par le point L, qui, dans le développement, fera avec la géné ratrice SK un angle qui aura pour mesure un arc égal en longueur à LK, décrit du rayon SK; mais l'angle EGF a pour mesure le même arc décrit d'un rayon trois fois moindre; il est donc triple du précédent; en sorte que l'équation polaire de la courbe que l'on cherche ne dépend que d'une relation entre SB=v; EGF=3u; or, le triangle EGF donne:

telle est l'équation polaire de la courbe en comptant les angles, partir de la génératrice qui passe par le point donné, et les rayons vecteurs, à partir du sommet du cône.

Si dans cette équation on fait a=3, r=2, on trouve:

8+ cos 3 u

.3

± 3 V 19+ cos13 u +16 cos 3u,

Sous la première forme, l'équation nous montre à cause des trois valeurs de u correspondantes à une valeur de cos 3 u, que si l'on partage la circonférence en trois secteurs de d'angle droit chacun, la courbe sera symétrique dans chacun de ces secteurs; en sorte qu'il suffira de voir sa forme entre les lignes PB', PB (fig. 5); mais CB, sur laquelle on compte les angles, partageant BPB' en deux parties égales, la même forme d'équation fait voir que la portion de la courbe comprise entre ces deux droites, sera symétriqué au-dessus

1

et au-dessous de PC; en sorte qu'il suffit de la discuter dans l'angle BPC; c'est-à-dire, depuis cos 3 u =— 1, jusqu'à cos 3 u = + 1; les valeurs de correspondantes sont :

1 jusqu'à + 1

or, en prenant le signe positif pour le radical, on voit facilement que cos 3 u augmentant depuis " augmente depuis 3 jusqu'à 5; donc la courbe aura à-peu-près la forme EC, si PE=3, PC 5. Il y aura une autre branche (ce) séparée de la première, pour laquelle Pe=

5

3

Pc I
= 1; car il est facile de

prou

ver qu'il n'existe pas de courbe entre le point e et le point E; pour -dans la première équation, ♪ étant moindre

cela faisons=3

que Ee, et par conséquent moindre que 2, nous aurons

3

est positif, si ♪<2; et il faudra que l'on ait :

(

2

4

3

4

<? 2, ou au plus égal ; delà on tire ♪ > 1 ou égal ;

4

5

3

d'où v<3. <, ou au plus égal, quand cos 3u =—1;

3 3

c'est-à-dire, sur le rayon PB.

L ;

Enfin la génération de la courbe fait voir que la plus grande valeur du rayon vecteur sera PC=3+2, et la plus petite Pc-3-2; donc si on achève la courbe dans les autres angles où elle est symétrique, et que l'on décrive quatre cercles avec les rayons 5, 3, 9, 1 et du centre P, la courbe sera toute entière comprise dans le cercle PC qu'elle touchera aux points C, G, elle se composera de deux courbes distinctes, l'une comprise entre ce premier cercle et le cercle PE qu'elle touchera aux points E, N, I; l'autre comprise entre les cercles décrits du rayon Pc qu'elle touchera aux points c,g,l, et du rayon Pe qu'elle touchera aux points e, n,i il n'y aura rien dans le cercle Pc, rien entre les cercles Pe, PE.

On voit que le cône développé ne fournira que le secteur BPB'; en sorte que le compas n'aura décrit que la courbe comprise dans ou le tiers de la courbe entière.

cet espace,

Solution de M. Privezac. (Deuxième Prix.)

Par le sommet P, fig. 6, pl. 2 du cône et le point A donné sur la surface, je mène l'apothême PB; suivant cette droite prolongée indéfiniment, je conduis un plan XPM tangent au cône, et je suppose que le développement de ce cône se fasse sur le plan tangent (*), ou que le cône roule sur ce plan, son sommet restant fixe. Soit M' un point de la courbe à double courbure tracée sur la surface conique, et soit M ce même point lorsqu'elle est devenue plane; pour déterminer la position du point M, ou plutôt la courbe sur laquelle il est situé, j'emploierai les coordonnées polaires, appelant le rayon vecteur PM et a l'angle qu'il fait avec la droite PX en tournant autour du pôle P.

Cela posé, en observant que la distance du point M' au sommet P ne change pas dans le développement, le triangle APM' donne d'après un principe de trigonométrie rectiligne :

r2 = a2 +'v2 — 2 av cos APM'.

Cette équation donne une relation entre et l'angle APM'; mais comme nous voulons l'obtenir entre v eta, il faut prendre la valeur de cos APM' en fonction de a et de quantités connues. Or, dans l'angle solide triède formé par les plans CPB, CBD, DPB, on a, en vertu d'une formule très-simple de trigonométrie sphérique, cos APM' cos2 BPC + sin BPC cos BCD; car les angles BPC, DPC sont égaux, et l'angle BCD mesure celui des plans BPC, DPC. Mais dans le triangle BPC rectangle en C, on a :

en supposant pour résoudre la question dans un cas plus général, que l'apothême du cône est égal à m fois le rayon de la base. De plus si BD' est la portion de l'arc du secteur sur laquelle s'est appliqué l'arc BD par le développement, les angles BCD et BPD'a seront en raison inverse des rayons CB et PB, ce qui donne l'angle BCD douc:

mag

(*) Ce plan peut être considéré comme celui de la feuille.

