Solution d'un probléme de Géométrie; par M. OLIVIER,

M. Hachette a communiqué à la Société philomatique (séance du 22 mai 1813) une solution synthétique de ce problême : Trois circonférences quelconques de grands ou petits cercles étant tracées sur la surface d'une sphère, trouver une quatrième circonférence tangente aux trois premières. Ce problême, dont M. Carnot a donné une solution analytique dans sa Géométrie de position, page 415, avait été proposé aux élèves de l'Ecole polytechnique; M. Olivier l'a résolu très-élégamment en menant, par un point donné, un plan tangent à un cône oblique à base circulaire. Les trois cercles étant donnés, M. Olivier fait passer par ces cercies pris deux à deux, trois cônes obliques (voyez Supplément de la Géométrie descriptive, par M. Hachette, pag. 55), et il ne considère d'abord que les trois cônes dont les sommets sont au-delà des plans des cercles. Il remarque que le plan tangent à deux de ces cônes, est nécessairement tangent au troisième, et qu'il coupe la sphère suivant un quatrième cercle tangent aux trois cercles donnés. Ayant donc déterminé le premier cône, et le sommet du second, on mène par ce sommet deux plans tangens au premier cone, et chacun de ces plans contient un des cercles cherchés; ces deux plans se coupent suivant une droite qui contient les sommets des trois cônes.

Les sommets des cônes obliques qui joignent trois cercles d'une sphère deux à deux, sont distribués sur quatre droites situées dans le même plan. Par chacune de ces droites, on peut mener deux plans tangens à l'un quelconque des trois cônes qui ont leurs sommets sur cette droite; d'où il suit que trois cercles d'une sphère peuvent, en général, être touchés par un quatrième cercle de cette sphère, de huit manières différentes.

Etant données trois courbes planes d'une surface du second degré, on détermine, par des considérations semblables, la quatrième courbe plane qui les touche. En effet, il est évident que lorsque deux surfaces du second degré se coupent, la courbe d'intersection est, en général, composée de deux branches; et si l'une de ces branches est plane, l'autre branche l'est nécessairement. D'où il suit que, par deux courbes planes quelconques d'une surface du second degré, on peut toujours mener une surface conique du second degré. Ayant déterminé les sommets des cônes qui passent par les trois courbes planes données, on achève la solution comme pour les sphères, en menant des plans tangens à ces cônes,

Propositions relatives aux Courbes et aux Surfaces du second degré; par M. CHAsles.

1o. « Si, par un point A (fig. 1, pl. 2), pris dans le plan d'une <section conique, on mène deux droites AB, AD, puis les quatre « tangentes RB, RC, TD, TE, et les quatre droites SEC, SDB, « EIB, CID, les quatre points R, S, T,I seront en ligne droite. » Toute section conique pouvant être regardée comme la perspective d'un cercle, il suffit de démontrer ce théorême pour le cercle. Nous allons donc faire voir que, dans un cercle, les trois points (fig. 2) R, S, I sont en ligne droite; la même démonstration aurait lieu pour les trois points T, S, I.

Multipliant ces proportions terme à terme, et observant que sin SxB sin CxR, sin SBx sin ICB, sinRCx = sin IBC, sin SBE sin ECI, sin SEB = sin CEI, et RC=RB,

on aura

Rx.SE.IB RB. EI.Sx;

d'où l'on conclut, en considérant le triangle EB, que les trois points R, S, I sont en ligne droite. Ce qu'il fallait prouver, 2o. Dans le quadrilatère BCED (fig. 1), on a

AC: ABoC: 0B;

AE: AD:: KE: KD,

(Théorie des transversales de M. Carnot, théorême 6.)

Les points fixes o, R déterminent la droite oR; d'où résulte ce théorême :

« Si d'un point A, situé dans le plan d'une section conique, « on mène des sécantes AC, AE, .; les tangentes aux points « B, C, D, E;... se coupent deux à deux sur une même droite; « les droites BD, CE,... ainsi que CD, BE,... se coupent << aussi deux à deux sur cette même droite. »

3°. « Si d'un point A on mène des droites AC,... et qu'on

་་

AC

ላር

, les points o seront

Cette droite sur laquelle se trouvent les points R, S, T, I, coupe la courbe en deux points m, n, et Дm, Ân sont évidemment tangentes à la courbe. Par conséquent la droite Ṛn est parallèle au conjugué du diamètre AY. On a

Y étant le centre de la surface (*).

4°. « Si on prolonge les tangentes RC, RB jusqu'à ce qu'elles rencontrent la tangente An en Fet G, il est clair que les droites FB, GC se couperont sur RS; d'où l'on voit que :

EC

Quand les trois côtés d'un triangle touchent une section co«nique, les trois droites qui unissent les sommets avec les trois « points de tangence se coupent en un même point. »>

La tangente en m et les droites CB, FG se rencontrent en un même point A, la tangente en B' et les droites Cn, RG se rencontreraient aussi en un même point; il en serait de même de la tangente en C et des deux droites Bn, RF; ces trois points seraient sur une ligne droite parallèle au conjugué du diamètre passant par le point 1.

Puisque les troits droites Rn, FB, GC se coupent en un même point, on a

RC. Fn.GB=RB.Gn.FC..

Ce théorême étant démontré pour un polygone, il est facile de le prouver pour un polygone d'un côté de plus.

