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d42

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O.

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(

duisent ce qu'on appelle la tension. Elle est nulle quand ces forces
n’existent pas ; ce qui réduit notre équation à
d'z

diz
tnae


dt2

dx dya
dy't

(6) Mais si l'on voulait considérer les surfaces tendues, telles que les tambours , par exemple , il faudrait, au contraire , conserver la constante c, et supposer n=0; ce qui donne, en changeant le signe dec:

dz +

; dla

dir?

dy2 équation déja trouvée par Euler , et qui est aussi celle dont MM. Biot et Brisson se sont servis pour déterminer quelques propriétes des vibrations des surfaces tendues.

Il y a environ cinq ans, la première classe de l'Institut a proposé, comme sujet de prix, la théorie mathématique des vibrations des plaques sonores , vérifiée par la comparaison avec l'expérience ; mais, depuis cette époque, on n'a reçu qu'une seule pièce digne de l'attention de la classe. Au commencement de ce Mémoire l'auteur anonyme pose , sans preuve suffisante , ou même tout-à-fait sans démonstration, une équation qui est précisément notre équation (6). Il y satisfait par des intégrales particulières, composées d'exponentielles, de sinus et de cosinus ; et en cela il suit l'exemple qu'Euler a donné en plusieurs endroits , relativement à l'équation des lames vibrantes. A chacune de ces intégrales , répond une figure particulière de la plaque sonore, et le son qu'elle rend depend en général du nombre de lignes nodales qui se forment pendant ses vibrations. L'auteur calcule le ton relatif à chaque figure, puis il compare le ton calculé à celui que donne l'expérience pour une figure semblable : il trouve un accord satisfaisant entre ces deux résultats ; de sorte que l'équation des plaques vibrantes, quoiqu'elle ne fût pas jusqu'ici démontrée à priori, était du moins suffisamment justifiée par l'expérience. Cette comparaison est la partie de son travail qui a motivé la mention honorable de la classe : elle porte sur un grand nombre des expériences de M. Chladni, et sur beaucoup d'autres qui sont propres à l'ingénieux auteur du Mémoire dont nous parlons. Il y aurait une antre espèce de comparaison bien plus difficile à entreprendre, qui serait relative à la figure produite d'après une nianière donnée de mettre la plaque en vibration. On pourrait aussi desirer que les résultats du calcul fussent déduits de l'intégrale générale., et non pas de quelques in- tégrales particulières de l'équation (6). Malheureusement cette équation ne peut s'intégrer sous forme finie que par des intégrales définies qui contiennent des imaginaires sous les fonctions arbitraires ; et si on les fait disparaître, ainsi que M. Plana y est parvenu dans un cas pareil ( celui des lames vibrantes), on tombe sur une équation si compliquée , qu'il paraît très-difficile d'en faire aucun usage.

Pour indiquer ici tout ce qui a été fait jusqu'à présent sur les surfaces élastiques, je dois aussi faire mention d'un Mémoire sur les vibrations des plaques sonores, qui se trouve dans le volume de Pétersbourg pour l'année 1787. En partant d'une hypothèse trop précaire, l'auteur est conduit à une équation différentielle , qui n'est point exacte , el qui revient à l'équation (6), en y supprinant

d'z le terme multiplié par -. Il y satisfait aussi par des intégrales

dx’dy? particulières, composées d'exponentielles, de sinus et de cosinus; mais il remarque

lui-même

que

"les conclusions qui s'en déduisent ne sont pas d'accord avec les expériences de M. Chladni; et maintenant, que nous connaissons la véritable équation du mouvement des plaques, nous voyons clairement la cause de cette discordance.

De la manière d'employer le principe de la moindre

action, pour obtenir les équations du mouvement, rapportées aux variables indépendantes; par M. RODRIGUES , licencié ès-sciences. On sait que le principe de la moindre action se réduit proprement à ce que dans un système de corps soumis à des forces attractives ou répulsives, dans lequel, généralement, le principe des forces vives a lieu, la somme des forces vives instantanées acquises par tous les corps en passant d'une position donnée à une autre position aussi donnée, soit un maximum ou un minimum.

Ce principe, combiné avec celui des forces vives , peut servir à trouver les équations du inouvement du système dans chaque ca's particulier; mais on n'avait pas encore pensé gi ce me semble, à employer dans ces solutions, l'équation que donne le principe des forces vives, purement et simplement comme une équation de condition, et à la traiter comme telle par la méthode des multiplicateurs. Je suis parvenu 'ainsi , et en employant immédiatement les variables indépendantes du système , quelles qu'elles puissent être, aux équations générales du mouvement données dans la Mécanique analytique, ( 24. part. , sect. 4), et auxquelles M. La

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grange est arrivé, soit par des transformations directes de coora données , soit en employant pour ces transformations, des formules générales déduites du calcul des variations.