On en déduit que l'équation de la courbe est, en la résolvant par rapport à cos mu:

Cette forme est simple et peut servir à trouver aisément les limites de la courbe; car on sait que celles de cos m a sont i et — 1.

Équation qu'il s'agit de discuter et construire. (Suit la discussion de cette équation) (*).

PROBLEME DE PHYSIQUE.

de

Après avoir expliqué la construction de la pompe foulante, et la cause et les progrès de l'ascension de l'eau à chaque coup de piston, on examinera lequel des deux est le plus avantageux, placer la soupape, ou en bas du tuyau d'aspiration, ou bien à la jonction de ce tuyau avec le corps de pompe.

On fera voir dans quel cas l'eau peut s'arrêter dans le tuyau d'aspiration ou dans le corps de pompe, quoique le piston, lors qu'il est au plus bas point de sa course, ne soit pas à 32 pieds au-dessous du niveau de l'eau qu'il faut élever.

(*) Note sur l'intersection d'un cóuc à base fermée par une surface fermée, et sur la dernière partie du probleme de mathématiques, proposé au dernier concours général des lycées de Paris.

La courbe d'intersection du cône et de la surface est nécessairement fermée, et quand on rapporte cette courbe sur le développement du cône, elle devient une courbe plane fermée ou infinie, et dans les deux hypothèses, elle est composée de parties égales, dont les extrémités se réunissent ou ne se réunissent pas.

Pour concevoir comment une ligne tracée sur un cône, a plus d'étendue sur le développement de ce cône que sur le cône même, on peut supposer le cône enveloppé par une toile sans épaisseur, qu'on a pliée un nombre indéfini de fois sur elle-même. Un plan ou toute autre surface coupe les diverses couches de l'enveloppe, suivant une même ligne, qui peut être composée de plusieurs branches; or, toutes les couches superposées, sont séparées sur le développement du cône; donc la courbe d'un cône, doit avoir sur le développement de ce cône, plus d'étendue que la courbe elle-même ; examinons les deux cas où elle sera fermée ou infinie.

Le développement du cône correspond a un secteur, dont les rayons extrêmes représentent la même arête du cône. L'arc qui mesure l'angle de ces rayons est, ou n'est pas une partie aliquote de la circonférence; dans le premier cas, les courbes fermées du cône sont encor des courbes fermées sur le développement, et dans le second cas, elles sont infinies, ce qui est évident.

H. C

§. II. MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES. Analyse du premier Mémoire (*) sur la stabilité des corps flottans; par M. CH. DUPIN, capitaine en premier au corps du génie maritime, correspondant de l'Institut.

Mémoire présenté à la premier classe de l'Institut de France, le 10 janvier 1814.

Enhardi par l'indulgence avec laquelle la première classe de 'Institut a daigné recevoir et approuver nos premiers Mémoires, en les déclarant dignes d'entrer dans sa collection des Savans étrangers, nous osons aujourd'hui lui présenter le commencement des applications de notre théorie de la courbure des surfaces. Dans ce nouveau travail, nous avons dû laisser la méthode qui nous avait conduits jusqu'ici, pour suivre une marche nouvelle.

En exposant la première partie de nos recherches, nous n'étions occupés que de la seule théorie. Les applications, que parfois nous avons présentées, n'étaient que de simples aperçus, jetés en avant pour répandre plus de jour sur des vérités abstraites, et rendre ainsi leur succession moins aride, en offrant d'espace en espace des exemples faits pour parler à l'imagination. Sans négliger des observations et les vérités de détail, nous avons cherché sur-tout à poser des principes simples et généraux, pour qu'ils pussent être faciles et féconds en conséquences. Essayons maintenant d'appliquer ces résultats à des questions d'un très-fréquent usage; par là nous rendrons de plus en plus sensible l'esprit de notre méthode.

Si jamais elle peut être de quelque intérêt, ce sera sur-tout lorsqu'on la verra s'étendre à des sujets, dont on a depuis longtems, apprécié le besoin et l'importance.

Parmi les questions traitées jusqu'ici par les seules lois de la mécanique, l'une de plus intéressantes, est sans contredit celle dont le but est de déterminer l'équilibre, et la stabilité des corps solides flottant sur des fluides. De sa solution dépend nécessairement la sûreté, et à beaucoup d'égards le perfectionnement de la navigation. D'ailleurs une foule de recherches physiques, et mille usages des arts se rapportent à ce problême remarquable.

(*) Ce Mémoire, sur le rapport d'une commission composée de MM. Sané, Prony et Carnot, rapporteur, a été déclaré digne de l'approbation de la Classe › et de l'insertion dans sa Collection des savans étrangers.