Des angles de contingence et de flexion.

L'angle de contingence d'une courbe à double courbure, est. formé par deux tangentes consécutives, comprises dans le même plan osculateur; il est égal à l'angle de deux plans normaux consécutifs, menés par les points de contact. L'angle de flexion designera l'angle compris entre deux plans osculateurs consécutifs.

Soient u, u', u les cosinus des angles qu'un premier plan P fait avec les trois plans coordonnés; en supposant que ces angles varient infiniment peu, leurs cosinus deviendront u + du, u'+du', u" + du; le second plan P' déterminé par les nouveaux angles, fera avec le premier un angle infiniment, petit; nommant ds le sinus de cet angle, je dis qu'on aura :

ds2 = du2 + du'2 + dull2;

car les différentielles du, du', du" des cosinus u, u', u", sont les projections de l'arc ds sur les trois plans rectangulaires. En effet, négligeant les infinimens petits du seconde ordre, la droite sur laquelle on compte l'arc ds est perpendiculaire à-la-fois aux deux plans Pet P': le plan mené par cette droite et par une perpendiculaire à l'un des plans coordonnés, contient les deux angles que le plan des coordonnées fait avec les plans Pet P'; d'où il suit que l'arc ds a pour projection sur ce même plan des coordonnées, la différence des cosinus u+du et u; c'est-à-dire la différentielle du On prouve de la même manière que les différentielles du' et du" sont les projections du petit arc ds sur les deux autres plans des coordonnées : donc on a l'équation très-simple:

ds=V du + du12 + dull”.

Étant donnée l'équation d'un plan:

Lx+My+Nz=0,

on sait qu'il fait avec les trois plans des coordonnées, des angles dont les cosinus u, u', u", ont pour expression :

Différentiant ces quantités, on aura les valeurs des trois différentielles du, du', du", et par conséquent le sinus de l'angle formé par les deux plans qui ont pour équation :

ux +u'y +u" z = 0 0; (u + du) x + (u' + du') y + (u" + đu") z = 0.

Prenons pour exemple, les plans normal et osculateur de la courbe à double courbure (page 142); on a pour le premier :

Tirant de ces équations les valeurs de du, du', du", et les substituant dans l'équation ds = V du+ du' + du", on a pour le sinus de l'angle de contingence dC :

L'équation du plan osculateur (page 142) donne:

Substituant les valeurs de 2 et de k'2, on a :

Mettant pour la quantité qu'elle représente, et observant que

?!" = q'↓ '” — ↓'p"", on a pour l'expression du sinus de l'angle

de flexion:

Des rayons osculateurs d'une courbe à double courbure.

rayon

de ce

Le plan osculateur contient deux élémens consécutifs de la courbe; si l'on conçoit dans ce même plan la circonférence qui passe par ces élémens ou par trois points consécutifs de la courbe, le cercle est ce qu'on nomme le rayon de courbure de la courbe, ou le rayon du cercle osculateur. L'élément de la courbe, et les deux rayons du cercle osculateur qui passent par les extrémités de cet élément, forment un triangle isocèle, dans lequel nommant de l'élément de la courbe ou du cercle osculateur, et R le rayon de ce cercle, on a de RdC, et par conséquent R=

I

2

ds

dC

Mettant pour de sa valeur dæ' Vi+q22 + ↓2, et pour dC sinus de l'angle de contingence, l'expression trouvée ci-dessus (page 144)

M. Lacroix a donné dans son Traité de calcul différentiel, in-4°., 2. édition, page 627, cette formule plus conplette qu'on déduirait facilement de ce qui précède :

t

dg6

(dydz―dzdy)2 + (dzd3x — dxd1z)2 + (dxd3y — dydx)

(*) On doit à M. Fourier, cette remarque ingénieuse, que les `plans normaux à une courbe à double courbure, forment par leurs intersections succesives, une surface développable, dont l'arête de rebroussement a des angles de contingence et de flexion égaux aux angles de flexion et de contingence de la courbe à double courbure donnée; chaque plan normal à cette courbe contenant les points des deux courbes, pour lesquels ces angles sont réciproquement égaux.

Cette proposition est une conséquence de la propriété de la pyramide supplémentaire. Il suffit de considérer la pyramide triangulaire, dont les arêtes seraient pa-rallèles à trois tangentes consécutives d'une courbe à double courbure, et les trois plans perpendiculaires à ces tangentes, qui comprennent une seconde pyramide, supplémentaire de la première.

