dem Bogen selbst gleich zu setzen. Um uns hievon zu überzeugen, nehmen wir an, die Preufsische Ruthe, A, sei ein solcher Längenmaafsstab und der Bogen, der zwischen ihre Endpunkte fällt; Dies giebt auf 1000 ausgelegte Ruthen 120" 2′, wofür sin=tg=0,0005818; mithin auf eine Messung von 1000 Ruthen Länge kein 10 Milliontheil des Erdradius zwischen dem Bogen und dem über demselben mit der Ruthe beschriebenen Polygon. 12. Die Zulässigkeit, kleine Bogen auf der Erdoberfläche als gerade Linien anzusehen, giebt Mittel, die Berechnung kleiner sphärischer Dreiecke auf die, geradlinigter, zurück zu führen. Um dies zu zeigen, betrachten wir die bekannten Reihen, worin die trigonometrischen Functionen in Bogen ausgedrückt werden: Setzen wir: a=30=0,0087266 in Theilen des Radius, so ist Wird also mit 7 Decimalstellen gerechnet, so läfst sich ohne Fehler setzen: 13. Man kann annehmen, dafs in den Dreiecken erster Ordnung in einem geodätischen Dreiecknetze, solchen nämlich, deren drei Winkel durch unmittelbare Messung bestimmt *) von Radowitz Handbuch etc. S. 304. werden, die gröfste Seite eines derselben 35000 Toisen nicht viel übersteige. Setzen wir diese: A. woraus auf dieselbe Weise, wie vorhin sich ergiebt: A=7′ 58′′ 21; a30,00000001 in Theilen des Radius. Und hieraus sieht man, dafs noch für Dreieckseiten der längsten Gattung, wenn man mit 7 Decimalstellen rechnet, gesetzt werden können die abgekürzten Werthe: Wollen wir nun ein Dreieck berechnen von der angezeigten Art, dessen Seiten =a, b, e und der, der a gegenüberliegende, Winkel =A, so ist, es als ein sphärisches betrachtet: Cos a - cos b cos c cos A = sin b sin c und wenn wir für Sinus, Cosinus, die obigen Ausdrücke in Bogen setzen, so kommt sofort: welches die für geradlinigte Dreiecke geltende Formel ist. Hiernach, wenn die Seiten eines geodätischen Dreiecks keiner gröfseren Winkelweite angehören, das der von 1o, so läfst es sich, ohne merklichen Fehler, geradezu, als ein geradelinigtes berechnen. Für grössere Bogen ist eine gröfsere Schärfe erforderlich. Sie lassen sich aber mit Hülfe ihres sphärischen Excesses ebenfalls als gerade Linien behandeln, nach einem Theorem, welches, nach seinem Erfinder, das Legendresche heifst. 14. Der sphärische Excefs ist der Überschufs der Summe der Winkel eines sphärischen Dreiecks über zwei Rechte. Setzen wir ihn ; den Flächeninhalt des Dreiecks = A ; und: r den zu dem Dreieck gehörigen Halbmesser, so lehrt die sphärische Trigonometrie, dass: Wäre nun das Dreieck ein gleichseitiges und jede Seite = 1o, so findet sich dafs der sphärische Excess noch nicht eine halbe Minute, genau=27′′ 2, betrüge. Er wird sich also unmerklich ändern, wenn wir in dem Ausdruck in sofern die Seiten nicht viel gröfser Δ als 1o, den Flächeninhalt so berechnen, als wären dieselben geradlinigt. Für das Dreieck in 13. erhalten wir so daher 15. Dehnen wir nun die Rechnung aus, bis auf Gröfsen der Ordnung a*, und setzen ähnlich: sin b, cos b; sin c, cos c; in abgekürzten Reihen, in den exacten Ausdruck: 13. und gehen in der Rechnung nicht über die Bogen der Ordnung at hinaus, so ergiebt sich leicht: betrachten wir hierauf das erste Glied als die Formel für ein geradlinigtes Dreieck, dessen Seiten: a, b, c, und A' der, der Seite a gegenüberliegende, Winkel, Woraus sich ergiebt, dafs ein in die angegeben Grenzen fallendes sphärisches Dreieck sich als ein geradlinigtes berechnen lasse, wenn jeder seiner Winkel um ein Drittel des sphärischen Excesses verkleinert worden ist. 16. Hiernach wird der sphärische Excefs eines Dreiecks ein besonders wichtiges Element geodätischer Berechnungen: daher wir seine Berechnung an einem aus der v. Müfflingschen Instruction genommenen Beispiel zeigen wollen. Das Dreieck n. 5. des darin gegebenen Dreiecknetzes: Da in diesem Ausdruck das r2 so sehr überwiegend ist, so dürfen ab, be, nur ungefähr bekannt sein. Sie werden dort angegeben, nach Eckhardt: Da jedes horizontale Dreieck auf der Erdoberfläche ein sphärisches ist, dessen drei Winkel 180°+ dem sphärischen Excefs sein müssen, so wird der Unterschied zwischen dem durch Messung gefundenen Überschufs und dem berechneten sphärischen Excels als Beobachtungsfehler betrachtet, und dem gemäfs werden die Winkel des Dreiecks corrigirt. 17. Da in 14. der Flächeninhalt eines geradlinigten Dreiecks gesetzt ist für den eines sphärischen, so wollen wir für kleine Dreiecke den sphärischen Excefs nach der einen und nach der andern Annahme berechnen. Für gleichseitige sphärische Dreiecke, deren Seite =a, der Winkel A ist 2 cosa sina2 cos A= sin a Die Instruction enthält unter den ihr beigefügten Hülfstafeln eine, No. II, worin der Ausdruck 1 = 6′′ S = 1" 7. log. 2r2 sin 1" vom 45sten bis zum 60sten Grad der Breite berechnet ist. Sie dient zur schnellen Berechnung des sphärischen Excesses, und die Werthe ändern sich mit r von Grad zu Grad, wegen der nicht kugelförmigen Gestalt der Erde. 18. Die trigonometrische Function eines Bogens, Sinus, Tangente, eine blofse Verhältnifszahl, wird, multiplicirt mit der Länge des dazu gehörigen Halbmessers, in ein Längenmaafs verwandelt. In geodätischen Berechnungen ist es oft nöthig, die trigonometrische Funktion, als Länge gegeben, in Bogen zu verwandeln, und umgekehrt. Hiezu gelangt man auf fol gende Weise: Sei r sinq=sin A, ein Sinus in Längenmaafs gegeben, und demgemäfs: roA, der dazu gehörige Bogen in Längenmaafs, so ist |