La grandeur de ce rayon dépend évidemment de la tangente trigonométrique a, qui peut varier, tandis que les quantités r, s et t sont constantes. Pour obtenir le plus grand et le plus petit rayon de courbure des sections normales, on aura:

Nommant m et m' les deux racines de cette équation, on a:

mm' = [ ου 1 + mm2 = 0;

!

c'est ainsi qu'Euler a prouvé que le plus grand et le plus petit rayon de courbure des sections normales, correspondaient à deux sections, dont les plans font entre eux un angle droit ; on peut donc supposer que ces plans se confondent avec les plans des xz et des yz. Les valeurs et du plus grand et plus petit rayon de courbure étant :

Les valeurs de m et m' étant données par l'équation (4),

m2 + m

(4')

Il est évident que l'hypothèse de mo ou∞, donne so:

donc l'expression de p donnée par l'équation (5) se réduit à :

Nommant A, l'angle des plans normaux qui contiennent les sections dont les rayons sont pet p', et dont la tangente trigonométrique

De ces quatre quantités p, p, p, et l'angle des plans normaux qui contiennent les rayons pet p', ou les rayons p et,, trois quelconques déterminent la quatrième, dont la valeur sera donnée par l'équation (5). Cette relation a été trouvée par Euler.)

L'équation (5) fait voir que les rayons de courbure de deux sections normales, dont les plans font avec les plans des sections normales de plus grande ou plus petite courbure des angles égaux, sont de même grandeur.

Dans la même hypothèse de m=0 des sections normales de plus grande et cident avec les plans des xz et des yz,

et par conséquent:

ou de m'∞, les plans plus petite courbure, coin

et on a :

Ce dernier résultat est indépendant du choix des plans des coordonnées; en effet, on a pour un rayon quelconque d'une section normale:

Et pour le rayon de la section normale, perpendiculaire à la première :

α.

α on

quel que soit a. (Dupin, Correspondance, pag. 218, tom. Ir.) Combinant les équations (3) et (4) (*) pour éliminer obtient l'équation suivante:

(7)

d'où l'on tirerait pour l'expression du rayon de la section normale de plus petite ou plus grande courbure:

2

r+t±√ 4s2+(t−r)2.

La valeur de déduite de cette équation (7), n'appartient pas seulement au rayon de la section normale de plus grande ou plus

(*) Calcul de l'élimination de &.

Éliminant au moyen des équations (3) et (4), on trouve pour a la valeur

Résolvant l'équation (4), on a pour seconde valeur de « :

(tp — 1) (452 + (t− r )2) + ( 2 s2p + (t − r) (tp − 1)) ▼ 4 s2 + ( t − r)2°

divisant par V4s+ (t − r)3,

`(tp — x ) √ 432 + (t − r )2 + 2 s2p + ( 8 − r) { tp — 1 ) = 0.

Élevant au carré pour faire disparaître le radical, et réduisant, on parvient à Péruation (2):

(rt-s2) p2 - (r+t) p + 1 = 0.

petite courbure; elle est encore égale à la portion de la normale comprise entre la surface et le point de rencontre de cette normale et d'une autre normale qui en est infiniment voisine. M. Monge est le premier qui a démontré cette propriété générale des surfaces (*), qu'une normale quelconque n'est rencontrée que par deux autres normales, qui en soient infiniment voisines; les portions de norinale comprises entre les points de rencontre et la surface, sont égales aux rayons des sections normales de plus petite et de plus grande courbure. Pour le démontrer, soit :

l'équation d'une sphère du rayon qui touche le plan des xy, à l'origine des coordonnées. Les équations de la normale au point x ;r, z d'une surface dz = pdx+qdy, sont:

Pour que la normale passe par le centre de la sphère, dont les coordonnées sont x'o, r' = o, z' =, on doit avoir:

Pour une normale infiniment voisine, assujétie à passer par le même centre (x'=0,y=o, z' =p), les équations (n) deviendront:

(x+dx)+(p + dp ) ( p − ( z + dz)) = 0, −(y+dy)+( 9 + dq ) ( p − ( z + dz)) =0, retranchons-en les équations (n), et on a :

les deux systêmes d'équations (n) et (n') expriment que deux normales consécutives se coupent au point (x'= 0, y'=0,z'=p). Mais lorsque le point de la surface que l'on considère, est à l'origine des coordonnées, on a :

x=0 , y = 0, %=0 P=0, 9=0;

donc les quatre équations (n) et (n') se réduisent à ces deux ci :

(*) Ce théorême est une conséquence d'une proposition plus générale, qui sera démontrée page 152.

Mettant dans cette équation pour dp et dq, leurs valeurs rdx+sdy, et sdx+tdy, on aura :

ou

dx (sdatdy) dy (rdx + sdy)=0;

(rdx+sdy)

équation identique à l'équation (4) trouvée page 133, dans laquelle

dy dx

L'équation p =

dx dp

Sp

leur dans l'équation (4), on obtient l'équation (7, pag. 135),

( rt — s2 ) p2 — (r+t) p+1=0.

(7)

Le rayon qui a pour valeurs les racines de cette équation, est ce qu'on nomme le rayon de courbure de la surface; il est en même tems le rayon de la section normale de plus grande ou plus petite courbure.

L'équation (5) établit la relation qui existe entre les rayons de courbure d'une surface et les rayons de courbure des sections normales. L'angle A qui entre dans cette équation, est la différence de deux angles, dont on connaîtra les tangentes par les équations (3) et (4'). Nous allons maintenant chercher la relation qui existe entre les rayons de courbure d'une section normale et d'une section oblique qui ont une tangente commune; et pour simplifier le calcul, nous supposerons que cette tangente est l'axe des x; que le point de contact est à l'origine des coordonnées enfin que le plan des xy touche la surface. Dans cette hypothèse, le plan des zz contient la section normale, le rayon

de courbure de cette section est

1

et

daz

et le rayon

de cour

et étant l'angle des plans des sections normale et oblique.