A or quand xo, y1, et par conséquent K = dy dx , quand x=o. Mais la base e des logarithmes de Néper est telle que la première raison de l'accroissement Ay du nonibre à l'accroissement Ax du logarithme, est l'unité à l'origine des logarithmes. Ainsi dy est 1, quand x=o, et l'on a K=1 dans le systême de Néper; on a donc : Actuellement a peut être changée en exla: donc en différentiant, d(az) dx = exla.la=a*.la. Et la constante fa n'est autre chose que le logarithme même de la base a, dans le systême des logarithmes naturels. X. On pourrait aller plus loin et varier les démonstrations; mais ces exemples suffisent et d'ailleurs, p par la conversion mutuelle des sinus et des exponentielles, toutes les fonctions que l'on considère en analyse peuvent se réduire aux deux fonctions x et a*. Quant aux fonctions inverses, loga, arc sin = x; etc., leurs différentielles, par la seule application de la seconde règle, se déduiront des précédentes sans aucune difficulté. Ainsi le calcul différentiel est compris en entier dans les trois règles générales que nous avons données. La première est la définition même de la fonction différentielle, et les deux autres sont l'expression des lois par lesquelles la différentielle d'une fonction composée de plusieurs autres, se compose des différentielles relatives à chacune d'elles. Ces lois sont, comme on voit, très-simples, et il est bien digne de remarque qu'elles soient semblables à celles dé la composition des forces ou des mouvemens dans l'espace. Sur le changement de la variable indépendante, ou transformation des fonctions différentielles. Extrait des leçons d'analyse de M. POINSOT.) ( I. Soit une fonction quelconque de x, y=fx; on aura, comme dr d'y on l'a vu, dx dx2 etc., pour les coefficiens différentiels de y par rapport à x. Mais si l'on imagine qué z devienne fonction d'une troisieme variable t ( auquel cas y devient aussi fonction de t), et qu'on prenne les coefficiens différentiels de y par rapport à t, on aura, par le principe de la différentiation d'une fonction dé fonction (2. régle): Le coefficient différentiel d'une fonction y de x pris_relativement à x, est égal au rapport des coefficiens différentiels de y et x, pris relativement à la variable t, dont on les suppose toutes deux devenues fonctions. dy On aurait donc de même, en désignant pour un moment dz dont la loi est uniforme, puisque chacune d'elles se déduit de la précédente en la différentiant par rapport à í, et divisant ensuite dx par di II. Ces formules serviront à transformer toute expression diffé dy day rentielle en x, X, , etc., en une autre qui renfermedx dx2 rait à-la-fois les coefficiens différentiels de x et mais pris relativement à une troisième variable t dont on les supposerait fonctions. est La fonction que l'on suppose au lieu de la variable x, t tout-à-fait arbitraire; mais quand elle est choisie, y devient nécessairement une fonction déterminée de , qui est y=f(pc), afin que par l'élimination de t entre les deux équations xot et yf(pt), on retrouve y f(x) qui est l'équation proposée. Mais si l'on supposer une telle fonction de t qu'il en résulte o, etc., et les for day = dt Ce sont les formules nécessaires pour passer des coefficiens différentiels de y relatifs à x, aux coefficiens différentiels de x relatifs ày, ou des coefficiens differentiels d'une fonction aux cofficiens différentiels de la fonction inverse. Sachant, par exemple, que y sin x donne dy COS I en dx on en conclut tout de suite: Si l'on suppose, en général, pour une telle fonction de qu'il en résulte t = ↓ ( x, y ), 4 désignant une fonction donnée, 0= d↓ dy +: dx dt dy dt dx2 d2 + (da)2 + dx2dt O etc. d↓ d2x d↓ dy2 d↓ d'x d dx dy dx dr dy dt dy dr dxdy dt dt Et au moyen de ces différentes équations, on éliminera des for qui leur donnera une forme particulière relative à la fonction (x, y) que l'on aura choisie pour t On voit même que pour chasser dx dex dt dt , etc.; ou il n'est pas nécessaire de connaître la fonction -, etc., dy day dt' di' (x,y) que l'on prend pour variable indépendante t; mais qu'il suffirait d'avoir son coefficient différentiel relatif à t. Ainsi je suppose que ↓(x, y) soit la fonction inconnue de x et de y qui représente l'arc s de la courbe, dont yfx est l'équation. Donc en faisant st, comme on le suppose ici, on aura : Au dx dt dx d'x dy day + dt dt o etc. moyen de quoi on chassera des formules (4) les coefficiens au lieu de t, pour mieux rappeler que t doit être l'arc même de la |