qu'aux normales qui passent par les deux courbes limites sur la surface. Dans ce cas, il est bien vrai de dire que si pour deux surfaces, les limites de l'intégrale sont les mêmes, l'intégrale sera aussi la même, parce qu'alors la courbure des deux surfaces est uniforme. Si, au contraire, la courbure de l'une de ces deux surfaces éprouve des changemens brusques, si deux normales différentes peuvent avoir la même direction absolue, alors le rayon mobile rebroussant chemin, aura décrit une aire sphérique plus grande que celle comprise entre les deux courbes sphériques, dont je viens de parler plus haut, la valeur de l'intégrale ne sera donc pas la même pour les deux surfaces. Si l'une de ces deux surfaces est développable, le rayon mobile conservera la même position pour tous les points de la même génératrice. Cette position ne changera qu'en passant d'une génératrice à celle qui lui est consécutive; de sorte que le rayon mobile décrira simplement une courbe, au lieu de décrire une portion de sphère, si petite qu'elle soit. La valeur de l'intégrale sera donc nulle. Tout ceci s'accorde parfaitement avec ce que nous avons dit, §. XIII. XVI. Veut-on avoir la valeur de l'intégrale pour toute une surface fermée et d'une courbure uniforme, conime un ellipsoïde, par exemple; il est évident qu'alors le rayon mobile décrit la sphère entière, dont le rayon est l'unité. On a donc dans ce cas : Si la surface, semblable à celle d'un anneau, est doublement convexe et fermée, le rayon mobile décrit deux fois la sphère : S'il s'agit d'une surface de révolution, et qu'on veuille prendre l'intégrale entre deux plans perpendiculaires à l'axe. Il est clair que l'aire sphérique qui en est la valeur, sera une zone d'une hauteur égale à la différence des cosinus des angles que font avec l'axe de révolution, les normales menées à la surface aux deux sections limites soient a et a' ces deux cosinus, on aura: : XVII. Considérons séparement les surfaces du second degré, les inté grales étant prises dans toute leur étendue. Pour l'ellipsoïde entier, la valeur de l'intégrale sera 4; pour les deux paraboloïdes, l'intégrale n'est que 27, car il est évident que si le plan tangent à ces surfaces peut prendre toutes les directions, il ne prend jamais deux fois la même ; l'angle de la normale avec l'axe ne varie que de 100o et le rayon mobile ne décrit donc que la moitié de la sphère. Pour les deux hyperboloïdes, on est ramené à évaluer une aire sphérique, dont la quadrature dépend de la rectification des sections coniques. Mais s'ils sont de révolution, l'intégrale s'obtient aisément par ce que nous avons démontré, en général, pour les surfaces de révolution. Considérons l'hyperboloïde à une nappe, et cherchons l'intégrale sculement pour la moitié de cette surface, l'hyperboloïde étant censé coupé par le plan perdiculaire à l'axe passant par le centre. Les deux plans limites sont ici, 1°. ce plan, qui partage l'hyperboloïde en deux parties égales et symétriques; 2°. un plan parallèle à celui-là, mais à l'infini, et qui coupe suivant une même courbe, l'hyperboloïde et le cône asymptote. Soit e l'excentricité, on aura pour les valeurs des deux cosinus a et a', a= =0, a' = I e La valeur de l'intégrale sera donc et pour l'hyperbo loïde entier. e e Pour l'hyperboloïde de révolution à deux nappes, on a: la forme de la surface montre qu'au lieu de la formule 2 » (a′—a), c'est la formule 2 x (a➡a') qu'il faut employer; on aura ainsi pour le demi-hyperboloïde : 2 T e pour l'hyperboloïde entier. J'ai vérifié tous ces divers résultats relatifs aux surfaces du second degré, par l'intégration directe de la formule Addition aux recherches précédentes; Le théorême de calcul intégral, auquel nous ont conduits les formules relatives aux lignes de courbure, peut être démontré directement de la manière suivante. L'intégrale double ss U ( rt — s2 ) dxdy, peut s'écrire ainsi : Sous cette forme on voit sur-le-champ qu'elle équivaut à l'intégrale double ff Udpdq, relative aux variables p, q; et que si Un'est fonction que de pet q, cette intégrale ne dépend que de ses limites. Maintenant on peut changer les variables p, q, en d'autres qui en soient des fonctions données. Ainsi on peut leur substituer les variables X, Y, qui sont les cosinus des angles que la normale fait avec les axes des x et des y. On aura dans ce cas : ƒƒ U{rt—s2)dxdy =ss Udpdq=SSU(dp dq mais dX dY dr dp dq) dxdY; axar; on trouve ainsi, comme nous y sommes déja parvenus: De pareilles considérations s'appliquent aux intégrales doubles, composées d'une manière analogue en différences partielles d'ordres supérieurs. Si nous posons, comme M. Monge, Les variables X', Y' étant données par ces équations: et que si U ne contient que r, s, l'intégrale SU(uw - m2) dxdy ne varie que par ses limites: ce que l'on peut aussi vérifier par calcul des variations. le D'ailleurs, tous ces divers théorêmes, ainsi que les vérifications qu'on en pourrait faire par le calcul des variations, sont renfermés dans l'analyse suivante. Soient P, Q, deux fonctions quelconques des variables a, r; faisons : dP Rdx + Sdy, Set S' seront égaux, si Pdx + Qdy est une différentielle exacte. Cela posé, il est évident que l'intégrale ss U( RT — SS') dxdy, revient à celle-ci : ff UdPdQ; et que si U ne contient que P et Q, cette intégrale ne varie que par ses limites. Il suffit pour vérifier la seconde partie de ce théorême, d'attribuer à une des deux fonctions P, Q, à P par exemple, une variation arbitraire P, et de voir la variation de l'intégrale double JU (RT — SS') dxdy, ne contient que des termes relatifs aux limites. Or il est facile de voir par la méthode des variations, que la partie de la variation ♪ff U (RT— SS') dxdy, contenue sous le double signe intégral, se réduit à : Or, si l'on développe cette expression, on la trouve identiquement nulle, en observant que : Prenons de nouvelles variables u,t, qui soient des fonctions Si Pdx+Qdy est une différentielle exacte, soit Z l'intégrale de cette différentielle; alors l'intégrale ci-dessus, devient : elle exprime la somme des élémens de la surface, dont l'ordonnée est Z, divisés par le produit des deux rayons de courbure; u, t sont les cosinus des angles formés par la normale à cette surface, avec les axes des x et des r. Par conséquent toutes les intégrales doubles, telles que : expriment au fond la même chose, et se ramènent toutes à la drature de la sphère. qua ce qui fournit une nouvelle classe d'intégrales doubles qui se ramènent à la quadrature de la sphère. Les combinaisons de différences partielles, telle que RT-SS', jouissent de propriétés très-importantes dans le calcul des équations aux différences partielles. Il est singulier, qu'on n'ait pas encore aperçu l'analogie qu'elles ont avec les formules par lesquelles on transforme les intégrales doubles, et les théorêmes qu'on peut en déduire relativement à la courbure des surfaces. |