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droites, on prend un point I, tel que les distances de ce point aux points où la droite coupe la surface, soient proportionnelles aux distances du point fixe aux mêmes points, le point I engendre un plan.

Si, par un point fixe A, on mène une infinité de droites AC, AE,.... et qu'on joigne par des droites CD, BE, ou CE, BD, les points d'interstion de deux quelconques de ces droites avec une surface du second degré, les points I, S engendreront un plan. Ce plan sera le même que le précédent.

Si un cône est tangent à une surface du second degré, et que le plan de contact passe par une droite fixe, le sommet du cône se ouvera sur une droite.

Si le plan de la courbe d'intersection de deux cônes tangens à une surface du second degré passe toujours par une même droite, les sommets des deux cônes engendreront une droite.

Si, par deux sections planes d'une surface du second degré on fait passer deux cônes, leurs sommets engendreront une droite, quand les plans des deux courbes passeront par une droite fixe.

Si, à une droite fixe, on substitue un point fixe, le lieu géométrique des sommets des différens cônes que nous venons de considérer, sera un plan.

Si, par un point, on mène un cône tangent à une surface du second degré, et un autre cône quelconque qui coupe la surface suivant deux courbes planes semblables à la courbe de contact, et que, par ces deux courbes, on fasse passer un second cône, son sommet sera en un point fixe sur le diamètre qui passe par le point donné.

9°. Soient (fig. 5) A, C les sommets de deux cônes tangens à une surface du second degré; B, D deux points de leur courbe d'intersection; m, q, n,p les points où les arêtes AB, AD, CB, CD touchent la surface, les trois droites mq, np‚ ̈ BD se couperont en un même point I de BD, par conséquent on aura

Am. Bn.Cp.Dq = Aq. Dp. Cn. Bm.

Cette équation a lieu, quel que soit le quadrilatère ABCD,
Il est facile de l'étendre à un polygone quelconque. Done,

« Si tous les côtés d'un polygone plan ou gauche touchent une « surface du second degré, on aura deux segmens sur chaque « côté, ou sur son prolongement; le produit de tous ces segmens, « qui n'ont pas d'extrémité commune, est égal au produit de tous « les autres. »>

10°. «Une conrbe plane quelconque est tracée sur une surface

& du second degré ;'on la projette sur un plan par un cone ayant « son sommet en un point de la surface pour lequel le plan tangent « est parallèle au plan de projection, la projection de cette «courbe sera une courbe semblable à celle qu'on obtiendrait en « coupant la surface par un plan parallèle à celui de projection. »

En effet, soient C, C', deux courbes qu'on obtient en coupant la surface par deux plans parallèles à celui de projection. Par la courbe C et la courbe plane A tracée sur la surface, je fais passer un cône, il rencontrera le plan de projection suivant une courbe B semblable à la courbe C', et par conséquent à la courbe C. Or, le plan sécant qui donne la courbe C', se mouvant parallèlement à luimême, et s'approchant indéfiniment du plan tangent, la courbe B variera; mais sera toujours semblable à la courbe C. Donc à la limite, c'est-à-dire au point où le plan sécant devient tangent, la courbe B est encore semblable à la courbe C.

Ce qu'il fallait démontrer.

Il résulte delà que, dans les paraboloïdes il existe un plan sur Jequel toutes les sections planes se projetent orthogonalement, suivant des courbes semblables. Ce sont des ellipses ou des hyperboles, suivant que le paraboloïde est elliptique ou hyperbolique (*).

PR ROBLEM E.

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«Mener sur une surface du second degré une courbe plane « tangente à trois autres courbes planes tracées sur cette sur<< face. >>

Par les trois courbes on menera trois cônes qui aient pour sommet commun un point de la surface, tel qu'un plan sécant parallèle au plan tangent en ce point, donne un cercle pour section. On coupera les trois cônes par un plan parallèle à ce plan tangent; on aura pour sections, trois cercles auxquels on menera un quatrième cercle tangent. On considérera ce cercle comme la base d'un cône ayant même sommet que les trois autres. Il est évi- · dent que ce cône tangent à ces trois-ci, coupera la surface, suivant un courbe plane tangente aux trois courbes proposées.

Ce problême admet huit solutions, puisque trois cercles tracés sur un plan peuvent être touchés par un quatrième cercle de huit manières différentes.

On résoudra semblablement,par rapport aux contacts des courbes planes, tracées sur une surface du second degré, les problêmes relatifs aux contacts des courbes tracés sur un plan.

(*) Cette proposition a été démontrée pag. 330, vol. 2 de la Correspondance.

Soient A, B, C trois courbes planes tracées sur une surface du second degré par A et B, on pourra faire passer deux cônes, l'un extérieur, que je représente par (ab), l'autre intérieur (a'b')b De niême A et C donneront deux cônes (ac), (a'c' ), B et C, deux autres cônes (bc), (b'e'). Soient y, y " ß, B', a, a', les sommets respectifs de ces six cônes. Chacune des huit courbes qui touchent les trois courbes A, B, C est dans un plan tangent à trois des six cônes, et ces trois cônes seront tous les trois extérieurs, ou deux seront intérieurs, et le troisième extérieur ; ce qui donne les quatre systêmes

(ab),

(ac), (bc), (ab), (a'c'), (b'c'),

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à chacun desquels correspondent deux courbes planes tangentes aux trois courbes A, B, C. Les sommets des trois cônes de chacun de ces systêmes se trouvent donc sur l'intersection de deux plans, et par conséquent en ligne droite. Ainsi

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Ces propriétés des surfaces du second degré ont lieu pour les courbes du même ordre, dans lesquelles on a tracé trois cordes.

