pas inutile de le rappeler à votre esprit, et de vous le faire ici particulièrement remarquer.

Ainsi, la différentielle d'un solide que l'on suppose coupé en une suite de tranches par des plans parallèles équidistans, serait elle-même une tranche prismatique solide; la différentielle de cette tranche prise de la même manière, et la différentielle de cette seconde différentielle, seraient encore des solides. Et quoique les rapports du solide à la tranche, de la tranche à la colonne rhomboïdale, et de celle-ci au petit rhomboïde, puissent devenir infinis, auquel cas ces différentielles successives seraient des infiniment petits du rer., du 2°. et du 3°. ordre; il n'en faudrait pas moins les considérer comme des solides parfaitement homogènes entre eux. Et de même, il faudra toujours regarder la différentielle d'une surface, comme une surface; et celle d'une ligne, comme une ligne.

Mais on violerait le principe de l'homogénéité, en regardant un solide comme composé d'un nombre infini de surfaces; la surface, comme composée d'une infinité de lignes; et la ligne d'une infinité de points. Par là, on pourrait également tomber dans des erreurs grossières; et si on les évite dans la méthode des indivisibles de Cavallieri, c'est qu'on fait une supposition tacite conforme au principe précédent. Ainsi, par cette méthode, si deux triangles de même base et de même hauteur sont égaux, ce n'est point parce qu'ils sont composés d'un même nombre de lignes égales et parallèles, mais parce qu'on y peut tracer le même nombre de ces lignes égales toutes équidistantes; de sorte qu'on a tacitement égard à la commune largeur des lignes ou plutôt des zônes qu'on imagine dans les deux triangles que l'on considère.

III.

Tels sont les deux principes fondamentaux du calcul infinité→ simal: ils renferment la définition rigoureuse de ce que l'on nomme une différentielle. La différentielle est une partie de la différence, mais dont la dernière raison avec cette différence est l'unitė ; et dans toutes les applications à la géométrie, à la mécanique et à la physique, il ne faut jamais perdre de vue que les différentielles doivent être homogènes avec les grandeurs mêmes que l'on considère, comme cela résulte évidemment de la nature des choses.

La partie du calcul infinitésimal, qui apprend à trouver ces différentielles dont la dernière raison avec les différences est la raison d'égalité, s'appelle le calcul différentiel. L'autre partie qui apprend à trouver la somme de ce nombre infini de différentielles, s'appelle le calcul intégral; c'est l'inverse du calcul différentiel ; et l'objet de ces calculs est la solution de tous les problêmes qui ne dépendent que des dernières raisons.

IV.

Mais puisque, par la définition même des différentielles, le calcul ne peut être exact que dans les problêmes qui dépendent de leurs dernières raisons, et non pas de ces quantités mêmes, il semble qu'on ne devrait exprimer par aucun nom, ni marquer par aucun signe ces différentielles qui n'existent pas; mais qu'il faudrait uniquement représenter les limites de leurs rapports, ou ces dernières raisons qui nous occupent, et qui seules demeurent quand les différentielles s'évanouissent. On conserverait par là, et dans le langage, et dans les signes, la rigueur même qui est dans nos conceptions. C'est en effet ce que l'on peut facilement obtenir, comme on le voit dans le calcul des fluxions de Newton, et dans la théorie des fonctions dérivées de M. de Lagrange. Car les fluxions des quantités variables, ou les vitesses avec lesquelles ces quantités sont supposées croître et se former à chaque instant, ne sont autre chose que les dernières raisons de leurs accroissemens à l'accroissement de la variable uniforme, dont elles sont regardées comme des fonctions; et il en est de même des fonctions dérivées qui sont les fluxions successives les unes des autres. Mais ce premier artifice qui traite en apparence les différentielles comme de véritables quantités, est aussi sûr que ces méthodes, et il est bien plus commode dans les applications à la géométrie et à la mécanique. Le calcul a au fond les mêmes principes, et dans le langage on rappele tout à la même exactitude, en nommant ces différentielles et ces élémens, des infiniment petits; ce qui fait souvenir qu'on ne doit regarder à la fin que les limites de leurs rapports; ou s'il s'agit de la somme des différentielles, qu'on ne doit également regarder que la limite vers laquelle cette somme converge à mesure que les différentielles diminuent. Car je remarque que ces sommes de différentielles ont des limites aussi bien que les rapports dont on vient de parler : si chaque différentielle. diminue sans cesse, d'un autre côté leur nombre augmente, et la somme de ces quantités, dont chacune tend à s'évanouir, a pourtant une limite existante qui est la somme des éléniens eux-mêmes, et qui se confond rigoureusement avec la grandeur que l'on voulait

trouver.e

Ainsi, l'on revient toujours d'une manière naturelle au calcul de ces infiniment petits, dont on cherche les rapports, s'il faut mesurer les affections des grandeurs qui varient par nuances insensibles, ou qu'on prend en nombre infini, s'il s'agit de mesurer ces grandeurs elles-mêmes. Cette méthode est la plus directe et la plus féconde, parce qu'elle est la plus conforme à l'idée qu'on se fait naturellement de la génération des grandeurs.

V.

Il reste donc maintenant à établir les règles du calcul infinitésimal, et d'abord celles du calcul différentiel, qui apprennent à trouver la différentielle de toute fonction d'une variable; ce qui s'appelle différentier.

