FORMULES

pour le mouvement des eaux dans les tuyaux cylindriques.

a longueur du tuyau ;

D son diamètre ;

Données.

Z différence de niveau entre la surface de l'eau dans le réservoir supérieur, et celle de l'eau dans le bassin inférieur, on charge

de l'eau sur l'orifice inférieur ;

U la vitesse moyenne;

Q la dépense d'eau dans l'unité de tems.

(B) U=

Formules.

Ꮴ .

0,0248829,+0,000619159 +717,857

DZ

lorsque la vitesse de l'eau ne sera pas très-petite, on pourra substituer à cette formule (B), celle-ci (4):

U=26,79

V

ᎠᏃ

(4)

formule unique comprenant le systême de formules (4) pag. 227, et la formule (B),

(C) U=— 0,0469734 +V0,0022065 + (3041,47) G,

formule dans laquelle G représente la quantité RI pour les canaux

1 ᎠᏃ

pour les tuyaux cylindriques.

( x = 3,1416),

«' = 0,000088268, 6′ = 0,0022583.

(5)

(6)

Au moyen des trois équations (4), (5) et (6) entre les cinq quantités A, D, Z, U et Q, deux étant données, on déterminera les trois autres.

La formule (B) satisfait à 51 expériences, la plupart faites par MM. Bossut et Dubuat, sur des conduites qui avaient depuis 3 jusqu'à 50 centimètres de diamètre, et depuis 3 mètres jusqu'à 2300 mètres de longueur.

Observations relatives aux formules de M. de Prony.

La formule (4) pag. 228, fait voir que la vitesse suit sensiblement la raison directe composée des racines carrées du diamètre et de la charge d'eau, et inversé de la racine de la longueur du tuyau.

On a supposé que les sections horisontales, tant du réservoir de prise d'eau que du bassin où cette eau va se rendre, sont tellement grandes par rapport à la section transversale du tuyau, que les tranches horisontales du fluide dans ce réservoir et ce bassin, peuvent être considérées comme immobiles, ou comme ayant une vitesse insensible par rapport à celle de l'eau dans ce tuyau.

Les formulės relatives aux longs tuyaux, ne s'appliquent pas au calcul de l'écoulement par un orifice pratiqué dans une mince paroi, ou par un petit agutage.

Nous ferons connaître à la fin de cet extrait, un travail de M. de Prony, sur l'écoulement des fluides contenus dans un vase, des orifices horisontaux.

par

Problême relatif au mouvement de l'eau dans les tuyaux de conduite cylindriques.

Un réservoir supérieur de distribution est alimenté par un courant, de manière à pouvoir fournir, sans que sa profondeur dimi nue, une quantité totale d'eau par jour, qu'il s'agit de répartir à des fontaines, ou à des bassins inférieurs, par des bassins inférieurs, par le moyen de tuyaux de conduite, dans des rapports donnés qu'on suppose être ceux des nombres no, n", n""", etc.

mmant Q la quantité totale d'eau, et Qʻ, Q", Q"", les quand'eau respectives qui arriveront aux fontaines ou aux bassins, et s'assujétissant à la condition précédente, on aura d'abord :

D', D", D, etc. étant les diamètres respectifs de ces tuyaux, et

a

J', J", J, etc. les valeurs de correspondantes à ces diamètres,

on aura pour déterminer les diamètres, autant d'équations semblables à l'équation (6) page 228, qu'il y a de diamètres :

J'D'5 a'Q'D' - B'Q'2 = 0,.
ß^

J" Dl5 — a'Q"D"2 — 82 Q"2 = 0 ;.

etc.

Probleme relatif à l'élévation des eaux dans des tuyaux de conduite, au moyen de pistons.

Les machines hydrauliques destinées a élever l'eau, opèrent le plus souvent cette élévation, sur-tout lorsque la hauteur est considérable, en refoulant le fluide dans des tuyaux de conduite. L'effort auquel ce moteur doit continuellement faire équilibre, se compose, 1o. du poids d'une colonne d'eau, dont la base est ordinairement celle d'un piston, et dont la hauteur est la différence de niveau entre le réservoir inférieur et le bassin supérieur; 2o. de plusieurs résistances provenant de l'inertie des masses qui'ont un mouvement alternatif, et des frottemens des pistons, axes, tourillons, etc.; 3o. enfin de la résistance au mouvement de l'eau qui a lieu dans le tuyau.

On demande qu'elle sera la pression sur la base du piston, provenant tant du poids que du mouvement du fluide? La valeur de cette pression est:

Dest le diamètre du tuyau ; Qla dépense dans l'unité de tems; est la hauteur à laquelle.l'eau est élevée, et la densité de l'eau est prise pour unité.

Quatre tableaux terminent l'ouvrage de M. de Prony. Ils contiennent les résultats des meilleurs expériences faites sur le mouvement des liquides, et la comparaison, tant des résultats de l'observation que de ceux qu'on obtient par les formules de MM. Dubuat, Girard et Prony. On conclut de cette comparaison, que les formules de M. de Prony sont celles qui s'accordent le plus avec l'expérience, et que dans l'état actuel de la science, elles suppléent autant que possible, au défaut d'une théorie complette.

