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Si l'on prend = arc sin =

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J

Vx2 + r2

arc coS

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√x2 + y2 on en tirera de même des équations au moyen desquelles on pourra éliminer des formules générales, les coefficiens différentiels de x ou de y relativement à 1, ce qui leur donnera une forme particuliere relative à cette hypothèse.

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et substituant dans les formules générales (A), on aura les coefficiens différentiels

dy d'y

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dx dx etc.,

transformés en coefficieus

différentiels du rayon vecteur r (mené de l'origine comme foyer), 'par rapport à l'angle o que forme ce rayon vecteur avec l'axe des abscisses.

VI.

On peut appliquer ces formules aux différentes expressions des sous-tangentes, sous-normales, à celle du rayon de courbure, et en général à toutes les expressions ou équations différentielles qui pourraient s'offrir.

Par exemple, le rayon de courbure R est, en fonction différentielle de l'ordonnée y relatiyement à l'abscisse x:

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Si l'on regarde

et y comme fonctions d'une troisième variable

quelconque, cette expression devient :

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Si l'on y suppose x=t, elle redonne la première. Si l'on fait y=t, elle donne celle-ci :

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qui ne diffère de la première que par le changement de x en y, et par le signe ; elle diffère par le signe, parce que la courbe ne peut être concave vers x sans être convexe vers y, et réciproquement. Si l'on suppose t= s la fonction de x et qui mesure l'arcs de la courbe proposée, la formule devient:

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et cette expression sera la plus commode dans le cas où l'équation de la courbe serait immédiatement donnée entre l'ordonnée et l'arc. Soit, par exemple, un cercle dont s est l'arc, y l'ordonnée, a le rayon; on a

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Soit encore l'équation Vaa (2a — y ) = 4a - s, qui appar tient à une cycloïde, dont serait l'ordonnée perpendiculaire à la base, s l'arc correspondant qui commence avec y, a étant le diamètre du cercle générateur; on aura:

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ainsi le rayon courbure est double de la corde menée du point dé crivant au point de contact du cercle générateur avec la base.

VII.

Enfin si dans l'expression générale du rayon de courbure vous faites t=r=Vx2+y2, vous pourrez mettre cette formule

dy

en

dx dax

ou bien en

dr dr2

day selon que vous voudrez dr dra 'éliminer les coefficiens différentiels de x ou de y, relativement à cette troisième variable r; et vous auriez le rayon de courbure par l'ordonnée et le rayon vecteur r. Vous pourriez ensuite regarder et r comme fonction d'une troisième variable, et remettre la formule d'une manière générale en:

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mais vous pouvez éviter cette double transformation pour passer aux coordonnées polaires r et, en posant tout de suite, commė on l'a fait ci-dessus :

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et substituant dans l'expression générale (VI), après y avoir changé en ; vous aurez :

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2

der

r. dq2

On considère encore l'anglè que la tangente de la courbe fait avec le rayon vecteur, et qui est égal à l'angle formé par cette tangente avec l'axe des abscisses, moins l'angle formé par le rayon vecteur avec le même axe. Or, le premier de ces angles a pour ¡dy A

do

tangente:

→; le second,

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dx

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do

de la différence a, sera en coordonnées polaires r et q :

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Ces formules seront utiles pour un grand nombre de courbes, dont l'équation est très-simple en coordonnées polaires, et entre autres pour les spirales.

Soit, par exemple, la spirale logarithmique, dont l'équation est, r=a*; on trouve pour la tangente de l'inclinaison

de cette courbe sur le rayon vecteur r, tang w = la étant le loga

1

la

rithme hyperbolique de a. Ainsi la spirale logarithmique est une courbe qui est toujours également inclinée sur le rayon vecteur. Pour le rayon de courbure, on trouve, en substituant les valeurs

de

dr

do

der

do'

dans la formule précédente :

R=r√1+(la).

Ce qui fait voir que la courbure est en raison inverse du rayon vecteur. Si a est la base e des logarithmes de Néper, le=1. Le rayon de courbure devient r V2, et la tangente de a est égale à l'unité.

VIII.

Ce qu'on vient de dire dans cet extrait renferme la théorie de la transformation des fonctions différentielles, ou du changement de la variable indépendante. Dans le calcul des fluxions, ce serait le changement de la variable uniforme, ou dont la fluxion est prise pour unité. Dans le systême des infiniment petits de Leibnitz, c'est le changement de la variable dont la différentielle est regardée comme constante. Mais ces diverses dénominations ne repondent, comme on voit, qu'aux divers points de vue sous lesquels on peut envisager le calcul différentiel; et toute cette théorie n'est qu'une application continuelle de la seconde règle générale de ce calcul; comme le Calcul différentiel relatif aux fonctions de plusieurs variables indépendantes, n'est qu'une application de la troisième règle, où l'on différentie toujours comme si les variables étaient fonctions d'une seule, mais où l'on ne perd jamais de vue qu'elles en sont des fonctions tout-à-fait arbitraires, ce qui laisse ces variables dans l'état d'indépendance où elles étaient supposées.

Analyse appliquée à la géométrie ;
par M. HACHette.

Les questions d'analyse appliquée à la géométrie, dont on fait le plus souvent usage dans la mécanique, et les seules qui soient indispensables pour étudier cette science, sont relatives aux courbures des surfaces et des lignes.

J'ai réuni dans cet article les propositions démontrées par Euler, Monge et Meusnier. J'y ai ajouté des extraits de deux Mémoires qui ont été publiés par MM. Dupin et Lancret, anciens élèves de l'Ecole Polytechnique, l'un de M. Dupin, sur les tangentes conjugées que je nommerai tangentes réciproques; l'autre sur les développoïdes des courbes à double courbure.

I.

De la courbure des surfaces.

L'équation différentielle du premier ordre d'une surface étant : dz = pdx+qdy,

(1)

on sait que les quantités p et q déterminent la direction du plan qui touche la surface au point x, y, z; c'est par cette raison qu'on les appelle élémens du contact du premier ordre. Différentiant l'équation (1), en regardant les différentielles dx et dy comme constantes; et supposant qu'on ait :

on a :

dp

rdxsdy, dq=sdxtdy,

d2z = rdx2 + 2 sdxdy + idy2.

(2)

Les quantités r, s et t sont des fonctions de x ety, qu'on nomme élémens du contact du second ordre, parce qu'elles déterminent les rayons de courbure des sections planes de la surface, qui passent par le point x, y, z. Supposons que ce point soit l'origine des coordonnées et en même tems le point où le plan des xy touche la surface; l'axe des z sera une normale de cette surface, et le rayon de courbure d'une section normale passant par la droite y=ax, sera

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drz

dx2 + dy

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dy

A cause de 1&
dx

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ce rayon

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