On a déja fait connaître dans ce Recueil (tom. II, pag. 383-387), quelques-unes des conséquences auxquelles conduit le théorême donné par Pascal, sous le nom d'hexagone mystique. Voici de nouvelles remarques sur le même sujet. Ayant une courbe plane, rapportée à deux axes quelconques, inclinons, toutes ses ordonnées d'une même quantité angulaire, en les faisant pivoter, chacune, sur son pied, et dans le même sens; et cherchons les propriétés de la nouvelle courbe que déter mine ce deuxième systême d'ordonnées. Pour cela, concevons qu'à tous les points du plan répondent des ordonnées qui suivent le même mouvement que celles de la courbe primitive, et désignons par A, B, C, D,.... premier systême, et par a, b, c, d,..... leurs homologues dans le deuxième, respectivement. Puisque, par hypothèse, les points A, B, C, D,..... ont décrit des arcs de cercle semblables Aa, Bb Cc, Dd,..... il est évident, 1°. que deux droites homologues comme AB, ab, se croisent sur la ligne même des abscisses; .... en sorte que si A et B sont sur la courbe donnée et qu'on les y fasse glisser l'un vers l'autre jusqu'à ce qu'ils se confondent en un seul point, les sécantes AB, ab, se changeront en deux tangentes correspondantes qui n'auront pas cessé de se couper sur l'axe des x; 2°. que si R est le point de concours des droites AB, CD, et r celui de leurs homologues ab, cd, R et r seront deux points correspondans; 3°. que ceux d'entre les points A, B, C, D,..... R, qui, dans le systême primordial, étaient situés sur une même droite, conserveront la même disposition rectiligne dans le systême déformé. Par exemple: soit pris, à volonté, six points A, B, C, D, E, F sur la première courbe, et, sur la deuxième, cherchons leurs homologues a, b, c, d, e, f; les deux hexagones ABCDEF, abcdef, seront tels que, si, pour l'un d'eux, les trois points de concours des côtés opposés sont placés en ligne droite, l'autre jouira de la même propriété, c'est-à-dire que, si on a opéré sur une conique, la déformation indiquée n'en aura pas changé la nature, et les deux courbes seront du même ordre. Etant donnée une courbe, traçons-en une deuxième qui coupe en parties proportionnelles toutes les ordonnées de la première; et, nominant toujours A, B, C, D, ...... les points du premier systême, et a, b, c, d, ..... leurs homologues dans le deuxième, d,..... respectivement, nous trouverons dans les deux courbes actuelles des propriétés analogues à celles de la construction précédente. 1o. Les deux droites correspondantes AB, ab, iront se rencontrer sur la ligne des abscisses; et, de même, si l'on appelle tangentes correspondantes celles qui sont menées par deux points homologues, A, a, l'une touchant la première courbe en A, l'autre touchant la deuxième en a, deux pareilles tangentes se croiseront aussi sur l'axe des x; 2°. le point d'intersection de deux lignes quelconques du systême donné a pour homologue, dans le systême déformé, le point d'intersection des deux lignes correspondantes; 3°. si la courbe primitive est une conique, la déformée sera de mênie nature, ainsi qu'on le démontre par la considération des hexagones inscrits. Cette dernière propriété, même est indépendante du paralfélisme, que, jusqu'ici, nous avons supposé aux ordonnées, lesquelles pourraient être concourantes et réunies en faisceau; c'est-à-dire que : « Si d'un « point, pris à volonté sur le plan d'une conique, on tire tant « de droites qu'on voudra qui aillent se terminer à la courbe, « et qu'on les divise toutes dans un même rapport, l'ensemble « des points de division formera une nouvelle conique semblable « à la première .»