tangens aux deux cylindres, est perpendiculaire au plan, qui contient ces points. Dans l'épure relative à la porte biaise, rachetant un berceau sphérique, un cylindre droit horisontal pénètre une sphère, dont le centre O (fig. 3) est sur le plan horisontal mené par l'axe AC du cylindre; la projection de la courbe d'intersection sur ce plan, est composée de deux branches égales LMN, L' M'N'; la méthode ordinaire des tangentes est encore en défaut quatre points L, N, L', N' de cette courbe, situés dans le plan horisontal de projection, pour les L'étude de la coupe des pierres ayant pour objet d'exercer les élèves de l'Ecole Polytechnique au dessin du trait et aux applications des théories mathématiques, je fais voir comment on prolonge indéfiniment les lignes LMN, L'M'N' (fig. 2 et 3), dont le tracé graphique ne donne que des portions détachées, et par quel moyen on construit les droites qui touchent ces lignes, aux points de la courbe d'intersection des deux surfaces, tels que L, N, L', N'. Prenant ( fig. 2 ) les axes AB, AC des surfaces cylindriques pour axes des coordonnées, les équations de ces surfaces se réduisent à celles de leurs bases qu'on peut supposer dans les plans des xz et des yz. Les bases étant des cercles, les équations de ces cercles seront, en nommant`r et R leurs rayons: Eliminant entre ces équations, on a pour la projection de la ligne d'intersection des deux cylindres, x-R1-r; équa tion d'une hyperbole équilatère, dont le paramètre constant est Rr. Ainsi deux autres cylindres concentriques aux premiers, et des rayons R', r se couperont suivant une courbe, dont la projection horisontale ne changera pas, pourvu qu'on ait : 'Ayant pris pour une droite quelconque CF, l'arête du premier cylindre, passant par le point F, devra couper le second cylindre du rayon R', en un point dont la projection horisontale est M. Menant donc par ce point M l'horisontale MC', et par le point C la verticale C'F' égale à CF, la droite BF' sera le rayon R' du second cylindre qui coupera le premier du rayon CF-r, suivant une courbe dont la projection horisontale sera comme pour les cylindres dies rayons Ret r, composée des branches LMN, L'M'Ñ', prolongées jusqu'aux points 1, n, l', n'. Considérant les points L, N, L', N' comme les projections de points appartenant aux cylindres des rayons' R', r'; on déterminera les tangentes pour ces points par la méthode ordinaire, c'est-à-dire, par l'intersection des plans tangens à ces deux cylindres. Passons maintenant à l'examen de la courbe LMN, L'M'N' (fig. 5), projection de l'intersection du cylindre et de la sphère. Prenant pour origine des coordonnés le centre O de la sphère, et pour axe des r une parallèle à l'axe AC du cylindre; on a pour les équations de ces deux surfaces: x2 + y2+z2= R2; ( x − a )2 + z2 = r2. Rest le rayon de la sphère; r le rayon du cylindre, et a la distance OA de l'axe AC au centre O de la sphère. Eliminant z entre ces deux équations, on a pour la projection de la courbe d'intersection sur le plan des xy, y= R1 — ra + a2 — 2 ax ; 2 a équation d'une parabole, dont le sommet S est sur l'axe des x, R1— r2 + a1 une distance OS du centre O de la sphère, égale à Cette parabole ne cessera pas d'appartenir à la projection de la courbe d'intersection de sphères concentriques au point, et de cylindres ayant pour axe la droite AC, pourvu que la quantité Rr soit constante. On satisfera à cette condition, en mettant le point dont M est la projection sur le plan horisontal des xy, à la même distance de ce plan, tant sur le nouveau cylindre que sur la nouvelle sphère correspondante. Soit CF le rayon arbitraire r' du nouveau cylindre; ayant élevé la perpendiculaire MF' à la droite OM, et prenant MFCF, OF sera le rayon R' de la sphère qui coupera le cylindre suivant une ligne, dont la projection donnée LMN, L'M'N', se prolongera jusqu'aux points I, n, l', n'. Considérant la sphère