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tracées avec la machine conté, et la courbe a été dessinée par M. Girard. La distance des abscisses positive et négative, qui correspondent aux points extrêmes de cette courbe, mesurée sur l'axe des est réellement de 81,92 mètres; cette distance est ramenée sur la planche gravée, à une dimension.64 fois plus petite, 1,28 mètre.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
Solutions de ces deux questions,

1°. Construire par la règle et le compas l'intersection d'une droite, et d'une surface gauche du second degré ; 2o. construire un cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan; par M. DANDELIN, élève.

SOLUTION DU

PREMIER PROBLEM E.

Soit (fig. 1, pl. 2), acb une hyperbole, et AB, AC ses asymptotes; menons la corde bc, terminée en B et en C aux asymptotes. Soit de plus An le diamètre conjugué à la corde bc; ce diamètre coupera en deux également la corde be , et par conséquent BC. Si donc par le point b nous menons be parallèle àÁB, et bb' parallèle à AC, que nous fassions la même chose pour le point c, nous construirons de cette manière un parallelogramme, dont la diagonale b'c' se confondra avec le diamètre An. Cela est évident.

Imaginons maintenant que a, b, c soient trois points d'une hyperbole ; et que nous connaissions les directions A'B' et A'C' des asymptotes de cette hyperbole; nous pourrons aisément trouver la vraie position des asymptotes; en effet, sur les points a, b construisons un parallelogramme aa"bb", dont les côtés soient parallèles aux directions données des asymptotes; d'après ce que nous venons de dire, la diagonale ab sera un diamètre. Sur b, c construisons un autre parallelogramme bb'cc', dont les côtés soient aussi parallèles aux directions données, et la diagonale b'c' sera encore un diamètre. L'intersection A de ces deux diagonales est le centre de l'hyperbole, et si l'on même AB parallèle à A'B' et AC à A'C', on aura ses asymptotes.

Si maintenant on donnait une droite EF, et qu'on voulût cons-. truire les points d'intersection de cette droite et de l'hyperbole, cela serait fort aisé. Menons par le point a la corde kai parallèle à EF, et supposons que z soit un des points cherchés. Nous aurons par une propriété connue de l'hyperbole ka.ai Ez. Fz, et il n'y

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à plus pour trouver le point z qu'à diviser EF en deux parties, dont le produit soit donné. J'ai tracé la construction sur la figure.

Nous avons donc le moyen de construire à l'aide de la règle et du compas, l'intersection d'une droite et d'une hyperbole, lorsque nous ne connaissons de celle-ci que trois points, et la direction des asymptotes. Or c'est à ce dernier problênie que se réduira toujours la solution de celui concernant les surfaces gauches du second degré, qui sont, comme l'on sait, engendrées par une droite mobile, qui s'appuie sur trois autres droites fixes, qu'on nomme directrices. En effet, concevons par une des trois directrices données un plan parallèle à la droite donnée; ce plan coupera la surface suivant deux droites que nous appelerons A et A', et dont l'une sera la directrice elle-même. Aprésent par la droite donnée, menons un plan parallèle aux droites A et A', il coupera la surface suivant une hyperbole, dont les asymptotes sont parallèles à A et A'. (Voyez le Supplément de la Géométrie descriptive; par M. Hachette, pag. 75, art. 84). Il sera facile de trouver trois points de cette hyperbole, c'est-à-dire, trois points d'intersection de son plan et de la surface gauche, et alors le problême sera résolu, puisqu'il n'y aura plus qu'à construire l'intersection de cette hyperbole et de la droite donnée, et qu'on aura tous les élémens nécessaires, savoir: trois points de la courbe et la direction de ses asymptotes.

SOLUTION DU SECOND PROBLEME.

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trouver une

Etant donnés trois cercles c, c', cft (fig. 2, pl. 2 ) quatrième circonférence qui leur soil tangente.

Imaginons que l'on ait pris ces cercles pour les grands cercles de trois sphères que nous appelerons aussi c, c', c", et le problême se réduira à mener une sphère tangente à trois autres, et dont le centre soit dans le plan du triangle cc'c", fig. 2.

