il est impossible que BC differe de EF; donc le triangle ABC est égal au triangle DEF. fig. 35. PROPOSITION XIX. THÉORÊME. Si deux lignes droites AC, BD, sont perpendiculaires à une troisieme AB, ces deux lignes seront paralleles, c'est-à-dire, qu'elles ne pourront se rencontrer à quelque distance qu'on les *déf.12. prolonge*. Car si elles pouvaient se rencontrer en un point 0, d'un côté ou de l'autre de la ligne AB, il existerait deux perpendiculaires OA, OB, abaissées d'un même point *pr. 15. sur une même droite AB, ce qui est impossible*. PROPOSITION XX. fig. 35. LEMME. La droite BD étant perpendiculaire à AB, si une autre droite AE fait avec AB l'angle aigu BAE, je dis que les droites BD, AE, prolongées suffisamment, se rencontreront. D'un point quelconque F pris dans la direction AE, soit abaissée sur AB la perpendiculaire FG; le point G ne tombera pas en A, puisque l'angle FAB est moindre qu'un droit ; il peut encore moins tomber en H sur le prolongement de BA, puisqu'alors il y aurait deux perpendiculaires KA, KH, abaissées d'un même point K sur une même droite AH. Donc il faut quele point G tombe, comme la figure le représente, dans la direction AB. Soit pris maintenant sur la ligne AE un autre point Là une distance AL plus grande que AF et soit abaissée sur AB la perpendiculaire LM, on prouvera, comme dans le cas précédent, que le point M ne peut tomber ni en G, ni sur la direction GA; il tombe donc sur la direction GB, de sorte que la distance AM sera nécessairement plus grande que AG. J'observe de plus que si la figure est construite avec soin et qu'on prenne AL double de AF, on trouverą que AM est exactement double de AG; de même si on prend AL triple de AF, on trouvera que AM est triple de AG, et en général il y aura toujours le même rapport entre AM et AG, qu'entre AL et AF. Cette proportion étant posée, il s'ensuit non seulement que la droite AE suffisamment prolongée doit rencontrer BD, mais qu'on peut même assigner sur AE la distance du point de concours de ces deux droites. Cette distance devra être le quatrieme terme de la proportion AG: AB :: AF : x. Scholie. L'explication précédente, fondée sur un rapport qui n'est pas déduit du seul raisonnement, et pour lequel on a recours à des mesures prises sur une figure construite exactement, n'a pas le même degré de rigueur que les autres démonstrations de la géométrie élémentaire. Nous ne la donnons ici que comme un moyen simple de s'assurer de la vérité de la proposition, et nous renvoyons, pour la démonstration rigoureuse, à la deuxieme des notes jointes aux éléments. fig. 36. PROPOSITION XXI. THÉORÊME. St deux droites AC, BD, font avec une troisieme AB, deux angles intérieurs CAB, ABD, dont la somme soit égale à deux droits, les deux lignes AC, BD, seront paralleles. Du point G milieu de AB, menez la droite EGF perpendiculaire à AC, je dis que cette même droite sera perpendiculaire à BD; en effet, la somme GAE+ GBD est égale par hypothese à deux angles droits, la somme GBF+GBD est pareillement egale à deux *pr. 2. angles droits*; donc en retranchant de part et d'autre l'angle GBD, il restera l'angle GAE=GBF. D'ailleurs les angles AGE, BGF, sont égaux comme opposés au sommet; donc les triangles AGE, BGF, ont un côté égal adjacent à deux angles égaux. Donc ils sont *pr. 7. égaux*, donc l'angle BFG AEG ; mais l'angle AEG est droit par construction, donc les droites AC, BD, sont perpendiculaires à une même droite EF; donc *pr. 19. elles sont paralleles *. fig. 36. PROPOSITION XXII. THÉORÊME. Si deux lignes droites AI, BD, font avec une troisieme AB, deux angles intérieurs BAI, ABD, dont la somme soit moindre que deux angles droits, les lignes AI, BD, prolongées, se ren contreront. Menez AC de maniere que l'angle CAB soit égal à ABF, c'est-à-dire, de maniere que les deux angles CAB, ABD, pris ensemble fassent deux angles droits, et achevez le reste de la construction comme dans le théorême précédent. Puisque l'angle AEK est droit, AE est une perpendiculaire plus courte que l'oblique AK; donc dans le triangle AEK*, l'angle AKE op- *pr. 14. posé au côté AE est plus petit que l'angle droit AEK opposé au côté AK. Donc l'angle IKF égal à AEK, est plus petit qu'un droit; donc les lignes KI, FD prolongées doivent se rencontrer*. Scholie. Si les lignes AM et BD faisaient avec AB deux angles BAM, ABD, dont la somme fût plus grande que deux angles droits, alors les deux lignes AM, BD, ne se rencontreraient pas au-dessus de AB, mais elles se rencontreraient au-dessous. Car les deux angles BAM, BAN, valent deux droits, ainsi que les deux angles ABD, ABF; donc ces quatre angles pris ensemble valent quatre angles droits. Mais la somme des deux angles BAM, ABD, vaut plus que deux droits, donc la somme des deux restants BAN, ABF, vaut moins; donc les deux droites AN, BF, prolongées doivent se rencontrer. Corollaire. Par un point donné A on ne peut mener qu'une seule parallele à une ligne donnée BD. Car il n'y a qu'une ligne AC qui fasse la somme des deux angles BAC+ABD égale à deux angles droits; celle-là est la parallele demandée : toute autre ligne AI ou AM ferait la somme des angles intérieurs plus petite ou plus grande que deux angles droits; donc elle rencontrerait la ligne BD. PROPOSITION XXIII, THÉORÊME. *pr. 20, Si deux lignes paralleles AB, CD, sont ren- fig. 37. contrées par une sécante EF, la somme des |