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la seconde, du rayon r sína, (w étant l'angle de l'axe et de la génératrice du cône), sera:

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Développant l'équation (2), la réduisant, et éliminant le rayon arbitraire r, on a pour l'équation du cône droit :

{x—a+Q'(y—Qu)}2=cos2@((x—w)2+( r—Qw)2+32) (1+q!3). (3) Différentiant par rapport à a, seulement :

(4)

{x — a +(x − a) q' a} ({ J — q ) q" — (1+9'')) =— cos" w (1 + q′2 ) { x − a + (r− q) q' } + cos2 w ((x — α)2 + (y — Qa )2 + z2) Q'q". I'élimination de a entre les équations (3) et (4) donne l'équation de la surface des développoïdes qui correspondent à l'angle .

Si l'on veut discuter la courbe qui résulte de l'intersection de deux cônes droits consécutifs, on pourra supposer dans les équations (3) et (4) :

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ce qui revient à placer le sommet du premier cône à l'origine des coordonnées, et l'axe de ce cône, ou la tangente à la courbe au point (a, c) sur l'axe des . Cette hypothèse réduit ces équations (3) et (4) aux suivantes :

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d'où il suit que deux cônes consécutifs se coupent suivant une hyperbole dont le plan est perpendiculaire au plan de la courbe donnée, et parallèle à la tangente de cette courbe, qui sert d'axe au premier cône. Les demi-axes de cet hyperbole sont :

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qla étant la valeur de cette fonction qui correspond à α=0.

1

Pour appliquer les équations (5) et (4) au cas particulier du cercle, supposons, que ce cercle ait pour équation:

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Substituant ces valeurs dans l'équation (3), elle devient:

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Des deux facteurs qui forment cette équation, le premier égalé à zéro exprimerait que le cercle donné se réduit au point x = u, y = Qa, zo. Le second facteur égalé à zéro appartient à la surface des développoïdes du cercle qui correspondent à l'angle w. On a donc pour cette surface:

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V

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x − 2 y Vp2 — a2}.
23 Vp—a2}.

(5)

p3Ã3 — a2x2 — 2 a xˆ √ p2 — a2 + α2y3 = p2cos3w {x2+ y2+ z2+ p2 — 2 a L'équation (6) donne :

ou

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a2x2 + 2αx7 V p2 — «2 = p1cos1w — y2 ( p2 — œa )。

Substituant ces valeurs dans l'équation (5); elle devient:

(x2 + y2 ) sin3w = cos3∞ ( z2 + p2 ) — p3cos1∞,

(x2+y) taug2 = z2 + p2sin’....

(5)

(5)

Cette équation appartient à un hyperboloïde de révolution, engendré par une droite faisant un angle avec le plan des xy, et distante de l'axe des z d'une quantité cosa, rayon du plus petit cercle de la surface, concentrique au cercle donné x2 + y2= p2. (Fin de l'extrait du Mémoire de M. Lancret.)

En recherchant ce que devient dans la géométrie aux trois dimensions, la propriété des développoïdes, analogue, a celle que Réaumur a démontrée pour les courbes planes, on trouvera le théorème sui

yant:

«Si par une droite tangente à une surface, on conçoit toutes « les sections dont les plans passent par cette targente, le lieu des «< extrémités de tous les rayons de développoïdes, qui correspondent « dans chaque section au point de contact de la droite et de la sur« face, est une sphère, et le diamètre de cette sphère, est égal au «rayon du cercle osculateur de la section normale, dont le plan « passe par la tangente à la surface ».

Démonstration. D'après Réaumur, la circonférence qui a pour diamètre, le rayon du cercle osculateur d'une courbe plane, est le lieu des extrémités des rayons de développoïdes, correspondans au point de contact de la courbe et du cercle; or, tous les cercles osculateurs des sections planes d'une surface passant par une tangente à cette surface, appartiennent à la sphère dont le grand cercle est osculateur de la section normale menée par la tangente, (voyez page 138, équat. 8). Donc, etc.

Sur la ligne la plus courte entre deux points d'une surface.

la

Si par chacun des points de cette ligne, on conçoit le plan tangent à la surface, ce plan engendre une surface développable, circonscrite à la surface proposée, et en la développant ligne la plus courte devient évidemment une ligne droite sur le développement. C'est par cette raison que dans un Mémoire sur les courbes à double courbure (26 avril 1802, tom. Ier. des Savans étrangers de l'Institut, année 1805), M. Lancret nomme cette surface développable, surface rectifiante de la ligne la plus courte. I suppose dans ce Mémoire que les plans osculateurs de la ligne la plus courte d'une surface, sont perpendiculaires aux plans tangens de cette surface. Il suit évidemment de cette hypothèse, qu'en menant par les tangentes d'une courbe donnée, une suite de plans perpendiculaires aux plans osculateurs de la courbe, les intersections successives de ces plans, forment la surface rectifiante de la courbe proposée.