Ces règles générales nous sont bien connues, et elles ne laissent absolument rien à desirer, comme nous le verrons tout à l'heure. Mais auparavant, il convient d'établir un point important sur l'expression générale de la différentielle d'une fonction.

VI.

La différentielle d'une fonction quelconque y de x peut toujours être prise de la forme Xdx, X étant une fonction finie de x et de désignant la différentielle de la variable x. De sorte que toutes les règles du calcul différentiel en lui-même se réduisent à trouver cette fonction X, qu'on peut nommer la fonction différentielle.

Considerez, en effet, une quantité y qui dépende continuellement d'une autre x par une loi quelconque; y sera ce qu'on appelle une fonction de x, et cette fonction variera d'une manière continue en même tems que x, sans quoi elle ne dépendrait pas continuellement de x, comme on le suppose, et n'en serait point une fonction.

Si donc x change et s'augmente de la différence Ax, r changera aussi et s'augmentera ou diminuera d'une certaine quantité que

ΔΥ

je nommerai Ay; et l'on pourra considérer le rapport de

Ax

l'accroissement de la fonction à celui de la variable. Si Ax diminue, ▲r diminuera aussi, puisque ces deux quantités sont nulles en même tems, et qu'elles changent d'une manière continue. Mais quoique A x et Ay diminuent ensemble et s'évanouissent à-la-fois, leur rapport peut bien ne pas diminuer jusqu'à zéro, ni croître jusqu'à l'infini, mais tendre sans cesse vers une valeur finie et qui en sera la limite. On en peut voir une foule d'exemples: ainsi la fonction y étant, je suppose x2, la limite de sera 2 x

ΔΥ
ДХ

Αγ
Ꭺ Ꮖ

ΔΥ

A x

;

si la fonction était x, la limite de serait mxm MI ; pour ysin x

il est aisé de prouver qu'elle est cos x; etc. On peut

même dire que, le rapport de deux choses homogènes ne dépendant ni de leur nature ni de leurs grandeurs absolues, par la définition même du rapport, la quantité a toujours une li

Ax

mite; et c'est ce que la considération d'une courbe et de sa tangente dont l'existence n'est pas douteuse, fait voir d'ailleurs avec la dernière évidence.

Ay

le rapport Ax

Ainsi, y étant une fonction quelconque de de l'accroissement de la fonction y, à l'accroissement simultanée de la variable x, a une limite qui ne dépend plus que de x, et qui est ainsi une fonction nouvelle de x. En désignant donc cette fonction par X, on aurait : limite du rapport =X. Or,

ΔΥ
Ax

il est permis de supposer que la différence ▲y est égale à X▲x, plus une certaine fonction de x et ▲x, que je désigne par (x, Ax); ainsi on aura y=Xax+Q(x, Ax). Mais d'après ce que nous avons dit, il suffirait de prendre pour différentielle, la première partie XAx, si la dernière raison de XA X à la différence entière XAx + (x, ▲ x) était l'unité. Prenant donc le rapport, et divisant de part et d'autre par Ax, on trouve:

de Ax, sans quoi X ne représenterait pas la limite de

Ay

Ax

contre l'hypothèse. On a donc à la limite de Ax, le rapport de la partie Xx à la différence X^x + (x, ▲x) égal à l'unité. Donc on peut prendre XAx pour l'expression de la différentielle de y; et changeant la caractéristique A en d, pour marquer qu'on passe aux différentielles, on aura dyXdx; ce qu'il fallait dé

montrer.

Il ne s'agit donc actuellement que de voir comment on peut trouver ce coefficient différentiel X pour toutes les fonctions; et c'est ce que nous pouvons réduire aux trois règles suivantes que j'exprimerai sur-le-champ dans ce tableau.

VII.

Règles du calcul différentiel.

Soit y fx, équation où y est vu directement comme fonction de x, on aura cette première règle:

dy

da

ƒ (x+▲x) —ƒ¤‚ à la limite (0) de Ax,

Ax

Soit y=f(p) (p étant fonction de x), on aura cette seconde

règle.::

Soit

f(p,q) (p et q étant deux fonctions de x), on aura

cette troisième règle:

ƒ(p+ap,q+aq)'—ƒ(p,q), à la limite (0)de Ax, =

Ax

dy dp dy dy
+
dp dx dq dq

La première règle n'est au fond que la définition du coefficient

différentiel

dr " dx découvrir, à moins qu'on ne particularise la fonction fx. Mais la seconde règle fait voir que, si l'on savait différentier une fonction simple, on saurait aussi différentier une fonction de fonction. Elle se démontre facilement en mettant l'expression f(p+Ap)—fp f(p+Ap)-fp. Ар

et ne donne évidemment aucun moyen de le

Ax

sous la forme

X -, qui, à n. dy dp

la limite, devient, en vertu de la première règle

dp dx

Ainsi, pour différentier une fonction de p, p étant une fonction de x, il faut différentier la fonction par rapport à P ? considérée comme une simple variable, puis différentier p par rapport à, et multiplier ces coefficiens différentiels.

de

Et si l'on avait y≈ƒ(P), P étant fonction de p qui est fonction

et par conséquent -

et ainsi de suite.

La troisième règle apprend que pour différentier une fonction