VI. Ayant pris l'arc AD égal à un quadrant, si des points M et D on mene les lignes MQ, DS perpendiculaires au rayon CD, l'une terminée à ce rayon, l'autre terminée au rayon CM prolongé; les lignes MQ, DS et CS seront pareillement les sinus, tangente et sécante de l'arc MD, complément de AM. On les appelle, pour abréger, les cosinus, cotangente et cosécante de l'arc AM, et on les désigne ainsi : MQcos AM, ou cos ACM, DScot AM, ou cot ACM, CS coséc AM, ou coséc ACM. En général, A étant un arc ou un angle quelconque, on a cos Asin (100o. -A), cot A= tang ( 100°—A), coséc A = séc (100o — A).

=

Le triangle MQC est, par construction, égal au fig. 14 triangle CPM, ainsi on a CPMQ; donc dans le triangle rectangle CMP, dont l'hypoténuse est égale au rayon, les deux côtés MP, CP sont le sinus et le cosinus de l'arc AM. Quant aux triangles CAT, CDS, ils sont semblables aux triangles égaux CPM, CQM, et ainsi ils sont semblables entre eux. De là nous déduirons bientôt les différents rapports qui existent entre les lignes que nous venons de définir; mais auparavant il faut voir quelle est la marche progressive de ces mêmes lignes, lorsque l'arc auquel elles se rapportent augmente depuis zéro jusqu'à 200o.

VII. Supposons qu'une extrémité de l'arc demeure fixe en A, et que l'autre extrémité, marquée M, parcoure successivement toute l'étendue de la demicirconférence depuis A jusqu'en B dans le sens ADB.

Lorsque le point M est réuni en A, ou lorsque l'arc AM est zéro, les trois points T, M, P, se confondent avec le point A ; d'où l'on voit que le sinus et la tangente d'un arc zéro sont zéro, et que le cosinus de ce même arc est égal au rayon, ainsi que sa sécante. Donc en désignant par R le rayon du cercle, on aura

sin oo, tang o=0, cos o R, séc o—R.,

1

VIII.

A mesure que le point M s'avance vers D, le sinus augmente, ainsi que la tangente et la sécante; mais le cosinus, la cotangente et la cosécante diminuent.

Lorsque le point M se trouve au milieu de AD, ou lorsque l'arc AM est de 50°, ainsi que son complément MD, le sinus MP est égal au cosinus MQ ou CP, et le triangle CMP, devenu isoscele, donne la proportion MP: CM :: 1:✓ 2, ou sin 50°: R:: 1:√2. Donc sin 50o=cos 50°===÷R√2. Dans ce même cas le triangle CAT devient isoscele et égal au triangle CDS; d'où l'on voit que la tangente de 50° et sa cotangente sont toutes deux égales au rayon, et qu'ainsi on a tang 50°-cot 50°-R.

Ꭱ

V 2

Ix. L'arc AM continuant d'augmenter, le sinus augmente jusqu'à ce que le point M soit parvenu en D: alors le sinus est égal au rayon, et le cosinus est zéro. On a donc sin 100o — R et cos 100o=0; et l'on peut remarquer que ces valeurs sont une suite de celles que nous avons trouvées pour les sinus et cosinus de l'arc zéro; car le complément de 100o étant zéro, on a sin 100o cos oo= R et cos 100°= sin o° 0.

Quant à la tangente, elle augmente d'une maniere très-rapide à mesure que le point M s'approche de D; et enfin lorsqu'il est parvenu en D, il n'existe plus proprement de tangente, parce que les lignes AT, CD, étant paralleles, ne peuvent se rencontrer. C'est ce qu'on exprime en disant que la tangente de 100° est infinie, et on écrit tang 100°—∞.

Le complément de 100° étant zéro, on a tang o= cot 100o et cot otang 100o. Donc cot o = ∞ et

cot 100° 0.

x. Le point M continuant à avancer de D vers B, les sinus diminuent et les cosinus augmentent. Ainsi

on voit que l'arc AM' a pour sinus M'P', et pour cosinus M'Q ou CP'. Mais l'arc M'B est supplément de AM', puisque AM'+ M'B est égal à une demicirconférence; d'ailleurs si l'on mene M'M parallele à AB, il est clair que les arcs AM, BM', compris entre paralleles, seront égaux, ainsi que les perpendiculaires ou sinus MP, M'P'. Donc le sinus d'un arc ou d'un angle est égal au sinus du supplément de cet arc ou de cet angle.

L'arc ou l'angle A a pour supplément 200°~A: ainsi on a en général

sin A=sin (200o — A ).

La même propriété s'exprimerait aussi par l'équation sin (100°+B)=sin (100o-B), B étant l'arc DM ou son égal DM'.