du rayon Ret le cylindre du rayon, on détermine par la méthode ordinaire, les tangentes aux points L, N, L', N'. On peut encore déterminer ces tangentes par une considération nouvelle, celle des plans normaux aux courbes à double courbure, comme on va le voir par l'article suivant de M. Binet. Remarque sur la construction graphique des tangentes aux projections des courbes; par M. J. BINET. Lorsqu'une courbe résulte de l'intersection de deux surfaces, on fait ordinairement dépendre la détermination de la tangente en un de ses points, de celle des plans tangens à ces surfaces; car l'intersection de ces plans est en effet la tangente demandée (Géo métrie descriptive de M. Monge, n°. 58 ). Il est visible que cette tangente est perpendiculaire à la-fois aux deux normales aux surfaces proposées, et par conséquent elle est perpendiculaire à leur plan: ainsi le plan des deux normales aux surfaces est le plan normal à la courbe de leur intersection. Toutes les fois que ce plan sera d'une facile construction, le problême de déterminer la tangente à la courbe proposée, se ramènera par cette considération à conduire une perpendiculaire à ce plan: c'est ce qui a lieu dans le tracé de plusieurs épures. Si l'on veut déterminer la tangente en un point de la courbe d'intersection de deux surfaces de révolution, dont les axes soient, ou ne soient pas dans le même plan; ayant pris un des plans de projection parallèle aux deux axes, et l'autre plan de projection perpendiculaire à l'un d'eux, la détermination des deux normales et de leur plan sera très-simple, et elle conduira immédiatement à celle de la tangente aux deux surfaces. A ce cas général se rapporte la détermination de la courbe d'intersection des deux surfaces cylindriques, de la porte droite rachetant un berceau. Du point assigné sur la courbe, il suffit d'abaisser des perpendiculaires sur les axes des cylindres droits en question, et de joindre par une droite les points où ces perpendiculaires rencontrent les axes; cette droite est la trace du plan normal sur le plan horisontal des deux axes, et la perpendiculaire à cette trace, abaissée du point donné de la projection de la courbe, est la tangente. Cette construction s'applique même aux points de la courbe (tels que N, fig. 2), qui résultent de l'intersection des génératrices comprises dans le plan horisontal des deux axes, points pour lesquels la construction ordinaire, fondée sur l'intersection des traces des plans tangens, se refuse à faire connaître la direction de la courbe en projection horisontale. Dans la porte biaise, en tour ronde, rachetant un berceau sphérique, la douelle de la porte est terminée d'une part au cône droit extérieur, et d'une autre part à la sphère intérieure. (Dans tout ceci, je m'occupe des épures qui font partie du cours de l'Ecole, et je suppose qu'on ait ces épures sous les yeux, ou seulement les fig. 2, 3, pl. 1.) On pourra mener à ces surfaces leurs normales, au moyen desquelles on aura avec la plus grande facilité les tangentes aux deux courbes qui comprennent la douelle de la porte. La considération du plan normal présente encore quelqu'avantage dans la tracé de la tangente à la roulette sphérique, qui est la courbe que décrit un point invariablement lié à un cône arbitraire, qui roule sans glisser sur un cône fixe aussi quelconque ces deux cônes ayant constamment le même sommet. On prouve aisément que la courbe a pour plan normal le plan conduit par la génératrice de contact des deux cônes, et par le point pris sur la courbe. La roulette sphérique devient l'épicycloïde sphérique, lorsque les deux cônes arbitraires se changent en cônes droits. Alors prenant, comme l'a fait M. Hachette (Correspondance, tom. II, ou Supplément à la géométrie descriptive, pag. 88), pour exécuter les projections, le plan de la base du cône fixe, et le plan conduit par son axe et par la génératrice de contact des