indifférent, c'es-à-dire, que par rapport à l'axe horisontal autour duquel s'est opéré le dérangement qu'on considère, l'équilibre une fois dérangé, tend à se troubler de plus en plus dans le premier cas; à se rétablir, dans le second; et enfin, dans le troisième cas à conserver sa nouvelle assiète.

Présentées ainsi, les conditions de l'équilibre des corps flottans ne s'offriraient pas sous une forme assez simple pour être généralement et facilement saisies : réduisons les choses à leur expression la plus élémentaire.

Si, à partir d'une position d'équilibre donnée, nous inclinous un peu le corps flottant, en le faisant tourner autour d'une Morisontale quelconque, et qu'ensuite nous menions, par le centre de gravité un plan perpendiculaire à cette droite, ce plan étant vertical passera par le centre de carène correspondant à la position d'équilibre, et en ce point it coupera la carénide suivant une certaine ligne ; concevons que pour le même point on détermine le centre de courbure de cette ligne.

Maintenant, si le centre de gravité du corps flottant est audessous de ce centre de courbure, l'équilibre du corps flottant est nécessairement stable.

Si le centre de gravité est au-dessus du centre de courbure, l'équilibre est nécessairement instable.

Et enfin l'équilibre est indifférent quand ces deux centres coïncident.

Delà résulte ce théorême qui paraît digne de remarque.

En comparant une position d'équilibre d'un corps flottant, avec les positions très-voisines qu'il peut prendre, la distance de son centre de gravité au centre de la carène, est un minimum ou un maximum, suivant que l'équilibre est stable ou non stable : dans l'équilibre indifférent cette distance est constantè.

Si maintenant nous comparons entre eux les divers degrés de stabilité d'un même corps flottant, suivant qu'à partir de sa position d'équilibre, on l'incline successivement autour de tous les axes horisontaux possibles, un nouvel ordre de propriétés va se présenter à nous:

En se plaçant au centre de la carène qui appartient à la position d'équilibre que l'on considère, et traçant ensuite les lignes de plus grande et de moindre courbure de la surface carénide, qui passent par ce point,

1°. Lorsque l'axe d'inclinaison sera parallèle à la direction de moindre courbure, ce sera la direction de la moindre stabilité du corps flottant;

2. Lorsque l'axe d'inclinaison sera parallèle à la direction de plus grande courbure, ce sera la direction de la plus grande stabilité du corps flottant.

Or, en chaque point d'une surface quelconque, les deux directions de plus grande et de moindre courbure se croisent toujours à angle droit.

Donc aussi les deux directions de plus grande et de moindre stabilité d'un corps flottant quelconque se croisent toujours à angle droit.

Si nous voulons comparer ces stabilités principales aux stabilités intermédiaires, nous pouvons le faire de la manière la plus simple au moyen de la courbe indicatrice de la surface carénide; car cette indicatrice étant déterminée pour le centre de la carène qui correspond à la position d'équilibre qu'on considère, les divers degrés de stabilité sont proportionnels aux carrés des diamètres de cette courbe, augmentés ou diminués d'une quantité constante.

Mais les diamètres de la courbe indicatrice sont placés symétriquement à droite et à gauche des axes de cette courbe. Donc à droite et à gauche des directions de plus grande et de moindre stabilité du corps flottant, les degrés de stabilité qui correspondent aux inclinaisons symétriquement placées sont pareillement égales entre elles. Des mêmes principes résulte encore cet autre théorême.

En déterminant les divers systêmes de tangentes conjugées (*) de la surface carénide, au centre de carène qui correspond à la position d'équilibre, chaque tangente représentant la direction d'une inclinaison du corps flottant; concevons ensuite qu'on ajoute ensemble les quantités qui représentent les degrés de stabilité qui correspondent aux directions conjuguées, prises deux à deux; alors la somme de deux stabilités conjuguées sera nécessairement cons

tante.

Et comme les directions de plus grandé et de moindre stabilité du corps flottant, sont aussi deux directions conjuguées de la surface carénide; il suit delà que la somme de deux stabilités conjuguées quelconques, est précisément égale à la somme de la plus grande et de la moindre stabilité du corps flottant.

Après avoir exposé les premières propriétés de la carénide, ou surface des centres de carène, il faut considérer la surface enveloppe des flottaisons. Cette surface est, ainsi que nous l'avons dit définie par la propriété d'avoir pour plan tangent les plans de

(*) Voyez pour l'exposition de la théorie des tangentes conjuguées, le premier et le second Mémoires des développemens de géométrie, par M. Dupin.

flottaison qui terminent toutes les carènes d'égal volume que nous avons considérées.

Or, cette enveloppe des flottaisons est, comme la surface carénide, fermée de toutes parts; elle présente partout ses deux courbures dans le même sens : enfin elle embrasse complettement la surface carénide, ou est partout embrassée par elle, comme celle-ci l'est par la surface extérieure du corps flottant.

De manière que la carénide et l'enveloppe des flottaisons ne peuvent jamais se pénétrer.

On sait que chaque plan de flottaison est coupé par les plans de flottaison infiniment voisins, suivant une droite qui passe toujours par le centre de gravité de l'aire du premier plan: l'aire étant terminée par la surface extérieure du corps flottant. Ce beau théorême est dû à Lacroix, géomètre français du siècle passé.

En combinant ce principe avec la théorie des enveloppes, on voit que la surface enveloppe des flottaisons, comme la carénide, est le lieu de tous les centres de carène.

A l'aide de ces propriétés, nous démontrons les principes suivans.

