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de deux fonctions p et q de х il faut différentier sucoessivement par rapport à chacune d'elles, considérée comme seule variable, et ajouter ces fonctions différentielles.

Cette règle peut se démontrer assez facilement de cette manière :

Supposez que, dans la fonction proposée qui est y=f(p,q), p croisse seule d'abord de ▲ƒ, par la substitution de x + 4x à la place de x, dans cette fonction seule; y deviendra y=f(p+Ap,q): · et si à présent q seule croît de même à son tour de Aq,r, deviendra Y11 = ƒ (p + sp, q+Aq), et l'on aura le même résultat que si l'on avait augmenté en même tems p et q, des accroissemens simultanés Ap et Ag, dus à l'accroissement Ax de x dans les deux fonctions p et q.

Mais au lieu de prendre.tout d'un coup la différence de y ar il est évident qu'on peut prendre d'abord la différence de y àr,, prendre ensuite celle de y, à Y, et ajouter ces deux différences. On aura donc: y―y ou ▲y=(r,− r ) + ( r»—r,), et diviΔΥ r-r YHY, c'est-à-dire,

sant par Ax,

Дх

ΔΥ

=

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Ax

+

Ax

f(p+▲p,q)—f (p,q) +ƒ(p+Ap,q+aq) —f(p+Ap,q);

A x

Ах

or, à la limite de Ax, la première partie du second membre est,

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Pour trouver la limite de la deuxième

dy dp dp dx ƒ(p+ap,q+aq) — f.(p + AP, 9), imaginez qu'on

par la seconde règle,

partie

AX

,

ne fasse d'abord Ax nul que dans Aq; cette partie deviendrait,

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dy

dq

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fonction où l'on mettrait au lieu de P, p+Ap; donc

"

puisque Ap s'évanouit aussi en même tems que Ax,

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On trouverait de même pour une fonction de trois fonctions

P, 9, 7, représentée par y=f(p,q, r):

dy

dx

et ainsi de suite.

=

dy dp dy dq dy dr
+
+
dp dx dq dx dr dx

D'où l'on voit que la troisième règle s'étend à un nombre quelconque de fonctions p, q, r, etc., qui pourraient se trouver sous la fonction que l'on considère.

VIII.

Telles sont les règles générales au moyen desquelles on peut différentier une fonction quelconque d'une ou de plusieurs autres fonctions, si l'on sait différentier les fonctions simples dont elle se compose.

Ainsi tout se réduit à savoir différentier les fonctions que l'on regarde comme simples, et dont on fait usage dans l'analyse. Or, la première règle,

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ne peut rien donner sous cette forme générale, puisqu'en faif(x+Ax) —ƒx

sant Ax nul, l'expression

Ax

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devient

" ce qui

n'apprend rien: il faudrait donc avant tout transformer cette

expression de manière qu'elle ne se réduisît pas

à

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La seule

transformation générale qu'on puisse indiquer est de développer f(x+Ax) en série, suivant les puissances de Ax; ce qui donnera :

f(x + Ax) = ƒx + Xax + X,▲x2 + X1▲x3 + etc.

Retranchant fx, divisant par Ax et faisant ensuite ▲xo, on

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dy dx

Ainsi la fonction différentielle sera le coefficient de la pre

mière puissance de Ax dans le développement de f(x + 4x). Or, on connaît ces développemens pour les fonctions xm, a*,

log x, sin x, cos x, etc., et par conséquent on peut trouver par cette voie les différentielles de toutes ces fonctions simples.

IX.

Mais pour ne rien emprunter d'étranger à notre calcul, j'observe que les règles générales données plus haut suffisent, même pour différentier ces fonctions que nous regardons comme simples; de sorte que par ces règles, on saura différentier non-seulement les fonctions composées, mais encore toutes les fonctions simples, si l'on sait seulement différentier la plus simple de toutes qui est la variable, même x que l'on considère, et dont la différentielle dy dx

est évidemment dx, et le coefficient l'unité.

