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XI.

Les équations Ao, Bo, reviennent évidemment à celles-ci :

dr

dx

dy

o. Or, il est très-facile de démontrer que

ces équations sont celles qui expriment que la surface cherchée a dans tous ses points une sphère osculatrice : on sait, en effet, que pour qu'une sphère soit osculatrice d'une surface donnée, il faut que les quatre élémens de cette sphère remplissent six conditions qui résultent de l'égalité des coordonnées, et de leurs premières et secondes différences dans les deux surfaces. On pourra donc éliminer ces quatre élémens, et l'on aura deux équations pour exprimer la possibilité qu'une surface soit osculée par une sphère. Il s'agit d'arriver directement à ces deux équations: pour cela, soient a, b, c, r les coordonnées du centre et le rayon de la sphère osculatrice, la normale étant commune aux deux surfaces, on aura:

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et comme ces équations ne contiennent que les premières différences p et q, on peut les différentier une fois, sans que l'égalité soit troublée; on aura donc :

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Ces deux équations indépendantes des élémens a, b, c, r, sont les deux équations de condition cherchées.

XII.

Théorémes relatifs à la transformation des intégrales doubles. L'expression que nous avons trouvée plus haut:

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a un rapport manifeste avec la formule qui sert à transformer les intégrales doubles. En effet, si dans l'intégrale ff Vdxdy, on veut changer les variables dans les variables u et t, on effectue d'abord la transformation algébrique dans la fonction V, puis on substitue à l'élément différentiel dady, celui-ci :

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Or les cosinus X et Y qui sont fonctions des variables indépen dantes x et r, peuvent eux-mêmes être considérés comme deux variables indépendantes, dont x et y seraient fonctions; mais alors une double intégrale telle que VdXdy, relatives aux variables X et Y, équivaut à celle-ci :

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dX

Or l'expression: (dx) (y) – (d) (d), développée

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dy

dy

en sorte que la double inté

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grale ff (+p+q

p2

Faisons VU (+p+q)2; nous aurons alors le théorême suivant :

L'intégrale double ff U (rt — s2 ) dxdy, prise sur une surface

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Comme on a p =

— X2 — Y2

il

est clair que si U dans la première intégrale ne contient que pet q, la transformation s'effectuera de même, quelle que soit l'équation de la surface sur laquelle on prend l'intégrale: on trouve ainsi ce second théorême.

L'intégrale double ssU (ri ƒƒ ̃ ̈Ù ( rt — s2 ) dædy,' U ne contenant que pet q, est indépendante de l'équation qui peut exister entre les coordonnées x, y, z, elle est égale à

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L'intégrale ffUrts) dxdy ne doit donc varier que par ses limites. La variation de cette intégrale ne doit donc pas contenir de termes affectés du double signe, c'est ce que nous allons vérifiér. el camb

ན་སྒོ་༔་་་

Faisons T Urs). On sait que dans le développement de la variation ♪f Tdxdy, la quantité qui se trouve sous le double signe, multipliée par dzdy dz, est :

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Ici T ne contient que p, q, r, s, t. Cette quantité peut douc

s'écrire ainsi :

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dy

dB

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dy

en représentant par A, la quantité entre les crochets, différentiée par rapport à , et par B celle que l'on différentie par rapport ày. Or, U n'étant fonction que de p et de

9, ou aura:

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(d) = (1) r+ (d)s, (d) = (db) s+ (du) 1.

t.

Substituant ces valeurs dans A et B, on les trouve identiquement nulles, quel que soit U.

XIII.

Il s'ensuit donc que la variation U(rs2) dxdy, ne contient que les termes relatifs aux limites de l'intégrale. Ainsi l'intégrale sera la même pour deux surfaces dans lesquelles les limites de cette intégrale seront les mêmes. Il ne résulte pas delà que dans