I.

Le plus grand rayon de courbure de la surface des centres de carène, est pour chaque centre de carène que l'on considère, égal au plus grand moment d'inertie de l'aire de la flottaison correspondante, divisé par le volume de la carène.

II.

Le plus petit rayon de courbure est au contraire égal au plus petit de ces momens divisé par le volume de carène..

III.

La direction de la plus grand courbure de la carénide est celle de l'axe de plus grand moment d'inertie de l'aire de la flottaison.

IV.

La direction de la moindre courbure de la carénide est celle de l'axe du plus petit moment d'inertie de l'aire de la flottáison. Les mêmes principes font connaître la grandeur des rayons de courbure de toutes les autres sections normales de la surface carénide.

Et comme la détermination des divers degrés de stabilité d'un corps flottant incliné tour à tour suivant toutes les directions, dépend immédiatement de la valeur de ces rayons de courbure, nous obtenons ainsi la mesure la plus simple de ces divers degrés de

stabilité. Il est facile de voir qu'elle concorde avec les beaux résultats présentés pour la première fois par Bouguer, dans son Traité du navire, et par Euler, dans sa Scientia navalis.

Comme les quantités desquelles dépend cette mesure de la stabilité, sont indépendantes de la situation horisontale des divers points de la carène et de l'aire de la flottaison, on conçoit qu'on peut altérer d'une infinité de manières différentes la forme d'un corps dont le poids est constant, sans que ce corps, en flottant toujours sur le même fluide, change pour cela de stabilité.

Dans ces diverses transformations éprouvées par la figure du corps flottant, nous cherchons à voir ce que deviennent la surface carénide et la surface enveloppe des flottaisons. Nous faisons voir qu'alors ces dernières surfaces éprouvent des transformations analogues à celles dont nous avons donné les conditions dans la Ire. partie de cet ouvrage, au sujet des surfaces qui doivent conServer entre elles au moins un contact du second ordre. Par conséquent ces surfaces conservent encore absolument la même courbure aux points qui correspondent à la position d'équilibre dont on s'occupe. Donc non-seulement alors la position d'équilibre du corps flottant est conservée, mais les degrés de stabilité qui correspondent à ces positions sont absolument restés les mêmes, ainsi que les directions de ces stabilités.

Pour terminer ce que, dans ce Mémoire, nous devons dire sur les propriétés générales de la surface enveloppe des flottaisons, il faut trouver pour chacun de ses points la direction des lignes de courbure et la grandeur des deux rayons de courbure.

Recherche des lignes et des rayons de courbure de la surface des flottaisons,

et

Si nous prenons un point sur l'enveloppe des flottaisons qu'après avoir déterminé le plan des flottaisons qui correspond à ce point, nous concevions tous les autres plans de flottaison voisins du premier avec lequel ils forment un angle constant, chacun de ces plans et le premier intercepteront dans le corps flottant deux onglets qui seront réunis par la droite intersection des deux plans.

Or, cette droite est tangente à la ligne de plus grande ou de moindre courbure de la surface des flottaisons, suivant que la différence de volume des deux onglets est un minimum ou un тахітит.

Maintenant concevons que la surface extérieure du corps flottant devienne cylindrique, tout le long du contour de la flottaison que l'on considère. Alors les plans de flottaison infiniment voisins in

tercepteront dans ce cylindre de nouveaux onglets. La différence de ces nouveaux onglets avec les premiers compris entre les mêmes plans, est un filet triangulaire ayant une de ses faces sur le cylindre, la seconde sur la surface extérieure du corps flottant, la troisième sur le plan de flottaison infiniment voisin du plan que l'on considère.

Et suivant que le volume total de filet triangulaire, est un minimum ou un maximum, la droite intersection des deux plans de flottaison qui le déterminent est tangente aux lignes de plus grande et de moindre courbure.

Présentons enfin une troisième expression de cette direction des lignes de coúrbure.

Si l'on applique à chaque point du contour de la flottaison un poids proportionnel à la tangente de l'angle formé par la verticale et la surface du corps flottant, on va former une ligne pesante.

Or, les axes principaux du plus grand et du plus petit moment d'inertie de cette ligne, seront respectivement tangens aux lignes de moindre et de plus grande courbure de la surface enveloppe des flottaisons.

Et, de plus, si l'on divise tour-à-tour par la superficie de la flottaison, ce plus grand et ce plus petit moment d'inertie, les quotiens seront respectivement les rayons de moindre et de plus grande courbure de la surface enveloppe des flottaisons.

Lorsque nous exposerons ce qui concerne la stabilité des vaisseaux, ce qui fera l'objet d'un Mémoire à part, on verra que ce n'est pas pour nous livrer à des recherches de

pure curiosité que nous avons ainsi déterminé les élémens de la courbure de la surface enveloppe des flottaisons. Car la connaissance de ces élémens peut offrir une foule de données précieuses sur les qualités des navires, et sur plusieurs opérations des arts maritimes.

Tels sont les objets contenus dans le second paragraphe; dans le troisième et dernier, au lieu de supposer que le centre du corps flottant varie de position, pour parvenir à connaître les lois géné ráles de la stabilité, nous supposons que le centre de gravité conserve toujours la même position dans le corps flottant, et nous tâchons de déterminer les diverses positions d'équilibre qui peuvent convenir à cette position unique du centre de gravité.

Déja nous savons que la recherche de ces positions d'équilibre est ramenée à la détermination des diverses normales qu'on peut à partir du centre de gravité du corps flottant, abaisser sur la surface carénide.