Soit, par exemple, la fonction qu'il s'agit de différentier; la nature de la fonction am donne cette identité :

(ax)mam.xm,

qui a lieu quelles que soient a, x et m, et qui est une définition de ce genre de fonctions qu'on appelle puissances.

1

dr dx

Si donc on suppose que xm donne =x, qx étant

ane certaine fonction inconnue qu'il s'agit de découvrir, l'identité (ax)=am.xm donnera de même (règle 2 et hypoth.):

q (ax) a = aTMqx;

d'où l'on tire, en divisant de part et d'autre par am-1:

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or, le premier membre est tout-à-fait indépendant de a: done le second doit l'être aussi. Mais ce second membre est une fonction du produit az donc s'il est indépendant de a, il l'est nécessai

rement de x; donc

Q (ax) (ax"

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dépendre que de l'exposant m, et qu'on peut désigner par fm, et l'on aura :

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Il ne reste plus qu'à déterminer la constante fm.

Pour cela, je considère l'identité x2+= x×x2, et j'ai, en xm+n différentiant et divisant ensuite par +, l'équation

fm+fn=f(m + n).

Ainsi la fonction marquée par fm est de telle nature, que la somme des fonctions est la fonction de la somme.

· On aurait de même fm+fn+fp+etc.=f(m+n+p+etc.); ' et faisant m, n, p, etc. égaux entre eux et à m

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équation où m est une quantité quelconque, et e un nombre entier tel qu'on voudra.

Mais quoique e y soit entendu comme un entier, il n'en résulte pas moins que cette équation peut être considérée comme une identité en met e, où l'on peut certainement permuter les lettres m et e, puisqu'on peut le faire dans le second membre f(me)," sans en changer la valeur.

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Pour obtenir fm, il suffit donc d'avoir fe pour quelque cas particulier où cette fonction serait connue d'ailleurs or dans le cas de e1, on a fe=1; car y=x1 donnerait

==

dy

dx=f(1)x°=f(1);

mais d'un autre côté, par la ire. règle, on aurait :

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donc f(1)=1, et l'équation efm=mfe nous donne ainsi fmm', quelque soit l'exposant m.

Ainsi l'on trouve pour la fonction y➡x":

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quelle que soit m.

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Si l'on craignait quelque difficulté sur la manière dont on établit l'équation efmmfe, on pourrait ne considérer d'abord que le cas de m entier, où cette équation est manifeste, et l'on en tirerait comme ci-dessus fm: m. Après quoi faisant me =9; la précédente efm=fme qui a lieu quelle que soit m, on aurait

dans

le cas de m fractionnaire; enfin faisant nm dans l'équation fondamentale fm + fn = f(m + n), qui a lieu quelles que soient m et n, on aurait le cas de m négatif; et l'on démontrerait successivement le théorême dans ces trois cas sans rencontrer la moindre difficulté.

Mais je passe aux exponentielles.

dy

dx

Soit donc y=a* et =qx, qx étant une certaine fonc- · tion de x qu'il faut découvrir par la nature de la fonction exponentielle a. Cette fonction a* est définie, par exemple, dans cette identité :

(ax)m = amx,

qui a lieu quelle que soit m.

Différentiant par les règles précédentes, et divisant ensuite par m (ax), on trouve :

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4 (mx)

Or, le premier membre est tout-à-fait indépendant de m: donc le second doit l'être aussi; mais ce second membre est une fonction du produit mx: donc s'il ne dépend pas de m, il ne peut non plus dépendre de x; et est une constante K qui ne peut plus dépendre que de la base a de l'exponentielle a*. Ainsi qx=Ka, et l'on a :

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Qmx

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On pourrait chercher comme ci-dessus la nature de la fonction fa qui représente la constante K, et l'on trouverait facilement cette propriété :

fa + fb.=f(ab);

d'où l'on voit que fa est de la nature des logarithmes, et peut être représentée par clog a, c étant une constante qui ne dépend plus que du systême de logarithmes que l'on voudrait choisir. Mais il est plus simple de ne considérer d'abord que l'exponentielle e*, où e représente la base des logarithmes de Néper, et d'y réduire ensuite les autres exponentielles.

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