Pour s'en convaincre, il suffit de concevoir que la courbe engendre une surface de révolution, en tournant autour d'un de ses axes principaux, et que les trois cordes représentent les projections de trois courbes planes tracées sur la surface, et dont les plans soient perpendiculaires à celui de la figure. Les sommets des six cônes correspondans à ces trois courbes, seront évidemment dans le plan de cette figure, et trois à trois en ligne droite.

Propriété (*) des sections coniques.

Une droite se meut parallèlement a elle-même, en touchant une suite d'ellipses qui ont mêmes foyers; le lieu des points de contact des ellipses et de la droite mobile, est une hyperbole équilatère, concentrique aux ellipses, et qui passe par les foyers de ces courbes.

(*) Communiquée par M. Frégier, admis à l'Ecole polytechnique, en 1813.

Formule de trigonométrie sphérique; par M. PARADIS DE MOCRIF, professeur de l'Ecole impériale de navi gation de Bayonne.

Nommant a, b, c les trois côtés d'un triangle sphérique, A, B, C les angles respectivement opposés à ces côtés, la formiule connue :

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C,

peut être mise sous la forme suivante :

cosc=cos (a−b)+cos(a+b)+cos(C+(a−b))+cos(C—(a—b))

cos(C+(a+b))—cos(C—(a+b)).

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

De la courbe de contact d'un cóne ou d'un cylindre, et de la surface hélicoïde des filets de la vis triangulaire; par M. HACHETTE.

La surface des filets d'une vis triangulaire, est engendrée par une droite, qui a pour directrices, une hélice tracée sur un cylindre droit à base circulaire, et l'axe de ce cylindre; cet axe qui est aussi l'axe de la vis, est coupé par la droite mobile sous un angle donné, qui est constant pour toutes les positions de cette droite. Nous allons considérer sur cette surface les hélices décrites par les divers points de la droite génératrice, et nous déterminerons sur chacune de ces hélices, le point où la surface hélicoïde est touchée par un plan mené parallèlement à une droite donnée, ou par un point donné hors la surface.

par

Remarquons 1°. que tous les plans P tangens à la surface, menés les points d'une même hélice, font avec l'axe de la vis le même angle, puisque chacun d'eux passe par une tangente à l'hélice et par la droite génératrice; 2°. que la projection orthogonale de l'axe de la vis sur l'un quelconque des plans P tangens à la surface hélicoïde, et la droite génératrice contenue dans ce même plan comprennent un angle A, qui ne varie pas, quelque soit le plan tangent. Si, par un point quelconque de l'axe, on conçoit une suite

de plans parallèles aux plans menés tangentiellement à la surface par les points d'une mênie hélice, l'enveloppée de ces plans sera un cône droit, dont on aura facilement la base circulaire sur un plan perpendiculaire à l'axe.

Supposons ce cône droit déterminé; on mènera un plan tangent à ce cône parallèlement à une droite donnée, ou par un point donné, et on déterminera l'arête de contact. Cette arête sera la projection orthogonale de l'axe de la vis sur un plan parallèle au plan tangent cherché; donc si, par le sommet du cône droit, on mène dans ce plan parallèle, une droite qui fasse avec l'arête de contact du cône droit, un angle égal à l'angle donné, qu'on a désigné précédemment par la lettre A, cette droite sera la parallèle à la génératrice qui passe le point de l'hélice, pour lequel le plan tangent à la surface hélicoïde est parallèle à une droite donnée, ou passe par un point donné; donc la projection de cette parallèle à la génératrice, sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis, coupera le cercle projection de l'hélice, en un point qui déterminera sur cette hélice, les points de contact de la surface hélicoïde, et des plans parallèles à une droite donnée, ou menés par un point donné.

par

La suite des points déterminés de la même manière appartient à la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre, et de la surface hélicoïde des filets de la vis. Dans le cas où cette surface sera touchée par un cylindre, la projection de la courbe de contact sur le plan perpendiculaire à l'axe de la vis, sera à branches fermées ou à branches infinies, selon que l'angle de l'axe de la vis et de la droite génératrice de la surface hélicoïde, sera plus grand ou plus petit que l'angle formé par l'axe de la vis, et la droite génératrice du cylindre circonscrit à la surface hélicoïde. Lorsque ces deux angles seront égaux, le nombre des branches infinies sera réduit à moitié. Pour voir la raison de cette règle, il faut observer qu'à chaque point de la génératrice de la surface hélicoïde, correspondent une hélice, et une suite de plans tangens à la surface, qui passent par les points de l'hélice, et qui font avec l'axe de la vis le même angle; pour le point de la génératrice à une distance infinie de l'axe de la vis, et pour tous les points de l'hélice infinie qui passe par ce point, l'angle constant des plans tangens P' menés par les points de l'hélice infinie, avec l'axe de la vis, est égal à l'angle de cet axe et de la génératrice de la surface hélicoïde. La condition pour que l'un des plans tangens P' soit parallèle à une droite donnée D, est la même que celle qui doit ètre satisfaite, pour qu'un cylindre engendré par une droite parallèle à la droite D, touche la surface hélicoïde suivant une courbe, dont la projection sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis, soit une autre courbe à branches infinies.

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