Application de cette méthode au dessin de la vis triangulaire. Nous avons déja résolu cette question (voyez la Correspondance, tome 2, pages 69 et 447) de déterminer sur la surface des filets d'une vis triangulaire, la ligne de séparation d'ombre et de lumiere dans l'hypothèse des rayons de lumière parallèles entre eux, mais la méthode précédente est préférable, parce qu'elle donne directement les points de cette ligne sur l'hélice arête des surfaces supérieure et inférieure des filets, sur les hélices intersections de ces surfaces et du cylindre noyau de la vis, et sur des hélices intermédiaires, en tel nombre qu'il est nécessaire pour tracer la courbe avec exactitude. Cette construction apprend d'ailleurs quelle doit être l'inclinaison du rayon de lumière, pour que la projection de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis, soit une courbe fermée ou à branches infinies. Quand à l'ombre portée, par une courbe quelconque, sur la surface hélicoïde des filets, on la construira de la manière la plus simple en coupant d'abord les surfaces supérieure et inférieure des filets par un plan perpendiculaire à l'axe de la vis, et en remarquant que cette courbe est constante de forme. L'ayant tracée, on découpera une cherche, ou un patron suivant cette courbe. On considérera la ligne qui porte ombre sur la surface hélicoïde comme la base d'un cylindre, dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière, et on cherchera l'intersection de ce cylindre et de la surface hélicoïde, en coupant ces deux surfaces par une suite de plans perpendiculaires à l'axe de la vis, et en projettant, par un systême des droites parallèles au rayon de lumière, toutes les sections sur un plan perpendiculaire à l'axe de la vis. On construira de cette manière tous les points du contour de l'ombre portée sur la surface hélicoïde, au moyen de deux courbes planes, l'une fixe et l'autre mobile, cette dernière courbe étant une section de la surface hélicoïde, qui varie de position, et dont la forme est constante. De la sphère qui touche quatre sphères données (suite de l'article, page 425-429 du 2°. volume); par M. HACHETTE. Conservant les dénominations précédentes de l'article cité, soient de plus a, b, c les coordonnées du centre de la quatrième sphère donnée, et r'"' son rayon, supposons que la sphère du rayon, dont le centre a pour coordonnées a, B, y, soit tangente aux quatre sphères données; x, y, z étant les coordonnées du point ou la sphère du rayon p touche la première sphère, on a l'équation (6): Substituant cette valeur dans l'équation (b) (pag. 427, tom. 2): Par l'axe des x qui contient les centres des deux premières sphères données, et par le centre de la quatrième sphère, concevons un plan, et faisons tourner ce plan autour de l'axe des x, jusqu'à ce qu'il soit confondu avec le plan des xy; rapportant les deux premières sphères données, ainsi que la quatrième sphère, à ce nouveau plan, en conservant l'origine des coordonnées et l'axe des x, les coordonnées du centre de la quatrième sphère seront a"", et b+c. Faisant pour abréger V bl2 + c = B, et désignant par les ordonnées perpendiculaires à l'axe des x, on aura pour l'équation du plan du petit cercle, lieu de tous les points de contact de ces trois sphères, et d'une sphère mobile qui les touche; 4 On obtient cette équation en changeant, dans l'équation (F) (pag. 428, tom. II), r" en r'", et b" en B. Faisant successivement dans l'équation (F') y' = 0, x = 0, on aura les valeurs X et Y de x et de y', qui correspondent à y = o, et à ro; la droite, dont l'équation est (F'), coupera l'axe des x et l'axe des y en deux points, distans des coordonnées de l'origine des quantités X et Y. Remettant l'axe des y et la portion Y de cet axe à sa véri– table place sur le plan des yz, et élevant une perpendiculaire sur cet axe par l'extrémité de Y, cette perpendiculaire sera sur le plan des yz la trace du plan du petit cercle, lieu des points de contact des trois sphères qui ont pour rayons r, r r'", et de la sphère mobile qui les touche. Cette trace coupe l'axe des y et BY BY l'axe des z en deux points, dont les coordonnées sont et en sorte que le plan du petit cercle coupe les trois axes des x des y z en trois points distans de l'origine des coordonnées des quantités b" cl (F") x,y,z étant les coordonnées du point de contact de la première sphère