4) die zu und ẞ gehörigen Azimuthe:

a die Ergänzung des Winkels im Dreieck zwischen dem Meridian von Petersburg und der Seite a zu 180°;

a der Winkel im Dreieck zwischen dem Meridian von Paris und der Seite a. Hieraus ergiebt sich die Rechnung, wie folgt:

2

=54° 59′ 8′′ 5; log. sin +9,9087943

B 5° 17′ 14′′ 5; log. cos+B=9,7676246

=

Zur Berechnung der Seite a, giebt die sphärische Trigonometrie:

5. Auf gleiche Weise ergiebt sich für das Dreieck: Nordpol, Königsberg, Berlin, für die Annahmen:

=54° 42′ 50′′

α=65°· 26′ 33′′ 77

a = 59° 42′ 39′′ 49

a = 4° 45′ 10′′ 89.

6. Zur unmittelbaren Berechnung des a, aus p', B, 2, dienen die Formeln:

8. Aufgabe: Aus den gegebnen Breiten und der kürzesten Entfernung den Längen

unterschied zu berechnen.

Hiezu dient die Formel:

9. Wenn wir in der mathematischen Geographie, bei Betrachtung der Erde als Kugel stehen bleiben und bei Bestimmung der Örter auf ihr; ihrer Lagen und Entfernungen; mit Ausschlufs der mehr die Astronomie oder die Nautik berührenden Fragen: so werden ihre wichtigsten Aufgaben nach den von 1. bis 8. gegebenen Beispielen, oder auf ähnliche Weise durch Lehnsätze aus der sphärischen Trigonometrie ihre Erledigung finden.

Es kommt aber nunmehr zunächst darauf an, die berechneten Bogen in einem Längenmaals auszudrücken, und umgekehrt: Längen auf der Erdoberfläche in Bogen. Hiezu wird in Folgendem der Weg gezeigt.

Grad

10. Setzt man den Erdquadranten (90°) gleich 10 Millionen Mètres, so ist der mittlere

Das königliche topographische Büreau, in einer Instruction Sr. Excel. des Generals v. Müffling, für die Geodäten, bestimmt:

also

und

Aus

und

er giebt sich:

Nach der

Instruction ist, wenn wir a den Halbmesser des Äquators nennen,

log, a=6,2287039 in Pr. R., und,

wenn wir r den mittleren Halbmesser nennen

log.r=6,22798.... in Pr. R.

in sofern wir hier mit diesem Ausdruck das arithmetische Mittel zwischen dem Äquatorhalbmesser und der halben Erdaxe bezeichnen wollen.

Der Unterschied dieser Zahlen von den vorhin berechneten kommt von der Abweichung der Figur der Erde von der Kugelgestalt: wir werden aber für kleine Bogen zu ihrer Verwandelung in Längen, ohne merklichen Fehler den vorhin gefundenen log. r in Anwendung bringen dürfen.

11. Die Länge des Erdhalbmessers erlaubt, Bogen bis zu einer gewissen Grenze, als gerade Linien anzusehen und umgekehrt, ohne merklichen Fehler. Zur Beurtheilung dieses letzteren wird folgende Bemerkung dienen:

woraus sich ergiebt, dass, wenn auf 7 Meilen Länge der Bogen mit seinem Sinus oder seiner Tangente verwechselt wird, der dabei begangne Fehler noch nicht 1 oder 2 Mètres erreicht, also für ganz unmerklich bei kleineren Bogen zu erachten ist.

Daher ist auch das Polygon, welches bei dem Messen auf der Erde, die Richtung eines Bogens verfolgend um denselben mit einem Längenmaafsstabe beschrieben wird, auf die gröfsten Weiten hin, in welchen dergleichen Messungen vorgenommen werden, ohne merklichen Fehler,