cercle, il sera la mesure de l'angle qu'elles comprennent, et il est facile de voir que les projections de cet arc seront respectivement dX, dY, dZ. On voit aussi que ces projections seront à celles de l'élément ds, dans le rapport de l'unité au rayon de courbure. Désignons ce rayon par R, et nous aurons les trois équations suivantes, qui serviront à déterminer à-la-fois le rayon de courbure, et la ligne de courbure: Les deux équations de la ligne de courbure seront : entre les cosinus X, Y, Z, on a la relation : Cette dernière équation combinée avec les deux ci-dessus, sert à éliminer dX, dY, dZ, et l'on arrive à l'équation: Xác + Ydy + Zdz=0. Cette équation appartient à la surface que l'on considère; il suffit donc pour la connaissance de la ligne de courbure, d'avoir égard à l'une de ses deux équations; prenons l'équation: (dx)dy' +[(dx)-(d)]dydz−(4) dx'=o. (2) Cette équation différentielle du premier ordre, montant au second degré, la constante introduite par l'intégration, enirera au même degré dans l'équation finie. Cette constante aura donc deux valeurs, lorsqu'on voudra la determiner par la condition que la courbe passe par un point donné. Il existe donc, en général, sur une surface deux lignes de courbure pour un point quelconque. Les dy valeurs de correspondantes à ces deux ligues sont les racines de l'équation (2), résolue par rapport at: coefficient différentiel. Il est même clair que ces valeurs sont liées par une équation du pré'mier degré à celles de la constante arbitraire; d'où il résulte que si pour un point singulier, l'équation (2) devient identique, ou ce qui revient au même, si les racines de cette équation se présentent sous une forme indéterminée, il en sera de même pour les valeurs de la constante arbitraire, qui pourra dans ce cas avoir plus ou moins de deux valeurs réelles. Il peut donc y avoir plusieurs lignes de courbure pour cette classe de points singuliers, que M. Monge a considérés le premier, et qu'il a nommés ombilics. (Voyez l'analyse appliquée à la géométrie, page 127, édition 1809.) On peut en voir une théorie complette dans l'ouvrage de M. Dupin, développemens de géométrie. II. Je reviens maintenant à l'équation (2). Désignons, comme M. Monge, par p, q, r, s, i les cinq premiers coefficiens différentiels partiels de l'ordonnée z, on aura: Substituant ces valeurs dans l'équation (2), on trouve: [(1+q2)s—pqt]dy2+[(1+q3)r−(1+p2)1]dydx−(1+p2)s+pgr=o, (3) Sous cette forme, notre équation coïncide avec celle que donne M. Monge dans l'Analyse appliquée, page 109. Si l'on écrit ainsi cette équation: M. Monge démontre que les deux lignes de courbure sont perpendiculaires, en rendant le plan tangent parallèle au plan des xy: On peut s'en dispenser de la manière suivante. Soient y', y" et z', z" les deux valeurs de dy dz et de poür dx dx les deux courbes; la condition pour qu'elles soient perpendicu→ laires, est or, on a z' = p + qy', z" =p+qy"; l'équation devient : 1 + p2 + ( 1 + qa ) y'y" + pq (y' + y) = 0; et par suite: 4(1 ̧ + p2) — pqB —C (1+q1)=0: ( 1 + p2 ) ( Bs + Ct ) — pqrB — C ( 1 + q2 ) r = 0, on bien: B ((1+p2) s → pqr) -C ((1+q1)r—(1+p2)t)=0, équation identique par les valeurs de B et de C. III. Formules qui établissent une correspondance très-simple entre les deux lignes de courbure. Désignons par d les différentielles relatives à l'une des lignes de courbure, et par les différentielles relatives à l'autre ; en sorte que dy dy y' = 2 x 3" = √x r -s (y2 + yll ) + tyly" =0, ou substituant pour y', y" les expressions ci-dessus : rdxdz + s (dxdy + dydx ) + t♪ydy = 0, ou bien : or, dx (rdx + sdy ) + dy (s ♪ x + 1dy); donc cette équation se change en dx dp + dyq=0, (5) équation d'une simplicité remarquable, et qui, je crois, n'avait pas encore été donnée. Substituant, on trouve: dx (dx + p♪z) + dy (dy + qd z) = 0. Éliminant dy d.x par l'équation (5), on a cette nouvelle équation des lignes de courbure, en changeant en d, (dx dp (dy + qdz)=dq ( dx + pdz). On trouve cette équation dans l'Analyse appliquée, page 115. Si l'on compare l'équation : IV. r+s(y' + yli ) + tyly" =0, à l'équation des tangentes conjuguées, donnée par M. Dupin, on les trouve identiques à la notation près; il s'ensuit donc que les tangentes aux deux lignes de courbure, sont deux tangentes conjuguées. C'est en parlant de cette propriété que M. Dupin, après avoir donné l'équation des tangentes conjuguées, arrive à l'équation des lignes de courbure. L'équation (5) est celle des tangentes conjuguées ramenée à une forme plus simple, et telle qu'on peut la trouver ainsi qu'il suit. On sait que si l'on considère deux points infiniment voisins sur une surface, la tangente qui passe par ces deux points, et la ligne d'intersection des deux plans tangens, form nt un systême de tangentes conjuguées, d'après la définition de M. Dupin: or, soit z' = px' + qr' + z-px-9; l'équation du plan tangent, celle de l'intersection avec un plan infiniment voisin dans la direction " sera: Faisons dy δ бх '( x' — x ) dp + ( r' — y ) d q = o. ' ' = x + dx, jr' = y + dr, les différentielles marquées par d, étant prises sur l'intersection des deux plans, et nous aurons la relation : dx dp + dy dq=0. dX dy dx Si l'on élimine 2 entre cette équation et l'équation (2), on aura: dx [() () () ()]-[(税)+(帯)] +1=0(*). (6) (*) Substituant dans l'équation (6) pour (1), (4), (~)·(1) leurs valeurs, et faisant pour abréger : g=rt-s', elle devient : dx dy dx h=(1+q2) r—2pqs +(1+p2)t, k2 = 1 + p2 + q2, gR2 + hkR + k4 = 0. Résolvant cette équation, on parvient à l'expression des deux rayons Ret K', donnée par M. Monge, page 112 de son analyse, Dans l'hypothèse de p=0, 9 =0,g=rt s2, h = r + t, k = 1, et la valeur de R devient, comme on l'a trouvé dans l'article précédent, page 135 2 N'ayant eu pour objet dans cet article, que dė r+ t + √ 482 + ( r + t )2 de la surface dz = pdx+qdy, Cette expression, R= la longueur du rayon de courbure, au point (x, y, z), quelques soient les plans rectangulaires auxquels on ait rapporté la surface. |