Éliminant ( z' —z), on a :

ou :

dM (Ldz +dx)=dL (Mdz +dy),

dz LdM-MdL) + dxdM — dydL = o.

Substituant dans cette équation, pour dz, dL, dM leurs valeurs en dx et dy, elle devient :

ou :

dy

dx2

(pdx+qdr) {L (mdx +m'dy) — M (Idx+l'dy} + dx (mdx+m'dy) — dy (ldx +l'dy=0,

(q(Lm' – Ml') − l' ) + (L'pm' +qm)-M(pl'+ql)+m'-1)

dy dx

+p ( Lm - Ml) + m = o.

dy

(3)

Cette équation étant du second degré en dx on voit qu'il n'y a que deux directions sur la surface, pour passer de la droite des équations (1) et (2), à une droite infiniment voisine, qui la

rencontre.

Si l'on suppose dans l'équation (3) que les quantités p et q sont constantes, toutes les droites représentées par les équations (1) et (2) aboutiront à un plan. Lorsque ce plan se confond avec celui des xy, on a po, q=0, et l'équation (3) se réduit à :

Il résulte de la proposition de M. Monge, que les rayons de lumière qui partent d'un corps lumineux quelconque, et qui subissent un nombre quelconque de réflexions et de réfractions sur des surfaces polies ou transparentes, forment dans l'espace des séries de surfaces developpables, dont les arêtes de rebroussement déterminent les caustiques de réflexion et de réfraction. On voit de très-belles applications de ce principe, dans le traité d'optique de Malus, qui précède son Mémoire sur la théorie de la double réfraction de la lumière dans les substances cristallisées. (Voyez les Mémoires présentés à l'Institut, tome II, janvier 1811.)

H. C.

Extrait d'un Mémoire sur les surfaces élastiques; par M. POISSON (*).

(Lu à l'Institut, le 1er. août 1814.)

Ce Mémoire est divisé en deux parties. La première est relative aux surfaces flexibles et non élastiques, dont M. Lagrange a déja donné l'équation d'équilibre, dans la nouvelle édition de la Mécanique analytique, tom. Ier., page 149. Je parviens à la même équation par un moyen différent, qui a l'avantage de montrer à quelle restriction particulière elle est subordonnée. Elle suppose, en effet, chaque élément de la surface également tendu en tous sens; condition qui n'est pas remplie dans un grand nombre de cas, et qui serait, par exemple, impossible dans le cas d'une surface pesante et inégalement épaisse. Pour résoudre complètement la question, il a fallu avoir égard à la différence des tensions qu'éprouve un même élément dans deux sens différens; on trouve alors des équations d'équilibre qui comprennent celles de la mécanique analytique mais qui sont beaucoup plus générales, et aussi plus compliquées.

La surface flexible présente, dans un cas particulier, un résultat digne d'être remarqué. Si l'on suppose tous ces points pressés par un *fluide pesant, on obtient pour son équation celle que M. Laplace a trouvée pour la surface capillaire, concave ou convexe; d'où il résulte que quand un liquide s'élève ou s'abaisse dans un tube capillaire, il prend la même forme qu'un linge flexible et imperméable qui serait rempli d'un fluide pesant.

Après avoir trouvé l'équation d'équilibre d'une surface flexible dont tous les points sont tirés ou poussés par des forces quelconques, il ne reste plus, pour en conclure l'équation de la surface élastique, qu'à comprendre au nombre de ces forces celles qui proviennent de l'élasticité : la détermination de cette espèce particulière de forces fait l'objet de la seconde partie de mon Mémoire, et voici sur quel principe elle est fondée.

Quelle que soit la cause de l'élasticité des corps, il est certain qu'elle consiste en une tendance de leurs molécules à se repousser

(1) La classe des Sciences physiques et mathématiques de l'Institut, a remis. au concours pour l'année 1815, la théorie des oscillations des lames élastiques. Cet extrait du Mémoire de M. Poisson, sur les surfaces élastiques, sera très-utile aux jeunes géomètres qui concourent pour le prix; c'est ce motif qui m'a déterminé à l'insérer dans notre Correspondance, quoiqu'il ait déja paru dans un Bulletin de la société philomatique. Le Mémoire entier paraîtra dans le volume H. C

de l'Institut, aunée 1812, 2e. partie.

mutuellement, et qu'on peut l'attribuer à une force répulsive qui s'exerce entre elles suivant une certaine fonction de leurs distances. D'ailleurs il est naturel de penser que cette force, ainsi que toutes les autres actions moléculaires, n'est sensible que jusqu'à des distances imperceptibles; la fonction qui en exprime la loi doit donc être regardée comme. nulle dès que la variable qui représente la distance n'est plus extrêmement petite or on sait que de semblables fonctions disparaissent en général dans le calcul, et ne laissent dans les résultats définitifs que des intégrales totales ou des constantes arbitraires qui sont des données de l'observation. C'est, en effet, ce qui arrive dans la théorie des réfractions, et mieux encore dans la théorie de l'action capillaire, l'une des plus belles applications de l'analyse à la physique qui soient dues aux géometres. Il en est de même dans la question présente, et c'est ce qui a permis d'exprimer les forces qui proviennent de l'élasticité de la surface en quantités dépendantes uniquement de sa figure, telles que ses rayons de courbure principaux et leurs différences partielles. Substituant donc ces expressions à la place des forces, dans les équations générales de l'équilibre des surfaces, données dans la première partie du Mémoire, on parvient enfin à l'équation de la surface élastique qu'il s'agissait de trouver. Il serait impossible de donner dans cet extrait le détail des calculs qui conduisent à cette équation; nous nous contenterons donc de la faire connaître, en renvoyant, pour sa démonstration, au Mémoire même.