Tous les cas, la somme des élémens Urts) dxdy, sera aussi la même pour les surfaces. Car cette somme cesse d'être représentée par l'intégrale ff U ( rt — s2 ) dxdy, si la surface sur laquelle on la prend n'a pas une courbure uniforme, de manière que l'élément de l'intégrale devienne nul, indéterminé, ou même infini en certains points. Cette observation est importante, et empêche de tomber dans des paradoxes frappans. Ainsi, pour en donner un exemple très-général, concevous qu'une portion de surface fermée, telle qu'une calotte sphérique, soit circonscrite par une surface développable; les limites de l'intégrale pour ces deux surfaces seront bien les mêmes, et pourtant il est clair que l'intégrale SU(rt — s2) dxdy appliquée à une portion quelconque d'une surface développable est nulle, puisqu'on a alors rt-so; tandis qu'elle ne le sera pas pour la surface inscrite à la surface développable. Mais examinons attentivemment la marche de l'intégrale sur les deux surfaces. Sur la surface inscrite, par une direction quelconque, on arrive toujours d'une limite à l'autre sans discontinuité au contraire, sur la surface développable, si l'on se dirige sur une génératrice de cette surface pour passer d'une limite à l'autre, on n'y arrive jamais. La seule manière de lier les deux limites entre elles, pour une direction quelconque de la surface, serait de concevoir la surface terminée à l'infini par une autre portion de surface qui lui serait aussi inscrite; mais alors la double intégrale passe évidemment par une indétermination complette, lorsqu'on l'applique aux points de cette secónde surface. Cette considération me paraît d'autant plus exacte, que si l'on conçoit la surface développable circonscrite à une autre calotte, ayant sa courbure dans le même sens que la première, l'intégrale appliquée à-la-fois à la surface développable et à cette seconde calotte sera la même que pour la première calotte. Car par la propriété connue des surfaces développables, les normales qui terminent la première surface inscrite, seront parallèles à celles qui terminent la seconde; les limites des intégrales pour ces deux calottes seront les mêmes; et comme je suppose leur courbure uniforme, les valeurs de ces intégrales seront rigoureusement les mêmes; d'ailleurs intégrale sera nulle pour toute la portion de surface développable qui sépare les deux calottes.

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XIV.

Si l'on fait U = (1 + p2 + qa )−2, la double intégrale

s) dady, devient ff U (rt — s2) dxdy, devient

p2 + q2 ) { (rt-s2) dxdy

༡།

·; elle repré

sente la somme des élémens d'une surface divisés par le produit

des rayons de courbure correspondans (*). Par notre théorême, on

peut la remplacer par la double intégrale

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X2 Y2

UdXdY

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. Cette dernière exprime l'aire

d'une sphère, dont l'équation serait :

x2 + Y2 + Z=1.

Si l'on observe maintenant qu'à chaque élément pris sur la surface générale, correspond un élément de cette sphère, dont les coordonnées sont les cosinus des angles formés par la normale à la première surface avec les axes des coordonnées, on est conduit à la construction suivante..

Concevons une sphère d'un rayon égal à l'unité; puis faisons mouvoir le rayon de cette sphère, de manière qu'il soit successivement parallèle à toutes les normales de la portion de surface sur laquelle on veut prendre l'intégrale, l'aire sphérique décrite par l'extrémité de ce rayon mobile, sera la valeur de l'intégrale cherchée (**).

XV.

Cette construction qui est fort simple, montre d'une manière très-satisfaisante la marche de l'intégrale sur la surface. En effet, si dans toute l'étendue de surface que l'on considère, la courbure varie uniformément, en sorte que la normale ne passe jamais deux fois par la même direction, le rayon mobile ne rebroussera donc jamais dans sa inarche, et alors la valeur de l'intégrale sera précisément l'aire sphérique comprise' entre le deux courbes que tracerait le rayon mobile, si dans son mouvement il n'était parallèle

m'e

(*) M. Poisson ayant reconnu que la variation de cette intégrale était nulle, 'engagea à en calculer la valeur pour un ellipsoïde entier; je la trouvai égale à 47. Depuis je me suis occupé d'en trouver la valeur générale, et j'ai été conduit alors aux théorêmes que j'expose ici.

(**) M. Binet démontre ce théorême de M. Rodrigues, par une considération géométrique fort simple. Désignant par ds et ds', les élémens des deux lignes de courbure principales, qui se coupent au même point à angle droit (théorême de M. Monge); l'élément de la surface peut être représenté par dsds', 'ds 'ds' Ꭱ

et la double intégrale sera ff a

R'

Or,

les fractions

ds

et

ds

R R

sont

les élémens de deux cercles décrits d'un rayon égal à l'unité et perpendiculaires entre eux; leur produit est donc l'élément de la sphère du même rayon, et par conséquent l'intégrale représente l'air d'une portion de cette sphère. (Extrait du Bulletin de la société philomatique, pag. 36, année 1815.)

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