Supposons cette sphère trouvée; elle touchera en a, a', a" les trois sphères données, et ces trois points seront précisément les points de contact du cercle demandé et des autres cercles.

Menons un plan tangent aux trois sphères, et soit AA'A" l'intertersection de ce plan et du plan cc'c". On sait (Supplément à la Géométrie descriptive, n°. 28), que parmi les quatre séries de sphères tangentes à c, c',c", il y en a une correspondante à la ligne AA". Supposons encore que ce soit dans cette série que nous ayons pris la sphère tangente, et voyons quelles conditions remplissent ses divers élémens.

Soient b, b', b les points de contact du plan tangent mené par la droite AAA" et des trois sphères; d'abord (Supplément de la Géométrie descriptive, et par abréviation, S. G., n. 59), les six

points b, b', b", a, a', a", seront sur une même sphère. Cette sphère sera coupée, 1o. par le plan tangent suivant un de ses petits cercles, lequel passera par b, b' et b"; 2°. par le plan cc'c" suivant un autre cercle, lequel sera précisément le grand cercle aa'a" de la sphère tangente cherchée. Par les cercles aa'a", bb'b", on peut donc (S. G., n°. 64) faire passer une surface conique. Voyons comment on peut déterminer le sommet de cette surface.

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Prenons sur la droite AAA", les sommets 4 et A' des cônes tangens, le premier aux sphères c' et c", le second aux sphères e et c". Les quatre points a', b', a", b" se trouvent sur un même plan passant par A'; les quatre points a", b", a, b se trouvent aussi sur un même plan passant par 4. (S. G., no. 30). Les quatre points a, b, a', b' se trouvent sur un troisième plan passant par le point A", sommet du cône tangent à c et c'. Ces trois plans se coupent en un point S, qui est le sommet du cône cherché; ce point S se trouve sur la rencontre des trois intersections de ces plans, pris deux à deux, c'est-à-dire sur la rencontre des lignes ab, a'b', a"b". Si donc, nous faisons passer par le cercle connu bb'b", un cône dont le sommet soit en S, ce cône coupera la sphère qui passe par les cercles aa'all et bb'b", suivant un cercle aa'a", sur lequel se trouveront les points cherchés aa'a".

Maintenant imaginons une tangente aT commune aux deux cercles c et aaa; par cette tangente que nous appellerons a T, et par le point S, faisons passer un plan aST. Ce plan "sera tangent au cône, et par conséquent il coupera le plan du cercle bb'b", suivant une ligne b7 qui sera tangente en b à ce cercle, et qui rencontrera la tangente aT en un point T (fig. 2) situé sur la ligne AA'A".

Or, le cercle bb'b" et sa tangente bT sont connus. On peut construire aisément la tangente bT, puis déterminer le point T, et par suite le point de contact a; et le problême sera résolu.

Il faut remarquer que l'autre tangente Ta (fig. 2), donne une seconde solution. Ce qui provient de ce que la ligne AAA convient à deux séries différentes de sphères tangentes.

Voyez d'autres solutions synthétiques de ce probléme,

1o. Correspondance sur l'Ecole Polytechnique tome Ier., pages 18-28; méme tome, pages 194-195, solution de M. Cauchy; tome II, pages 420-425, article de M. Dupin;

2o. Journal de l'Ecole Polytechnique, me. et 8me, cahiers, page 2-9, Mémoire de Fermat sur le contact des sphères, traduit du latin par M. Hachette; même journal, 16me. cahier, page 124, Mémoire de M. Gaultier de Tours.

On trouvera les solutions analytiques de ce problême, 1o. Bulletin de la Société philomatique, septembre 1812, par M. Poisson; 2°. tome II de la Correspondance, pages 63 et 409, par M. Français; 3°. journal de l'Ecole Polytechnique, me. cahier, deux solutions, l'une de M. Binet, l'autre de M. Hachette.

Construire par la ligne droite et le cercle, les points d'intersection d'un hyperboloïde de révolution et d'une droite donnée; par M. Lamé, élève.