On démontre par la synthèse, dans le Dictionnaire de l'Encyclopédie, à l'article Courbe à double courbure, cette proposition les plans osculateurs de la ligne la plus courte d'une surface sont perpendiculaires aux plans tangens de cette surface », la proposition est vraie, mais la démonstration n'est pas satisfaisante.

:

Sur une sphère, dit-on, la ligne la plus courte est un grand cercle, dont le plan est perpendiculaire au plan tangent; or, tout élément de surface infiniment petit se confond avec la surface d'une sphère: donc, etc. On sait qu'une sphère ne peut avoirde contact du second ordre que suivant une ligne déterminée de cette surface; on ne peut donc pas supposer que les élémens de la sphère et de la surface se confondent.

J'ai cherché une autre démonstration synthétique, fondée sur le mode de génération de la ligne la plus courte entre deux points d'une surface développable. Désignons, pour abréger, cette surface par la lettre S. Menons-lui un plan tangent, et tirons dans ce plan une droite quelconque D; supposons que ce plan se meuve en touchant continuellement la surface S Dans ce mouvement la droite D prolongée indéfiniment dans toutes ses positions, engendre une autre surface développable S', dont l'arête de rebroussement est formée par les points de contact de la droite mobile D et de la surface S. Il est évident que cette arête de rebroussement a pour surface rectifiante la surface développable S, et quelle est la ligne la plus courte entre deux points quelconques de cette surface; il s'agit de démontrer que les plans osculateurs de cette ligne sont perpendiculaires aux plans tangens de la surface développable S. En effet, lorsque la droite D passe d'une position à la position infiniment voisine, elle engendre une portion de cône droit, dont l'axe est une droite de la surface S; or, le plan tangent à cette surface passe par cette droite: donc il est perpendiculaire à ce petit cône droit, engendré par la droite D; mais ce petit cône est touché par le plan osculateur de l'arête de rebroussement, ou de la ligne la plus courte, puisque ce plan passe. par deux tangentes infiniment voisines de cette ligne, qui sont en même tems des arêtes du petit cône: donc le plan tangent de la surface S est perpendiculaire à ce même plan osculateur.

Il est donc démontré que la ligne la plus courte d'une surface développable, a des plans osculateurs perpendiculaires aux plans tangens de cette surface. Considérons maintenant une surface quelconque, et sa ligne la plus courte entre deux de ses points. Cette ligne sera aussi la plus courte sur la surface développable passant par cette ligne, et circonscrite à la surface proposée. Donc les plans osculateurs de la ligne la plus courte entre deux points d'une surface quelconque, sont perpendiculaires aux plans tangens de

cette surface.

Il est à remarquer que deux surfaces développables, dont la première a pour arête de rebroussement, une des lignes les plus courtes entre deux points de la seconde, se coupent à angle droit dans tous les points de la ligne qui leur est commune.

H. C.

Démonstration d'un théoréme de Géométrie analytique; par M. MONGE.

Le théorême qu'on a démontré, page 136, « Une normale quelconque d'une surface, n'est rencontrée que par deux autres normales qui en soient infiniment voisines », est une conséquence d'une proposition plus générale que M. Monge a donnée dans les Mémoires de l'académie de Paris, année 1781. Voici comme il l'énonce: «Si par tous les points d'un plan, ou d'une surface courbe, << dont la forme et la position sont données, on conçoit des droites « menées dans l'espace, suivant une loi quelconque; de toutes celles « qui l'environnent, et qui en sont infiniment proches, il n'y en a « généralement que deux qui la coupent, et qui, par conséquent, << soient dans le même plan avec elle ».

« On suppose dans cet énoncé que, pour chaque point de la sur« face, la loi ne donne qu'une droite, ou que si elle en donne <«< plusieurs, on ne considère que la suite de celles qui sont données « par la même solution ».

Pour démontrer cette proposition, prenons un point (x, y, z) sur la surface dz = pdx + qdy ; et menons par ce point une droite dont les équations soient :

(1) x'x=L (z' — z),

(2) y'—y=M ( z' — z ) ;

', ', z' sont les coordonnées d'un point quelconque de la droite, et L, M des fonctions connues des coordonnées x, y du ́ point de la surface; ensorte qu'on ait :

dL = ldx + l'dy, et dM = mdx + m'dy,

1, l', m, m' étant des fonctions quelconques, mais déterminées en x et y.

Lorsque la droite des équations (1) et (2) passera du point (x, y, z) de la surface au point (x+dx, r + dr, z + dz) de cette même surface; on exprimera que la seconde droite correspondant à cette nouvelle position, rencontre la première, en différentiant les équations (1) et (2), et en regardant les coordonnées x', r', z' comme constantes.

Les équations différentielles qu'on obtient, sont :

— dx = ( z′ — z ) dL+Ldz, — dy = (z' — z) dM + Mdz.

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