ne nous arrêterons pas davantage sur ce cas qui ne présente d'ail leurs que cette seule particularité. Venons enfin à celui de aa < 8 gl, qui donne m➤ I ce qui rend divergentes les séries employées dans la première solution. a2 4 gl I Faisons dans l'expression primitive de dt, 481 elle devient : = m2, = changeant dans le développement de (1+mx) ̄1⁄2, on en tire: mz mz en Multipliant ce développement par celui de (1 — — 2 ) déja en série que nous représenterons par 1 + B'az2 + B'4z4 +........., ce qui donne : Posant m'u pour rendre ces intégrales rationnelles, et intégrant par les méthodes connues, il vient : renferme t, deviendra: Remettons pour u sa valeur, la série que renferme t, (a) A représentant le coefficient connu du binomie. Développons (b) suivant les puissances de z par le théorême de Mac-Laurin. Pour cela, faisons zo dans cette fonction et ses coefficiens diffé rentiels, ce qui donnera, en faisant abstraction du facteur commun B', les expressions: que nous représenterons respectivement par m'S, m'n'S'n S"..., ce qui donne pour le développement de (b), 2 On en déduit celui de (a), en faisant successivement n=2, = 4,= = 6.. et on a la série : 1 + B'2m12S2 + B'¿m'4S4... + } { B'‚m'S',+B' 4m'3S'4 · · · } + —— {B'2S"2+B'¿m''S" 4...} • 1 1.2 Examinons la loi des quantités S., Sn+2... S'n, S'n+... ..S 129 S"n+..., et pour cela, considérons-les comme provenant de la fonction et de ses coefficiens différentiels, en y faisant x=1. Il est facile de s'assurer qu'on a, en désignant par s la valeur générale de cette fonction: I en observant qu'on a également 2 Sn = √x (x — 1)"—1 dx. On a donc, en général : S-1 Il en résulte entre les valeurs correspondantes à .x=1 relations: les Cette dernière n'a lieu que jusqu'à k➡n—1, car pour kn, la supposition de x= ne ferait plus disparaître de l'expression de s'n, le terme en x1, dont l'exposant serait nul. Changeant nen n -1, il vient 2(n-1). et cette dernière n'a lieu, d'après la remarque précédente, que juse qu'à kn— 2. Le coefficient 4n.n étant une frac tion, il en résulte que les quantités S2, S4...S', S'... forment des suites décroissantes. Il serait, en outre, facile de conclure des expressions ci-dessus, que S est positif ou négatif suivant est pair ou impair. 13. que k On vient de voir que les séries qui entrent dans le développement de (a) sont convergentes; il en est de même de ce développement. En effet, trois termes consécutifs ont pour expression, en supposant k pair: et on peut s'assurer que les coefficiens de z., forment une suite plus convergente que les quantités : 1.2...k+2 qui d'après les formules ci-dessus, se changent en 2(+2) 1 et (2k+5) (2k+3) ak+5 expressions qui vont en décroissant. Il résulte donc de cette discussion que les séries employées sont convergentes, et qu'on peut représenter le développement de (a) par Z'.-Z',z+Z'z-... c' = V quantité nécessairement finie, puisque la série qui l'exprime est convergente et a ses signes alternatifs. Laissant c', pour abréger, et remettant au lieu de z sa valeur cos, il vient, pour remplacer l'équation (7), dans le cas qui nous occupe: de di Cette équation supposant positif, ne devra être employée, d'après ce qu'a fait connaître la discussion générale, que jusqu'à la valeur, donnée par l'équation a4 gl+4 gl cos eo, et pour laquelle tc'. Après avoir acquis cette valeur, diminue: il faut donc changer la signe du radical, et employer la formule : t=c'+ 8V5 a-4gl+4glcose { Z.-Z',cost+Zacos'...}, jusqu'à eo, qui donne t2c', pour l'intervalle de tems écoulé entre deux passages consécutifs par la verticale. Enfin devenant négatif, on devra changer dans les deux formules en, et par suite de en de, ce qui conduit aux mêmes équations, mais en ordre inverse, et donne encore l'intervalle de tems 2 c' jusqu'au retour à la verticale, après lequel le mouvement recommence comme à l'origine. Le tems d'une période est T4 c', et le point de X suspension décrit pendant chacune d'elles un espace X2 ac'; De plus, les branches de courbe décrites de 0 à 0 et de = à = 0, sont respectivement semblables à celles qui le sont de - Đà=o, et de emo à 0 ; mais elles se trouvent placées symétriquement à l'égard de la verticale, dont l'abscisse est direction du pendule au milieu de la période ; ainsi la trajectoire elle-même est symétrique par rapport à cette verticale. Enfin, pour des positions du pendule, correspondantes à des points seniblablement placés sur les branches de trajectoire dx ds' dy' semblables, les valeurs de di d 2 dt et se retrouvent les dt sont égales, mais de signes contraires. Des tangentes aux projections des courbes à double courbure. Examen des cas particuliers où la méthode graphique, d'après laquelle on mène ces tangentes, est en défaut; par M. HACHETTE. La tangente en un point d'une courbe qui résulte de la péné tration de deux surfaces, est évidemment la droite d'intersection de deux plans, dont chacun passe par le point de la courbe, et touche l'une des deux surfaces; les projections de cette droite sont les tangentes des projections de la courbe d'intersection des deux surfaces. La détermination de ces tangentes dépend donc de l'intersection de deux plans. Toutes les fois que cette intersection sera perpendiculaire au plan de projection, sa projection se confondra avec le point de la courbe pour lequel on demande la tangente, et la direction de cette tangente ne sera pas déterminée en voici deux exemples tires des épures de coupe des pierres, relatives à deux voûtes, l'une qu'on nomme Porte droite, rachetant un berceau cylindrique, l'autre Porte biaise, en tour onde, rachetant un berceau spherique. Dans la première, deux cylindres droits, horisontaux, dont les axes fig. 2, pl.) AB, AC se coupent à angle droit au point A, et qui ont pour bases les cercles des rayons CD, BE, se pénètrent, et la projection de la courbe d'intersection sur le plan horisontal des axes, est composée de deux branches égales LMN, L'M'N'. Les quatre points L, N, L, N' de cette courbe, situés dans le plan des axes, sont ceux pour lesquels la droite d'intersection des plans |