Chacune de ces normales étant supposée verticale, le corps se trouvera successivement dans toutes ses positions d'équilibre.

Suivant que ces normales seront le maximum ou le minimum de la distance du centre de gravité aux divers centres de carène, elles correspondront à des positions d'équilibre stables ou non stables.

Et, comme d'un point quelconque, on peut toujours abaisser une normale au moins sur une surface donnée (cette normale indiquant la plus courte distance du point à la surface), concluons premièrement que, quelle que soit la fornie du corps flottant, il peut toujours être placé dans une position d'équilibre, et d'équilibre stable. Ce principe qui devient extrêmement simple dans notre théorie, n'avait, ce nous semble, pas encore été démontré.

Limitons d'abord nos recherches, en plaçant dans le corps flottant un axe, dont la direction soit fixe, mais d'ailleurs quelconque, horisontale ou non; et n'envisageons que les diverses positions d'équilibre qui peuvent exister d'après cette hypothèse.

Au lieu de la surface entière des centres de carène, nous n'avons plus à considérer qu'une ligne, lieu des centres de carène qui peuvent convenir à l'axe fixe. Or, cette ligne étant une courbe fermée, nous faisons voir que le nombre de ses normales qui passent par le centre de gravité est pair, et que ces normales sont alternativement des maxima et des minima.

Donc le nombre des positions d'équilibre est pair, et l'équilibre est alternativement stable et non stable, lorsqu'on tourne régulièrement autour de l'axe fixe. De célèbres géomètres ont déja dé– montré ce principe en supposant cet axe horisontal. (Voyez la Mécanique de M. Poisson.)

Nous considérons en particulier un cas remarquable. C'est celui ou quelques normales ne peuvent être regardées, ni conime des maxima, ni comme des minima. Ce cas arrive lorsque le centre de courbure de la ligne, lieu des centres de carène, se confond avec le centre de gravité du corps flottant. Nous faisons voir que, dans ce cas, pour que les théorêmes précédens puissent avoir lieu, il faut et l'on peut regarder chacune de ces positions particulières, comme la réunion de deux états d'équilibre, l'un stable et l'autre non stable.

Mais ce qui est le plus remarquable, c'est qu'en supprimant par la pensée ces positions d'équilibre mixte, les autres positions d'équilibre sont encore alternativement stables ou non stables, comme si les premières n'existaient absolument pa.

Passant enfin au cas général, nous prouvons que quand un corps fini quelconque flotte sur un fluide, sans être retenu par

aucun axe fixe, premièrement, il a au moins deux positions d'équilibre, l'une dont la stabilité est absolue, l'autre dont l'insta bilité est pareillement absolue,

Secondement, que le nombre total des positions d'équilibre stable est toujours égal au nombre des positions d'équilibre non stable.

こ

Telles sont les principales propriétés exposées dans ce premier Mémoire.

Le second présentera leur application aux surfaces du second degré en général; et, comme un corollaire, la démonstration des théorêmes exposés dans le beau livre d'Archimède, De insidentibus in humido tous ces théorêmes seront ramenés à un seul et

même principe.

Enfin, un troisième Mémoire sera consacré spécialement à la stabilité des vaisseaux, et présentera les divers principes qu'on peut en déduire relativement à la théorie des constructions navales. C'est alors que nous trouverons l'occasion de rendre hommage aux belles recherches d'Euler et de Bouguer, qui contiennent à-peu-près tout. ce qu'on sait encore à ce sujet. C. D.

Extrait de l'ouvrage de M. DE PRONY, publié en 1804, sur la théorie des eaux courantes, 1 vol. in-4o. de 130 pages, 5 tableaux d'expériences, et 2 pl.; par M. HACHETTE.

PRINCIPAUX RÉSULTATS de l'expérience, qui peuvent fournir les données nécessaires, pour asseoir les bases d'une théorie du mouvement des fluides incompressibles et pesans.

Premier résultat. Un fluide.comme l'eau, qui s'écoule par un tuyau ou par un canal, d'une longueur suffisante pour qu'il puisse y établir son régime, éprouve des résistances dues à des forces rétardatrices de même ordre que la force accélératrice de la pesanteur; d'où il suit que ces forces doivent non-seulement diminuer l'effet de la pesanteur d'une quantité finie, mais encor l'anéantir et réduire le mouvement à l'uniformité.

Second résultat. Les résistances qui modifient l'effet de la pesanteur, sont, dans une section transversale quelconque d'un liquide en mouvement, indépendantes des pressions des molécules comprises dans cette section. (Expériences de Dubuat, Dobenheimi et Benezech.)

Troisième résultat. Dans une section transversale quelconque, les diverses molécules ont perpendiculairement à cette section, ou parallèlement à la directrice, des vitesses différentes. Il y a un point de cette section, ou se trouve le maximum de vitesse. Dans un tuyau cylindrique, ce point est au centre de la section transversale circulaire. Dans un canal découvert, il est en général au dessous de la surface, et si dans le plan de la section, on imagine une ligne droite menée de ce point à un point quelconque du 'perimètre de cette section, les vitesses des points de cette ligne diminuent progressivement.

