Nommant Ret R' les rayons de courbure des deux sections,

Ce rapport entre les deux rayons R et R', fait voir que les cercles osculateurs de toutes les courbes d'une surface, dont les planş passent par une tangente de cette surface, appartiennent à une sphère dont le rayon est égal au rayon de courbure de la section normale qui passe par la même tangente. (Théoréme de Meusnier.)

II.

Des tangentes réciproques (*).

Pour définir ces tangentes, il faut supposer qu'un plan tangent à une surface, passe d'une position quelconque, à une position infiniment voisine. Des deux tangentes réciproques, l'une est l'intersection de deux plans tangens consécutifs, et l'autre est le prolongement de la droite menée sur la surface par les deux points de contact infiniment voisins.

Soit comme précédemment :

dz = pdx+qdy,

l'équation différentielle d'une surface. Lorsqu'on suppose que le plan des xy touche la surface à l'origine des coordonnées, on a: ху

Ayant mené par le point de contact, une droite de l'équation Jax, on aura pour le point de contact de la droite et de la surface:

(*) Ce paragraphe est extrait des Mémoires de M. Dupin.

Si l'on passe du premier plan tangent ( celui des xy) à un second plan tangent infiniment voisin, qui coupe le premier suivant la droite y=x, on a pour le point de contact de ce second plan : (p+dp) + a( 9+ dq) = 0, ou dp + adq=0,

et en mettant pour dp et dq, leurs valeurs :

tion de la droite menée sur la surface, par les points des contact des deux plans tangens consécutifs. Désignant cette quantité par a', la droite ya' est la tangente réciproque de celle dont l'équation donnée, est yax. Cette réciprocité consiste en ce que les constantes a, a' qui déterminent ces tangentes, sont liées entre elles par une équation réciproque (*), dans laquelle on peut changer a en a', ou a' en a. Cette équation est:

Lorsque les tangentes réciproques sont rectangulaires, on a a=1; et l'équation (9) devient

a2 + a

(a)

elle ne diffère pas de l'équation (4) trouvée page 157; ce qui prouve que dans ce cas, les tangentes réciproques appartiennent aux sections normales de plus petite et plus grande courbure.

(*) M. Monge avait déja remarqué cette propriété des tangentes réciproques, par rapport aux deux courbes d'une surface, qu'il a nommées caractéristique, et irajectoire des caractéristiques. Il exprime cette propriété de la manière suivante : (voyez son ouvrage d'Analyse appliquée à la géométrie, édition 1809, pag. 375.)

«La surface développable qui touche une surface enveloppe dans la caracté– «ristique, et celle qui touche l'enveloppe dans la trajectoire, sont réciproques « en cela, que la première est le lieu des tangentes aux différentes trajectoires, dont les points de contact sont pris sur la même caractéristique, tandis que «la seconde est le lieu des tangentes aux différentes caractéristiques, dont les "points de contact sont pris sur une même trajectoire. »

«Cette propriété mérite une grande attention, parce que c'est son expression « qui nous produira les deux équations aux différences ordinaires de la caracté→ «<ristique. »

'Des rayons de courbure des sections normales, menées par les tangentes réciproques.

Les sections normales, menées par les tangentes réciproques jouissent de cette propriété, que la somme des rayons de courbure de ces deux sections menées par la même normale de la surface, est une quantité constante; et comme les tangentes des sections de plus petite et de plus grande courbure sont réciproques, cette quantité est égale à la somme des rayons de courbure de la surface, qui correspondent au point d'intersection de ces tangentes. Nommons les deux rayons de courbure des sections normales, menées par les tangentes conjuguées r = ax, y=a'x;

on aura:

et

r+2sa + ta's

P

d' r+2sa' + ta'2

(3)

et les quantités a, a' sont liées entre elles par l'équation :

Tirant de cette équation la valeur de «', et la substituant dans l'expression (3) de P, on a :

est la somme des deux rayons de courbure p' et de la surface. On a vu (page 132) qu'en prenant les plans des sections normales de plus grande et de plus petite courbure, pour plan des xz et des yz, les rayons de courbure de la surface pet p, avaient pour

I

r

expressions et Dans cette hypothèse, on a s=0, et l'équation (9) se réduit à :

des coordonnées, et dont les diamètres principaux sont parallèles aux axes des coordonnées; l'équation de cet ellipsoïde sera:

Prenant les différences partielles de cette équation, on trouve dans l'hypothèse de x=0, 20, p = 0,9 = 0,

ce qui signifie que les rayons de courbure au sommet de l'ellipsoïde, sont égaux aux rayons de courbure des deux sections principales qui passent par ce sommet.

L'équation des tangentes réciproques

r

devient

+ax' = 0; ce qui apprend que les tangentes réciproques se confondent en direction avec les diamètres conjugués de la section principale de l'ellipsoïde,

section dont le plan est parallèle à celui des xy, tangent à la surface.

Cette dernière propriété étant le sujet principal du Mémoire de M. Dupin sur les tangentes réciproques, il les a nommées par cette raison tangentes conjuguées.

III.

Des courbes à double courbure.

De l'élément d'une courbe à double courbure.

Une courbe à double courbure étant projetée sur les plans rectangulaires des xz et des yz, les équations des projections de cette courbe, sont:

et étant des fonctions dont la forme dépend de la nature de la courbe.

L'élément d'une courbe à double courbure correspondant au point x, y, z, a pour expression √(dx2 + dy2 + dz3); et a cause de dy dxq'x, dz= dx 4'x, et écrivant pour abréger ' et ', au lieu de q'x et 'x, on a pour l'expression de l'élément ds de la courbe,

'

'Des tangentes et des plans normaux d'une courbe à double

courbure.

La tangente en un point de cette courbe dont les coordonnées sont x', qx', x', a pour équations de ses projections :

Le plan normal à la courbe au point x',,, est perpendiculaire à la tangente au même point: il a donc pour équation:

( z −4)+'+(ƒ − q ) q' + x — x' = 0,

équation d'un plan dont les traces sont perpendiculaires aux projections de la tangente.

Des plans osculateurs d'une courbe à double courbure.

Les tangentes d'une courbe à double courbure, prolongées indéfiniment, forment une surface développable à deux nappes séparées par la courbe même; un plan tangent à cette surface passe par deux tangentes consécutives, ou par deux élémens consécutifs de la courbe. On nomme ce plan, plan osculateur de la courbe. Cet équation est de la forme

z—4—B (y — q ) — A ( x − x') = 0. Différentiant deux fois de suite par rapport à x' seulement, on obtient deux équations; d'où l'on tire les valeurs suivantes de A et de B:

A:

Mettant pour A et B leurs valeurs, l'équation du plan oscula