Car soit (fig. 4) un polygone quelconque ABCDE; je prolonge EA, BC jusqu'en m: on aura, par hypothèse, dans le polygone mEDC,

mL.EH.DG, CK = mK. CG.DH.EL:

Υπ

(*) Si A'Y (fig. 3) est le conjugué de AY, on aura semblablement YZ' = YA' Supposons que les deux tangentes Am, An soient perpendiculaires entr'elles, on aura AZ = Zm, et par suite AY = YA'. Ainsi YZ =

Υπ

YZ' =

AY

AY

or on a entre YZ, YZ', Yq; F, la relation Fq.YZ +7.

2

2

2

-2

YZ = Yq.Y

d'où l'on déduit AY Ip + Y. Le second membre est une quantité cons→ tante. Ainsi le sommet des deux tangentes se meut sur un cercle.

or, dans le triangle mAB, on a

mK.BI.AL= mL. AI.BK;

multipliant ces deux équations membre à membre, on obtient

AL.EH.DG.CK.BIAI.BK.CG.DH.EL.

5. « La courbe de contact d'un cône et d'une surface du second « degré est plane. »>

En effet, par le sommet R (fig. 1 ) du cône tangent, je mène une droite quelconque qui coupe la surface en deux points m, n, auxquels je conçois les deux plans tangens. Par la droite Rn, je conduis un plan qui coupe la surface suivant la courbe n CmB, le cône suivant deux arêtes RC, RB tangentes à la courbe, et les plans tangens suivant deux droites Am, An; la droite BC passera par le point A (4°); de plus, elle coupe Rn en un point o, et on aura

Rn

on

Rm от

= Ainsi la droite BC passe par un point fixe o, et par la droite intersection des deux plans tangens en m et n, laquelle est aussi fixe; donc cette droite BC est toujours dans le même plan. Donc, etc.

Il résulte de cette démonstration que si, d'un point fixe, on mène des droites qui coupent une surface du second degré, le lieu géométrique de la droite intersection des plans tangens aux points d'intersection d'une même droite, sera un plan.

, par

Il est évident que, par une courbe plane tracée sur une surface du second degré, on peut mener un cône tangent; car si trois points de cette courbe on mène trois plans tangens, et qu'on conçoive un cône circonscrit à la surface, et ayant son point d'intersection pour sommet, il touchera la surface suivant une courbe plane qui se confondra avec la courbe donnée, puisque ces deux courbes ont trois points communs.

༥

6°. « Si l'une des courbes d'intersection d'un cône et d'une surface ☛ du second degré est plane, l'autre le sera aussi, »

En effet, suivant la courbe plane qui se projette en CB (fig. 1), je mène un cône tangent à la surface; je joins par une droite le som→ met R de ce cone, et le sommet S du cône donné; cette droite rencontre la surface en deux points m, n, auxquels je mène des plans tangens, ils se coupent suivant une droite située dans le plan, CB (5°); par la droite RS, je mène un plan que je suppose être celui de la figure; il coupe le cône donné suivant deux arêtes SC, SB, et les plans tangens suivant deux droites mA, nA. Les droites CD, BE se couperont en un point I de RS, et on

aura

Sm

Im (3), la droite ED passera par le point ; de plus,

Sn In

on aura

So Io

=

Sk Ik

Or, le point o et le point I sont fixes, le

point k l'est donc aussi. Ainsi la droite ED passe toujours. par un même point k, et une même droite intersection des deux plans tangens en met n et " par conséquent elle décrit un plan.

Donc, etc.

Outre le cône dont le sommet est en S, il y en a un autre dont le point 1 est le sommet.

7°. « Par deux courbes planes tracées sur une surface du second « degré on peut faire deux cônes. >> passer

Par la droite intersection des plans des deux courbes, je conçois deux plans tangens à la surface, et je joins les deux points de tangence par une droite mn (fig. 1). Par cette droite, je mène un plan que je suppose être celui de la figure; il coupe les plans tangens suivant deux droites Am, An et les plans des deux courbes suivant deux droites AC, AE, les droites CE, BD se rencontrent en S sur mn prolongée. Si, par le point S, on mène un cône qui ait la courbe BC pour base, il coupera la surface suivant une autre courbe plane, dont le plan passera par les points E, D, et par l'intersection des deux plans tangens en m et n. Donc cette courbe sera la même que la seconde courbe donnée. Ainsi le point S 'est le sommet d'un cône passant par les deux courbes données. Par la même raison, le point I est le sommet d'un second cône. D'ailleurs, les sommets S et sont liés entre eux par là reSo lo lation

Sk Ik

Les points R, T étant les sommets des cônes tangens, suivant les courbes CB, DE, on voit que les six points R, T, S, 1, m, n sont en ligne droite.

8°. « L'intersection de deux cônes tangens à une surface du « second degré, est une courbe, plane dont le plan passe par l'in<< tersection de ceux des courbes de contact. »

Car la droite uv passe par le point fixe I et par un point A de la droite intersection des deux plans de contact.

,་་ ་་་

En combinant deux à deux les trois courbes BC, ED, uv, on voit qu'on peut mener six cônes dont chacun passe par deux de ces courbes. Les sommets de ces six cônes seront sur une même droite.

On déduit de ce qui précède que :

Si, d'un point fixe A(fig. 1), on mène une infinité de droites qui coupent une surface du second degré, et si, sur chacune

de ces