Des formules par lesquelles on trouve les points singuliers des Courbes à double courbure.

Les points singuliers des courbes à double courbure sont ceux pour lesquels les angles de contingence ou de flexion deviennent nuls. L'angle de contingence ne peut devenir nul que dans le cas où l'on a "=0,4" =0; ces formules sont aussi celles par lesquelles on trouverait les points de rebroussement des projections de la courbe, et ce qui doit être en effet; car s'il y a rebroussement dans une courbe à double courbure, ce rebroussement affecte ses projections.

Quand aux points singuliers pour lesquels l'angle de flexion est nul, on les détermine par la formule (page 145) dF=0, ou

Pour que la courbe soit plane, il faut que cette équation de condition soit satisfaite par les valeurs des coordonnées d'un point quelconque de la courbe proposée.

IV.

Sur les développoïdes des courbes planes, et des courbes à double courbure.

Extrait d'un Mémoire lu à l'Institut, le 22 décembre 1806, par M. LANCRET, imprimé en 1811, tom. II des Savans étrangers de l'Institut.

Si par tous les points d'une courbe plane ou à double courbure, on mène des lignes droites qui se rencontrent deux à deux consécutivement, en coupant la courbe sous un angle constant, ces droites sont les tangentes de la courbe que M. Lancret nomme développoïde.

Les développoïdes d'une courbe à double courbure, qui correspondent à l'angle sous lequel les tangentes de développoïdes coupent la courbe, sont d'autres courbes à double courbure, tracées sur une même surface. Cette surface est l'enveloppe de l'espace que parcourt un cône droit, dont le sommet se meut sur la courbe donnée, et dont l'axe s'applique successivement sur les tangentes de cette courbe. Lorsque la courbe donnée est plane, elle a un système de développoïdes situées dans le même plan que la courbe. Ces développoïdes planes jouissent d'une propriété remarquable, démontrée par Réaumur, Mémoires de l'Académie des sciences de

Paris, année 1709. Ce savant suppose qu'on ait mené deux droites infiniment voisines qui coupent une courbe plane sous un angle donné; elles se rencontrent sur le plan de cette courbe en un point; la portion de l'une ou l'autre secante, comprise entre ce point et le point de la courbe d'où elles partent, est ce qu'on nomme rayon de la développoïde. Réaumur a prouvé qu'en faisant varier l'angle sous lequel deux droites consecutives coupent la courbe, les rayons de developpoïdes correspondans à l'angle variable, sont les cordes d'une circonférence, dont le diamètre est égal au rayon du cercle, qui est osculateur de la courbe aux points infiniment voisins, par lesquels on a mené les secantes (*). Pour démontrer cette proposition, soit (fig. 1, pl. 1) AMNB la courbe proposée; MT, NT les tangentes aux points M et N; MO, NO les droites qui coupent les tangentes sous les angles égaux MO,TNO. Les trois points M, N, O, et le point T d'intersection des deux tangentes sont situés sur un cercle MNOT, tel que deux autres cordes quelconques MO', NO' de ce cercle, feront avec les tangentes MT,TN des angles égaux. Mais lorsque les points Met N seront infiniment voisins, le dianíètre MR du cercle MNOT sera le rayon de courbure de la courbe AMNB au point M; donc tous les rayons de développoïdes planes de cette courbe, et qui partent de l'un de ses points M, sont des cordes d'une circonférence, qui a pour diamètre le rayon du cercle osculateur de la courbe au même point M.

De la surface des développoïdes d'une courbe plane.

Soit yx l'équation de la courbe, l'équation de sa tangents en un point, Qu, sera':

Le cône droit dont le sommet est au point de la courbe à, Qu, et qui a pour axe la tangente au même point, peut être consideré comme une surface de révolution composée de cercles, résultant de l'intersection de deux sphères variables; la première du rayon arbitraire r, a pour équation :

(*) Lorsque la courbe est à double courbure, le cercle osculateur suivant un élément de cette courbe, a pour rayon, le diamètre d'une circonférence qui est le lieu des extrémités des rayons de développoïdes, menés par les extrémités de cet élément dans le plan du cercle, osculateur.

H. C.

J