La droite donnée en tournant autour de l'axe de l'hyperboloïde engendre un autre hyperboloïde, qui coupe le premier suivant deux cercles; la question proposée sera résolue, si l'on détermine les centres et les rayons de ces cercles. Soient (fig. 3, pl. 2 ) OA, OO′ les rayons des cercles de gorge de deux hyperboloides de révolution, qui ont pour axe commun la perpendiculaire O au plan de ces cercles, et nommons premier hyberbolcïde, celui dont le cercle de gorge est du plus petit rayon. Menons parallèlement à l'axe de révolution, et par une tangente ab au cercle de gorge de ce premier hyperboloïde, un plan qui coupe le second hyperboloïde suivant une hyperbole H. Le même hyperboloide étant coupé par un plan méridien parallèle, suivant une autre hyperbole H, les deux hyperboles Het H' sont semblables, et leurs axes réels sont dans le rapport des rayons OA, 00′ des deux cercles de gorge. Le plan de l'hyperbole H contient une génératrice G du premier hyperboloide; soit C le point où cette génératrice coupe l'axe réel ab de l'hyperbole; le point homologue C' de l'hyperbole semblable H', divise l'axe réel AB en deux parties AC, CB qui sont entre elles dans le rapport de aC à Cb; donc si par le point C' on mène une parallèle G' à la génératrice G, les points d'intersection de cette parallèle et de l'hyperbole H', seront les homologues des points d'intersection de la génératrice G et de l'hyperbole H. On sait construire avec la ligne droite et le cercle les points d'intersection de l'hyperbole méridienne H' et de la droite G'; donc on connaîtra les points d'intersection de l'hyperbole H et de la droite G. Les perpendiculaires abaissées de ces points sur l'axe de révolution, déterminent les cercles d'intersection des deux hyperboloïdes. La même considé ration s'applique à la recherche de l'intersection d'un ellipsoïde de révolution et d'une droite, en supposant que la section méridienne soit donnée.

On déduira facilement de ce qui précède la solution de cette question (en ne faisant usage que de la ligne droite et du cercle); Mener par une droite donnée, un plan tangent à un hyperboloïde ou un ellipsoïde de révolution.

QUESTIONS DE MATHEMATIQUES ET DE PHYSIQUE, proposées au concours général des lycées de Paris, année 1814.

MM. Frédéric Latour, Privezac et Lamé, admis cette année (1814-1815) à l'Ecole Polytechnique, ont remporté les deux premiers prix de Mathématiques, et le premier accessit.

PROBLEME DE MATHÉMATIQUES.

Etant donné un cône droit dans lequel le rayon de la base est le tiers de l'apothême, si l'on prend sur la surface du cône un point situé à la distance a du sommet, et que de ce point, comme centre, avec une ouverture de compas égale à r, on trace sur la surface du cône une courbe, laquelle pourrait être considérée comme l'inter section de cette surface avec celle de la sphère qui a son centre au point donné, et dont le rayon est r;

Si ensuite on développe la surface convexe du còne en une surface plane, laquelle sera un secteur circulaire, dont l'angle, est d'angle droit, on demande l'équation de la courbe tracée sur la surface du cône, et devenue plane par le développement de cette même surface en un secteur plan: l'équation de la courbe étant trouvée en général pour toutes les valeurs de r et de a, on fera a 3, r2, et on déterminera pour ce cas particulier la figure exacte de la courbe, en la traçant dans toute son étendue. On examinera de plus si la courbe est décrite toute entière compas qui tourne autour du point donné, ou s'il n'y a qu'une partie de la courbe décrite par ce procédé, et quelle est cette, partie.

Solution de M. Frédéric Latour. (Premier Prix.)

par

le

Concevons le cône et la sphère décrite du point donné A, fig. 4. pl. 2, et supposons un plan horisontal HB qui coupe ces deux surfaces, respectivement suivant un cercle que nous projeterons sur la base du cône. Joignons enfin leurs centres et un de leurs points d'intersection, nous formerons ainsi un triangle EFG.

Cela posé, il est clair que le plan méridien passant par le point F contiendra les points de la courbe situés à la hauteur HB, ou, ce qui est la même chose, à la distance SB du sommet; et que, par conséquent, l'un de ces points se trouverait sur la génératrice passant

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