cônes, cette dernière droite sera précisément l'une des traces du plan normal. Menant donc à cette trace, et par le point proposé une parallèle, en cherchant le point où elle perce le plan de la base du cône invariable, ce point-là devra encore appartenir à la seconde trace du plan normal. Deux perpendiculaires à ces traces menées par les projections du point décrit sur la courbe, seront les projections de la tangente. Solution graphique de l'équation du troisième degré, x3 px— q⇒o; par M. MONGE. L'équation proposée résulte de l'élimination de y entre les deux équations: l'une est la parabole cubique, dont les ordonnées y sont les cubes des abscisses; l'autre représente une droite, dont la position est déterminée par les constantes p et q. Ayant construit ces deux lignes, les abscisses des points où elles se coupent, sont évidemment les racines de l'équation proposée. Soient (fig. 4, pl. 1) AX, AY les axes des x et des y; AMB la portion de parabole cubique qui correspond à une abscisse donnée, par exemple, 4 centimètres. L'ordonnée 4 (64) du point B est de 64 centimètres; la branche de parabole cubique qui correspond à la même abscisse prise négativement est A'B'. Ces deux branches ont un point d'inflexion en A, et ce point en est le centre. Une ligne droite telle que MN coupe la branche AB en un point M, et ne rencontre pas la branche A'B'. Dans ce cas, l'équation proposée n'a qu'une racine, et cette racine est égale à l'abscisse du point M. Si la droite de l'équation y=px+q, coupe les deux branches AB, A'B' en trois points L', M', N', les abscisses de ces points sont les trois racines réelles de l'équation proposée. - Lorsque la droite proposée ne rencontrera aucune des deux portions AB, AB' de la parabole cubique, on prolongera la parabole cubique au delà des points B et B', en cherchant les abscisses positives des points compris entre les ordonnées 1× 64 et 2x 64, 2x64 et 3×64, 3×64 et 4×64, et ainsi de suite, jusqu'à la portion comprise entre les ordonnées 15x64 et 16x64; de cette manière, les portions de la parabole cubique correspondent a des parties égales de l'axe des y, et si l'on suppose que ces parties soient ramenées sur la première A (64), la dernière portion UV aura pour ordonnées des points extrêmes U et V, 63 x 66 et 64 × 64, les abscisses de ces points étant 4 V 63 et 16. Par cette construction, on obtiendra dans un rectangle de 16 centimètres sur 64, la branche de parabole cubique, dont la dernière ordonnée positive est de 40,96 mètres. Les ordonnées étant : 3 1x 64 cent., 2× 64°, 3x 64°...... les abscisses correspondantes, seront : 3 64 × 64, 16. Il est évident que les dernières branches de la courbe différeront très-peu de la ligne droite: la dernière, par exemple, comprise entre les ordonnées 63 x 64 et 64× 64, a pour. abscisses correspondantes de ces ordonnées, 16 et 4 V15, dont la différence est à très-peu près d'un millimètre. 3 La droite représentée par l'équation -px-q, coupe l'axe des x, et ses parallèles menées par les points de division o× 64, 2× 64,... 64×64 de l'axe des y; les portions de la droite comprises entre ces parallèles sont toutes égales entre elles et de même direction; il sera donc facilè, après avoir ramené chacune de ces portions entre l'axe des abscisses, et la parallèle à cet axe menée par le point (64) de l'axe de y, de reconnaître les points d'intersection de la droite proposée et de la parabole cubique. La fig. 4, pl. 1, tracée dans le cadre KLMN, représente sur une échelle d'un millimètre pour centimetre le dessin de la parabole, dont les ordonnées sont égales aux cubes des abscisses prises positivement et négativement, depuis o jusqu'à 16 centimètres. La planche de ce dessin (*) a été gravée avec le plus grand soin, par les artistes de la commission d'Egypte; les parallèles ont été (*) Ce dessin gravé, se vend à part, chez Mme. Ve. Courcier, quai des Grands Augustins, no. 57. |