du rayon r, et de la cinquième sphère du rayon, on a pour ce point: - Des équations (G), (F"), et de l'équation (F) (pag. 428, tom, II), linéaires en x, y, z, p, on tirera la valeur de p de l'équation du second degré (x2 + y2+ z2 = r). Mettant successivement dans les quatre systêmes d'équations (F), (F") la différence - des rayons r, r, ou leur somme r+", on parviendra à huit équations du second degré, d'où l'on tirera les seize valeurs du rayon p de la sphère, qui touche les quatre sphères données des rayons ,,, . Quand aux coordonnées a, ß, y, du centre de cette sphère tangente, on tirera leurs valeurs des équations (6): Note sur une difficulté relative à la rectification des courbes; par M. POISSON. Si l'on représente par x et y les coordonnées d'un point quelconque d'une courbe plane, et par s l'arc de la même courbe qui se termine en ce point, on a, comme on sait, ds2 = dx2 + dy2; et le problême de la rectification des courbes, considéré sous le point de vue le plus général, consiste à intégrer cette équation différentielle à trois variables. Elle est de l'espèce de celles qui ne satisfont pas aux conditions d'intégrabilité, c'est-à-dire, que l'on ne peut pas y satifaire par une seule équation en x, y et z, qui laisserait deux de ces variables indépendantes entre elles. Son intégrale générale, telle que M. Monge et M. Lagrange l'ont trouvée, est représentée par le systême de trois équations, savoir: étant une nouvelle indéterminée, et oa désignant une fonction arbitraire de cette quantité. On peut vérifier, en effet, que l'équa→ tion donnée est satisfaite par ces valeurs de x, y, s; car on ea tire dx=+cosa ( q'a + '"' a) da, dysina (q'a + pla) da, et par conséquent ds2dx + dy. Telle est donc, sous forme finie, la relation qui existe dans toutes les courbes possibles entre l'arc et les coordonnées. Lorsque la fonction sera donnée, on aura l'équation de la courbe en éliminant entre les valeurs de x et de y, et l'on obtiendra l'arc en fonction de l'une des deux coordonnées, en éliminant a entre la valeur de s et celle de cette coordonnée. Mais si, au contraire, l'équation de la courbe est donnée en x et y, on y substituera les valeurs précédentes de ces variables, et il en résultera une équation, différentielle du second ordre par rapport à qa, qui devra servir à déterminer cette fonction. Or, il se présente ici une difficulté qu'il est bon de remarquer : cette équation différentielle étant du second ordre, la valeur de qa, tirée de son intégrale, contiendra, deux constantes arbitraires; il semble donc que la valeur de s, savoir; s= a + q'a, devra aussi renfermer ces deux constantes, ce qui serait absurde, puisque l'arc indéfini d'une courbe ne comporte, dans son expression, qu'une seule constante arbitraire, dépendante du point fixe d'où il est compté. Pour éclaircir cette difficulté, désignons par uo l'équation de la courbe; u étant une fonction donnée de x et y. Si l'on y met pour ces coordonnées leurs valeurs, on ne voit pas d'abord comment l'équation différentielle qui en résultera, pourra s'inté grer en général, et quelle que soit la forme de la fonction u u ; mais heureusement elle est du genre de celles qui s'intègrent en commençant par les différentier. En effet, d'après les valeurs précédentes de dx et dy, on aura Féquation duo se décomposera donc en deux facteurs, savoir: et si l'on élimine qa entre cette équation et u≈o, on aurą une intégrale première complette de uo. Quant au second facteur de duo, il ne renferme pas q"" a et l'équation qu'on obtient en l'égalant à zéro, est du second ordre comine u = o eliminant donc "a entre ces deux équations, u = 0, on obtiendra une équation du premier ordre, sans constante arbitraire, qui sera une solution particulière de u=o. Or, maintenant on voit que l'intégrale de uo est étrangère à la question qui nous occupe, puisqu'elle donne une constante pour la quan-` tité qaqa, qui représente la valeur de l'arc ; c'est donc la solution particulière qui devra servir à déterminer qa: on en tirera la valeur de 'a, sans constante arbitraire, et en intégrant on aura celle de oa, et par suite celle de s avec une seule constante, ainsi que cela doit être. La même observation s'applique au cas où l'on donne l'arc s en fonction des coordonnées x et y, et où l'on demande l'équation de la courbe. En mettant dans l'équation donnée, à la place |