> On emploie souvent dans les arts graphiques les deux modes de déformation de courbe que nous venons d'exposer. Le premier s'effectue en balançant où faisant osciller toutes les ordonnées sur leurs bases; le deuxième, en augmentant ou diminuant proportionnellement toutes ces ordonnées, qui, dans ces variations, demeurent constamment parallèles entr'elles. Dans l'un et l'autre cas, les tangentes se déplacent en tournant, chacune, avtour d'un point fixe déterminé par l'axe des abscisses. : Appliquons ces considérations générales à un exemple remarquable ABXY étant (pl. 1, fig. 1) une circonférence de' . cercle rapportée à deux axes rectangulaires OA, OX, qui partent de son centre O; augmentons proportionnellement toutes ses ordonnées, et nous obtiendrons l'ellipse concentrique abXy, dont les deux demi-axes sont Oa, OX. a et b sont, respectivement, les homologues de et B; ainsi, les sécantes ab, AB se rencontreront, en H, sur l'axe des x, et les tangentes menées en b et B se couperont aussi sur cet axe OX en K; enfin, les deux angles correspondans acb, ACB, ont leurs sommets c, C, situés sur la même ordonnée; partant, ac= AC. Quoique la seule inspection de la figure apprenne que, d'après la théorie des lignes proportionnelles, ac AC, yd = YD, nous allons cependant présenter ce résultat sous un nouveau jour en le rattachant à l'hexagone, ou plutôt à l'une des conséquences immédiates de l'hexagone de Pascal. La voici m «Soient (fig. 2) deux triangles (ABC, abc) tels, qu'en joignant leurs sommets deux à deux par des droites Aa, Bb, Cc) « allant de l'un à l'autre, ces trois droites de construction con« courent en un même point (S) : si l'on combine deux à deux « et dans le même ordre, les côtés opposés aux sonimets ainsi appariés, et qu'on les prolonge suffisamment, les trois points « d'intersection résultans (-H, I, K) seront distribués sur une « même ligne droite ». Réciproquement: Lorsque deux, « triangles (ABC, abc) sont tellement placés que, com«binant chacun des côtés du premier avec un de ceux du deuxième,! « pour avoir leur point de concours, ces trois points de construction (H,1,K) se trouvent sur un même alignement: si, par› << des droites, on joint deux à deux, et dans le même ordre, « les sommets opposés aux côtés ainsi appariés, ces droites, au « nombre de trois (Aa, Bb, Cc), se croiseront toutes en un' « même point (S). » Cela posé revenons à la figure 1re. ett menons AC et ac parallèlement à HK. Les points H, I, K étant ici en ligne droite, les deux triangles ABC, abc sont dans le cas de la figure 2, et par conséquent, les trois droites Aa, Bb, Cc, sont concourantes; mais le point vers lequel elles tendent toutes, est situé à l'infini, puisque, par construction, Aa et Bb sont paral lèles entr'elles; donc Cc est aussi parallèle à l'axe des y, et; ainsi, ac=AC. On prouverait de la même manière que yd=YD. Or, par les propriétés du cercle (fig. 1): BC=AC, BD=YD, et le triangle COD, rectangle en O, donne BC × BD — OB3, ou AC x YD=OB'=OX, ou enfin, ac × yd = 0x'; équation qu'on traduit par cet énoncé : « Si on mène aux extré-, «mités (a,y) du grand axe d'une ellipse des perpendiculaires ◄ à cet axe, le rectangle (ac xyd) formé des parties de ces perpendiculaires, comprises entre ce même axe et une tangente « quelconque à la courbe, sera une quantité constante (OX3), « égale au carré du demi-petit axe. » Cette proposition est tirée des coniques d'Appollonius; et Lagrange s'en est servi dans sa Théorie des Fonctions analytiques. Du centre de similitude de deux courbes semblables; par M. MONGE. Deux courbes quelconques du deuxième degré étant données, par leurs équations, A x2 + By2+ 2 C xy+ 2D ̧x' + 2 Ey 10, A'x2+ B'r'+2C'xy+ 2D'x +2 E'y—1=0, rapportées aux mêmes axes et à la même origine; pour que les deux courbes soient semblables entr'elles et semblablement placées, il faut que l'on ait et par conséquent ACA'Co, Le centre de similitude directe et celui de similitude opposée seront sur la droite qui passe par les centres de figures des deux courbes proposées; cela posé, si l'on nomme et les coordonnées d'un de ces centres de similitudes et m le quotient de la distance de ce centre de similitude au centre de la première des courbes, divisée par la distance des deux centres de figure, en faisant pour abréger on aura 2 CDE C · ( AB — C2 ) = H, C 2CD'E' — 'AE'’— BD12———— (AB —C1) — H', CH=CH(m1)2, |