Soient x,y,z les coordonnées d'un point quelconque de la surface, point que nous appellerons m; considérons z comme fonc tion de x et y, et faisons, pour abréger:

Soient aussi pret p' les deux rayons de courbure principaux de cette surface, qui répondent au point m; désignons par Pet Q deux fonctions de ces rayons, savoir:

de sorte que l'on ait, d'après les formules connues :

Représentons par X, Y, Z les forces données qui agissent sur le point quelconque m, parallèlement aux axes des x, y, z; supposons ces forces telles que la formule Xdx + Ydy + Zdz soit la différentielle exacte d'une fonction de x, y, z et désignons son intégrale par п. Enfin, supposons la surface élastique également épaisse dans toute son étendue, et soit son épaisseur constante; son équation d'équilibre sera :

kP

2pq d'P

k dx2 k dxdy

+ ^ (P2 — 4 Q)] = Z− p X — qY — kP ñ.

2

(P2—4Q)] =

(a)

Le coefficient n représente ici une constante qui dépend de l'élasticité naturelle de la surface; il est nul dans le cas des surfaces flexibles et non élastiques, ce qui réduit leur équation d'équilibre à

Z — pX — qY — kPп=0;

résultat qui coïncide avec celui de la mécanique analytique que j'ai cité plus haut.

Non-seulement l'équation (a) suppose l'épaisseur constante; mais elle ne convient aussi qu'à une surface élastique naturellement plane, et elle ne comprend pas les surfaces, telles que les cloches et autres, dont la figure naturelle est courbe. Si l'on y supprime tout ce qui est relatif à l'une des deux coordonnées a ety, par exemple à y, la surface se changera en un cylindre parallèle à l'axe des x et l'équation (a) devra alors coïncider avec l'équation ordinaire de la lame élastique; c'est, en effet, ce qu'il est aisé de vérifier après quelques transformations faciles à imaginer.

ds

a

J'ai donné, à la fin de ce Mémoire, la démonstration d'une propriété de la surface élastique, analogue à celle de la lame que Damel Bernouilli a fait connaître. Suivant ce géomètre, si l'on désigne par ds l'élément de la courbe élastique, et par p son rayon de courbure, l'intégrale prisé dans' toute son étendue, est un minimum, entre toutes les courbes de même longueur. Cette propriété suppose que l'on fait abstraction de la pesanteur et de toute autre force donnée; or, dans la même hypothèse, on trouve relativement à la surface élastique, que l'intégrale double:

est pareillement un minimum; p, pet k représentant les mêmes quantités que ci-dessus, et l'intégrale devant s'étendre à la surface entière. J'ai aussi remarqué que la variation de l'intégrale:

ne renferme que des termes relatifs aux limites; d'où il suit que la même propriété du minimum a également lieu pour toute intégrale formée de la précédente, augmentée ou diminuée d'un multiple quelconque de cette dernière.

La recherche des équations d'équilibre des surfaces élastiques appartient à la mécanique générale ; c'est uniquement sous ce rapport que je l'ai considérée dans ce Mémoire; mais cette théorie comprend comme application une des branches les plus étendues et les plus curieuses de l'acoustique. Je veux parler des lois que suivent les vibrations des plaques élastiques, des figures qu'elles présentent, et des sons qu'elles font entendre pendant leur mouvement. En effet, l'équation fondamentale qui doit servir à déterminer les petites oscillations d'une plaque sonore, se déduit de son équation d'équilibre, par les principes ordinaires de la mécanique. Supposons donc que la plaque s'écarte très-peu d'un plan fixe qui sera celui de x, y, et négligeons, en conséquence, toutes les quantités de seconde dimension, par rapport à z et à ses différences partielles : l'équation (a) se réduira d'abord à

daz d'z

dx2 dy2

De plus, faisons abstraction du poids de la plaque, et supposons, comme dans les problêmes des cordes et des lames vibrantes, que chaque point de la plaque reste, pendant le mouvement, dans une même perpendiculaire au plan fixe; t étant la variable qui représente le tems, il faudra faire alors

l'intégrale п se réduira à une constante arbitraire, que j'appellerai c; et l'équation du mouvement sera enfin

J'ai démontré, dans mon Mémoire, que cette constante c dépend des forces qui tirent la surface à ses extrémités, et qui pro