Quatrième résultat. La diversité des matières avec lesquelles on construit le canal ou le tuyau, ne fait pas varier sensiblement la résistance du liquide en mouvement, qui provient de l'action attractive des parois.

Cinquième résultat. Les molécules d'eau adhèrent les unes aux autres; ce qui constitue ce qu'en physique on appelle la cohésion où la viscosité.

Historique.

Les premières déterminations dignes d'attention sur le mouvement de l'eau dans les canaux, en tenant compte des résistances, sont de M. Demery, qui travaillait avec Perronet en 1775, au projet du canal de l'Yvette.

En 1779, parut l'ouvrage de M. Dubuat (les Principes d'hydraulique); ce célèbre ingénieur en a publié une seconde édition en 1789, avec des augmentations considérables.

En 1800, M. Coulomb fit un Mémoire sur des expériences destinées à déterminer la cohérence des liquides, et les lois de leurs résistances dans les mouvemens très-lents. L'auteur satisfait aux phénomènes, en égalant la résistance à une fonction entière et rationnelle de la vitesse, composée de deux termes, l'un proportionnel à la vitesse simple, et l'autre au carré de cette vitesse. M. Girard a le premier appliqué la loi de M. Coulomb aux cas des vitesses que l'eau prend en coulant dans des lits naturels et factices; mais il a donné le même coefficient à la première et à la seconde puissance de la vitesse ; et par cette raison, ses formules n'ont pas toute la généralité desirable.

M. de Prony, après avoir recueilli les meilleures observations faites sur l'écoulement des liquides, s'est proposé de trouver des formules d'interpolation, qui fussent d'accord avec l'expérience. Il a d'abord résolu par deux méthodes, l'une graphique et l'autre analytique, le problême suivant:

Probléme. Plusieurs résultats d'observations sont susceptibles d'être liés entre eux par une loi; en faisant à ces résultats de petites

corrections, l'équation qui exprime cette loi, peut se mettre sous la forme:

2=a+bx,

Z et X étant des fonctions d'une ou de plusieurs variables, dont on a un certain nombre de valeurs observées immédiatement, ou calculées d'après les observations; il s'agit d'assigner aux constantes inconnues a et ß, des valeurs telles que les phénomènes soient représentés le mieux possible, par l'équation précédente. La solution de ce problême s'applique à l'équation de cette forme:

u étant la vitesse moyenne de l'eau dans un tuyau, a et b des constantes à déterminer d'après les expériences, et L une fonction donnée par la théorie, composée des quantités qui représentent le diamètre du tuyau, la pente, les charges d'eau sur l'une et l'autre extrémité.

Les constantes a et b ont été déterminées, de manière que l'équation (E) fùt satisfaite par 51 expériences sur des tuyaux, dont les diamètres variaient depuis 3 jusqu'à 50 centimètres, et les longueurs depuis 3 mètres jusqu'à 2300 mètres. Les vitesses ob→ servées et calculées par cette équation, ne différaient entre elles que des fractions Ou , en plus ou en moins.

I

*25

1

30

La vitesse moyenne est toujours connue dans les expériences sur les tuyaux, par la comparaison du volume d'eau écoulé en un tems déterminé avec la section transversale; il n'en est pas de même des expériences sur les canaux découverts, ou la vitesse moyenne se déduit ordinairement de la vîtesse à la surface. M. Prony a représenté ces vitesses par les lettres u et v, et il a supposé qu'elles étaient liées entre elles par l'équation:

a et b étant des constantes qui doivent satisfaire aux observations. Il a regardé l'expression a'u' + b'u' comme une fonction donnée par la théorie entre la longueur du canal, la pente, la section transversale et le périmètre de cette, section; il s'est servi des expériences connues , ́déterminer avec précision les conspour

tantes a et b'.

Les formules suivantes sont le résultat du travail de M. Prony.

FORMULE S

pour le mouvement des eaux dans les canaux découverts rectilignes.

Quantités données.

λ longueur du canal; différence de niveau entre les deux sections extrêmes;

R=

?

pente du canal par mètre ; a sa 'section transversale ; x son périmètre ;

rapport de l'aire de la section transversale à son périmètre ;

U la vitesse moyenne; la vitesse à la surface;

Qle volume d'eau qui passe par la section pendant chaque unité de tems.

Formules.

a (1) U=0,175 +0,03 + 3688 IR,

U=0,07 + √ 0,005+ 3233 IR,
0,82 V,

a

(2)

U

(A)

a (3)

U=

a (4) U=/ V. (Celle-ci qui est la plus simple,

5

est suffisante pour l'usage ordinaire. )

Q= Uw,

I w

(1)

(2)

aU+b U2 =—=IR; a=0,0000444499; b=0,000309314. (3)

Les équations (1), (2), (3) renferment les six quantités I, w, x, Vet Q; trois de ces quantités étant données, on déterminera les trois autres.

Ú,

La formule a (2) satisfait à trente-une expériences très-soignées, dont vingt trois ont été faites par M. Dubuat.

La formule (3) satisfait à dix expériences de Dubuat et deux de Chezy.