XI. Les mêmes arcs AM', AM qui sont suppléments l'un de l'autre, et qui ont des sinus égaux, ont aussi les cosinus égaux CP', CP; mais il faut observer que ces cosinus sont dirigés dans des sens différents. Cette différence de situation s'exprime dans le calcul par l'opposition des signes de sorte que si on regarde comme positifs, ou affectés du signe, les cosinus des arcs moindres que 100o, il faudra regarder comme négatifs ou affectés du signe -, les cosinus des arcs plus grands que 100o. On aura donc en général

cos A

ou cos (100°+B)

cos (200o-A),

cos (100°-B); c'est-à-dire, que le cosinus d'un arc ou d'un angle plus grand que 100° est égal au cosinus de son supplément, pris négativement.

Le complément d'un arc plus grand que 100o étant négatif *, il n'est pas étonnant que le sinus de *11. ce complément soit négatif; mais pour rendre cette vérité encore plus palpable, cherchons l'expression de la distance du point A à la perpendiculaire MP.

mités se confondent en un même point, et le sinus se réduit à zéro.

Il n'est pas moins évident que, si à un arc quelconque AM on ajoute une ou plusieurs circonférences, on retombera exactement sur le point M, et l'arc ainsi augmenté aura le même sinus que l'arc AM; donc si C désigne une circonférence entiere ou 400°, on aura

sin xsin (C+x)=sin (2 C+x)=sin(3 C+x) etc. La même chose aurait lieu pour les cosinus, tangente, etc.

Maintenant, quel que soit l'arc proposé x, il est facile de voir que son sinus pourra toujours s'exprimer, avec un signe convenable, par le sinus d'un arc moindre que 100o. Car d'abord on peut retrancher de l'arc z autant de fois 400° qu'ils peuvent y être contenus; soit le reste y, on aura sin x=sin y. Ensuite si y est plus grand que 200°, on fera y= =200°+z, et on aura siny-sin z. Tous les cas sont donc réduits à celui où l'arc proposé est moindre que 200°, et comme d'ailleurs on a sin (100°+x) : sin (100°-x), il est clair qu'ils se réduisent ultérieurement au cas où l'arc proposé est entre zéro et 100°.

=

XIV. Les cosinus se réduisent toujours aux sinus en vertu de la formule cos A = sin ( 100° —A), ou, si l'on veut, de la formule cos A=sin (100°+A); ainsi, sachant évaluer les sinus dans tous les cas possibles, on saura de même évaluer les cosinus. Au reste, on voit directement par la figure que les cosinus négatifs sont séparés des cosinus positifs par le diametre DE, en sorte que tous les arcs dont l'extrémité tombe à gauche de DE ont un cosinus positif, tandis que ceux dont l'extrémité tombe à droite ont un cosinus négatif.

Ainsi de 0 à 100° les cosinus sont positifs, de 100° à 300o ils sont négatifs, de 300o à 400o ils redeviennent positifs; et après une révolution entiere, ils prennent les mêmes valeurs que dans la révolution précédente, car on a aussi cos (400°+x) = cos x.

D'après ces explications, il est aisé de voir que les sinus et cosinus des arcs multiples du quadrant, ont les valeurs suivantes :

Il en est de même de la cotangente représentée par DS', laquelle est égale, et en sens contraire à DS cotangente de AM. On a donc aussi

Les tangentes et les cotangentes sont donc négatives, ainsi que les cosinus, depuis 100° jusqu'à 200°. Et, dans cette derniere limite, on a tang 200o = o et cot

XIII. Dans la trigonométrie il n'y a pas lieu de considérer les sinus, cosinus, etc., des arcs ou des angles plus grands que 200°; car c'est toujours entre o et 200o que sont compris les angles des triangles tant rectilignes que sphériques, et les côtés de ces derniers. Mais dans diverses applications de la géométrie, il n'est pas rare de considérer des arcs plus grands que la demi-circonférence, et même des arcs comprenant plusieurs circonférences. Il est donc nécessaire de trouver l'expression des sinus et cosinus de ces arcs, quelle que soit leur grandeur.

Observons d'abord que deux arcs égaux et de signes contraires AM, AN, ont des sinus égaux et de signes contraires MP, PN, tandis que le cosinus CP est le même pour l'un et pour l'autre. On a donc en général

sin(x)=- sin x

cos(x)= cos x,

formules qui serviront à exprimer les sinus et cosinus des arcs négatifs.

Depuis o° jusqu'à 200° les sinus sont toujours positifs, parce qu'ils sont situés d'un même côté du diametre AB; depuis 200° jusqu'à 400° les sinus sont négatifs, parce qu'ils sont situés de l'autre côté de ce diametre. Soit ABN'x un arc plus grand que 200°, son sinus P'N' est égal à PM sinus de l'arc AMx· 200°; donc on a en général sin x=- sin(x−200°).

Cette formule donnerait les sinus entre 200° et 400° au moyen des sinus entre o° et 200°; elle donne en particulier sin 400°——sin 200° 0; il est évident en effet que si un arc est égal à la circonférence entiere, les deux extré