Soient R, R', les deux racines de cette équation, on aura ces expressions très-symétriques : Application des formules et des équations précédentes à la recherche des équations de plusieurs surfaces. Nous allons montrer par plusieurs exemples, l'utilité des formules et des équations que nous avons établies ci-dessus, dans la solution de plusieurs problêmes de l'Analyse appliquée de M. Monge, relatifs à la courbure des surfaces. Cherchons d'abord l'équation de la surface dans laquelle un des rayons serait infini, les équations : donneraient alors dX= o, dY= 0, dZ= o. La troisième de ccs équations est une conséquence des deux premières. Les équations dX=o, dY=o, intégrées deviennent : Ce sont les équations de la ligne de courbure pour laquelle le rayon de courbure de la surface est infini. Elles marquent que pour tous les points de cette ligne de courbure, le plan tangent est le même, ce qui est le caractère distinctif des surfaces développables. Les équations p=a, q = B, différentiées donnent : Eliminant dy dx entre ces deux équations, on aura un caractère indépendant de la direction particulière de la ligne de courbure. On trouve ainsi : rt s2 = 0, ce qui est l'équation des surfaces développables, Des équations pa, q=ß, on conclut : équation intégrable et qui donne : z =α x + By + yo On voit donc que la ligne de courbure est plane. Pour une même ligne de courbure, a, ß, y sont constans; on a donc, en général, B = Qa, y=4a, ce qui donne les deux intégrales premières : Nous renvoyons pour de plus longs détails à l'Analyse appliquée. VII. Si l'on demande la surface dont un des rayons de courbure serait donné et égal à a, son équation aux différences partielles du second ordre s'obtiendra en mettant a au lieu de R dans l'équation (6). Mais on aura immédiatement les deux intégrales premières de cette équation, par la considération des lignes de courbure. En effet, les équations (1) s'intègrent dans ce cas, et donnent : u, ß, y sont constans et variables en même tems, on a donc alors B = 42, a = Qy, ou : x — aX = q ( z — aZ), y—aY=4( z— aZ ). Les trois équations ci-dessus combinées avec celle-ci : donnent : (x — Qy )2 + (y — Qy)2 + (z − y)2=a2; ce qui montre que la surface cherchée est l'enveloppe de l'espace parcouru par une sphère, dont le rayon serait constant et égal à a, et dont le centre décrirait une courbe arbitraire dans ses deux projections. VIII. Si une des lignes de courbure devait toujours être parallèle à un plan donné, dont l'équation fût par exemple yax, ce qui est toujours permis; alors pour cette ligne on aurait les équations 4 ce qui donnerait une des intégrales premières y-ax=q(y—ax); ensuite l'équation (5) : dy dq + dx &p=0.. s'intégrerait aussi, et l'on aurait pour la seconde ligne de courbure, l'équation: Cette équation différentiée de nouveau donne : dX+adY+ydZ = 0. On peut chasser dX, dy, dz par les équations (1), et l'on trouve alors : intégrant dx+ady+ydz = 0; x+ay + y z = 0, équation d'un plan, la seconde ligne de courbure est donc plane comme la première. Substituant pour y la valeur + aq, on obtient cette seconde intégrale première : x + pz + a ( r + qz ) = F (p + aq). La recherche de l'intégrale finie, exige des développemens étrangers à mon sujet, et qui ne peuvent trouver place ici. IX. Une surface très-remarquable est celle dont les deux rayons de courbure sont égaux et de signe contraire, c'est-à-dire directement opposés. Pour une pareille surface, on doit avoir : Sous cette forme, on reconnaît sur-le-champ que cette surface est celle dont l'aire est un minimum, En effet, puisque Or, l'équation de la surface qui rend minimum la double intégrale SfVdxdy, *V ne contenant que p et q, est comme on sait ♣ et dans ce cas, la double intégrale Vdxdy, représente l'aire de la surface; l'équation du minimum sera: Il me reste enfin à parler de la surface dont les deux rayons de courbure sont égaux et dirigés dans le même sens. Pour trouver son équation aux différences partielles, il faut exprimer que l'équation (6) a ses deux racines égales. On aura ainsi a dX dY dx [ ( ~ x ) + ( ~ ~ ) ] = [(1 x ) ( 4 ) − (4)(4)] = •, dx dx dy dx ou mettant pour les différences partielles indiquées leurs valeurs Nous pouvons lui donner une autre forme; en effet, la première équation ci-dessus peut s'écrire ainsi : [() () () ()= dx ou bien:. [(1+q2) r−(1+p2) ¿]2+4 [(1+q2) s—pq1] [(1+p3)s — pqr]=o. Si comme dans le §. II, page 164 de ce cahier, on représente les quantités comprises entre les crochets dans cette équation, respectivement par B, A, C, l'équation deviendra : or, B+4 AC 0; la relation Ar=Bs + Ct, donne C= Ar-Bs t ; l'équation B2 + 4AC = 0, peut donc se transformer en celle-ci : D'ailleurs l'équation (7) montre que rt-s est une quantité essentiellement positive. On ne peut donc satisfaire à cette équation qu'en posant A=0, B=0, ou bien rt. s2o. Nous examinerons ce dernier cas particulier plus bas. et il Les équations Ao, Bo, sont celles que M. Monge intègre d'abord, comme une solution particulière de l'équation (7), trouve que la sphère seule satisfait à ces deux équations. Si nous posons rt➡so, l'équation se réduit à : 2 r + e + (qVT - pVT)2 = 0; or, je dis que ces deux équations : n'ont de solutions réelles que r➡o to so équations qui ne conviennent qu'à un plan. Car l'équation rt = s2 exige que r et t soient de mêmes signes; or sir ett sont tous deux positifs, la seconde équation ne sera pas satisfaite, puisqu'elle sera la somme de trois quantités positives: si au contraire, rett sont négatifs, le carré (9VT-PVT)2 devient négatif; l'équation n'est pas plus satifaite : il faut donc poser ro,t=0, et par suite So. Nous voyons donc que sphère et le plan sont les seules surfaces dont les deux courbures soient égales dans tous leurs points, et encore peut-on ne parler que de la sphère, puisque le plan peut-être considéré comme une sphère d'un rayon infini. la |