La méthode que j'expose offre un exemple assez remarquable de la théorie des multiplicateurs dans la méiliode de maximis et minimis, et de la manière de déterminer entièrement ces multiplicateurs par les équations aux limites. Elle a aussi l'avantage d'introduire immédiatement dans le calcul, les deux fonctions

T et V qui représentent , l'une la demi-somme des forces vives du systéme, et l'autre l'intégrale de la somme des moniens.

Cette fonction T, quelles que soient les variables qu'on emploie , est toujours une fonction homogène du second degré par rapport à leurs dérivées, en sorte que š, 0, $, etc. étant ces variables , &',p', leurs dérivées, on aura l'équation identique :

đT dT d2T=

oft

dat del Cela posé, le principe de la moindre action exige que l'intégrale (tdı, soit un maximum ou un minimum , pourvu qu'on regarde la première et la dernière position du systéme comme données; en sorte que les variations des coordonnées soient nulles aux deux limites de cette intégrale. La variation (STdt, ou 18. Tdt doit donc être égale à zéro. Mais le principe des forces vives donne l'équation de condition T+V=H, H étant une constante arbitraire.

Suivant l'esprit de la méthode des variations, il faut ajouter à l'intégrale . Tdt, celle-ci sådt (dT+), a étant un multiplicateur variable et indéterminé, et regarder ensuite les variations comme indépendantes de l'équation de condition. Alors l'équation du minimum est :

Ps. Tdt + a'dt (OT+0V)=. Il est nécessaire de faire varier aussi le tems; car, les coordonnées seulernent ont des variations déterminées aux linutes, tandis que celles du tems restent tout-à-fait arbitraires. Mais on peut d'abord ne pas le faire varier , ayant soin de substituer ensuite, du licu des variations d'},dy, d®, les expressions :

d'.-'81, dy-t'dt, dp-001, et d'ajouter à la partie hors du signe, le terme Tdt(*).

(*) Voyez le supplément aux Leçons sur le calcul des fonctions. (22me. Leçon.) Nous aurons donc ainsi :

o=fai((a+1) 87+20V);

or ,

dt

do

det du di

+

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dV dV

dTV

+
dT dd E , d

dT ddo
d

dTdN LT=

+

dy +
d
do

de det' dt Faisant disparaître par l'intégration, par partie, les doubles signes dd, et ayant égard maintenant à la variation du tems, on aura cette transformée : o=U+S{3688–60) +*18*4'de todo-pde)}dt, dans laquelle

dT

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d!

ат IT dT ou bien : U=

十 + det

do—, dopa

dT

d.(a +1)
2d V

dT
+(ato)
d૬.

d's

dt etc.... On aura donc les équations indéfinies E=0, x=0,0=0, auxquelles on joindra l'équation T+V=H, afin d'éliminer a, et l'équation aux limites U, U,= 0; mais aux limites , les variations o,dy, do sont nulles ; l'équation se réduit donc à

(20+1), d'1, -(2ati Dadla0. Et comme les variations d'1,, dl sont indépendantes, on aura les équations :

(2ati),=0, (29 + 1)2 =0, auxquelles la valeur de a devra satisfaire. Maintenant si l'on multiplie les équations z=0,*=0,0=ó, par d'}, dy, do, etc., qu'on les ajoute , on trouvera , toutes réductions faites, et en observant que

MT + d = 0 , (28 to 1) 2T + TA (2ato) O.

к On tire de cette équation 2atin

K étant une constante

on

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arbitrairo; on voit que pour satisfaire aux équations aux limites, il faudra faire K=0. On a donc simplement 2a+=0,2 ==Substituant cette valeur dans les équations du mouvement, aura les équations suivantes : dT IT.

dy d.

di +
dy?

dz d]
dT dT ау
d.
det

det
etc....
qui sont, comme on voit , celles de la Mécanique analytique.

Si les variables n'étaient pas indépendantes, et qu'il y eût par conséquent entre elles des équations de condition M=0, N=0, etc., il est évident que les précédentes seraient respectivement aug

dM dN mentées des termes pe

dt, etc., M.;, etc. étant des

coefficiens indéterminés.

det

di =0,

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dt,'

Recherches sur la théorie analytique des lignes et des

rayons de courbure des surfaces, et sur la transformation d'une classe d'intégrales doubles , qui ont un rapport direct avec les formules de cette théorie ; par M. RODRIGUES.

I. Équations des lignes de courbure. On appelle ligne de courbure sur une surface, une ligne telle que les normales à la surface menées par deux de ses points consécutifs , se coupent. Le point d'intersection est le centre de courbure , ei la distance de ce point à la surface , le rayon de courbure.

Cela posé, soit ds un arc infiniment perit de cette ligne de courbure , dr, dy, dz seront les projections de cet élément sur les axes des coordonnées. Considérons les normales à la surface menées aux deux extrémités de l'arc ds ; appelons X, Y, Z, les cosinus des angles que la première normale fait avec les coordonnées ; X+dX, Y+dY, Z + d2 seront les cosinus des angles formés par la seconde normale. Ces deux droites devant se rencontrer , si de leur point de rencontre comme centre et d'un rayon égal à l'unité , nous décrivons entre ces droites un petit arc de

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