M. de Prony avait déja publié en 1802, un Mémoire sur le jaugeage des eaux courantes. Il indique dans ce Mémoire deux moyens pour mesurer les quantités d'eau qui s'écoulent par un orifice horisontal ou vertical. De ces deux moyens, l'un très-simple et très-économique se réduit à exécuter ce qui est prescrit par la règle suivante :

« Choisissez une partie du lit du ruisseau, dont on puisse prendre «< commodénient plusieurs profils en travers, la distance ou lon¬ «gueur comprise entre les deux sections extrêmes étant 100,200, etc,

« mètres, autant que les localités le permettront; établissez au << point le plus bas de cette longueur un barrage avec un pertuis,

et

et au point le plus haut un batardeau avec une vanne disposée « de manière qu'on puisse la fermer instantanément. Cette vanne « étant maintenue à une ouverture fixe, demeurera levée jusqu'à « ce que l'eau soit au même niveau et dans le lit du ruisseau, « dans le réservoir compris entre le batardeau et le barrage du << pertuis qu'on suppose fermé; ce dont on s'assurera au moyen de <<< deux flotteurs (*), communiquant l'un avec le lit du ruisseau <<< et l'autre avec le réservoir. Lorsque cette condition sera rem« plie, on fermera instantanément la vanne, et l'on ouvrira le «pertuis. L'eau du réservoir s'écoulera, et l'on observera les abais« semens successifs du niveau de l'eau dans ce réservoir, qui << correspondent à de très-petits intervalles de tems, par exemple, « des secondes. Connaissant d'ailleurs par les profils du lit du « ruisseau, les volumes des tranches horisontales du réservoir d'une « petite épaisseur, par exemple, d'un centimètre, on calculera les formules d'interpolation connues, l'écoulement qui cor« respond au niveau constant de l'eau dans le ruisseau. »

« par

Observations.

Le niveau de l'eau dans la plupart des ruisseaux, varie suivant les saisons et suivant les années; ce n'est donc que par des expériences répétées à diverses époques, qu'on peut obtenir une mesure moyenne des eaux courantes d'une rivière ou d'un ruisseau.

La distance que M. de Prony conseille de mettre entre la vanne et le pertuis, doit être la plus grande possible, afin de diminuer l'influence des mouvemens intérieurs de l'eau du réservoir sur l'écoulement par le pertuis.

On épargnerait le travail qu'exige la mesure des profils en travers du lit de la rivière, en établissant, ainsi que M. de Prony l'a proposé, sur la portion du lit qui sert de réservoir, deux bordages parallèles, composés de planches posées horisontalement et de champ, et fixées par des clous sur des piquets. Cette disposition aurait pour objet de donner une base constante aux différens prismes d'eau écoulés, qui correspondent aux différens tems de l'écoulement. Les bordages auraient environ 4 à 5 décimètres de hauteur, a compter de leur arěte supérieure qui serait au niveau des eaux de la rivière.

(*) Un tube recourbé communique par une extrémité avec l'eau dont il s'agit de mesurer le niveau; il se prolonge sous terre horisontalement, et se releve verticalement au-dessus du sol. Cette branche verticale reçoit un flotteur qui porte une tige, dont l'extrémité répond aux divisions d'une échelle tracée sur une règle verticale.

Tandis que le réservoir se vide par le pertuis, il ne doit recevoir aucune partie des eaux de la rivière ou du ruisseau en amont du batardeau; il est donc nécessaire que le lit de la rivière puisse contenir les eaux retenues par le batardeau, et dans le cas confraire, il faudra pratiquer des rigoles, pour conduire les eaux de l'amont du batardeau à l'aval du pertuis.

Si dans les expériences sur les écoulemens, les tems correspondans aux changemens de niveau, sont très-rapprochés, on pourra considérer les différences constantes du tems, comme les différentielles constantes d'une abscisse de courbe, et les différences variables des hauteurs verticales du niveau de l'eau, comme les différentielles de l'ordonnée qui correspond à l'abscisse. Alors la question sera ramenée à trouver la tangente à la courbe, qui correspond à l'origine des coordonnées; l'abscisse de cette tangente serà le tems de l'écoulement du niveau constant du lit de la rivière, et l'ordonnée correspondante à cette abscisse représentera la quantité d'eau écoulée. M. de Prony a résolu cette question dans ses feuilles d'analyse Journal de l'Ecole Polytechnique, 3. cahier ), et a donné la formule d'interpolation qui s'applique au cas particulier des écoulemens dans des tems très-rapprochés. Si cette formule ne satisfait pas aux expériences, on pourra y substituer la méthode exposée dans son Mémoire sur le Jaujeage des eaux courantes.

Sur l'écoulement des liquides par des orifices horisontaux. M. de Prony a fait imprimer en l'an 5 (1796), une solution du problême de l'écoulement des fluides incompressibles et pesans par des orifices horisontaux, dans l'hypothèse du parallélisme des tranches. Après avoir observé que la solution de d'Alembert, donnée en 1744, dans son Traité des fluides, est incomplette, parce que la considération de la pression des tranches fluides y est omise, il a soumis cette question à un nouveau calcul entre les quantités désignées par le tableau ci-joint. ( Voyez la page suivante.) La notation posée, M. de Prony parvient aux deux équations

suivantes :

d'où l'on pourrait déduire une troisième équation qui ne contien

ni u2=2gk, et qui donnerait pour un point dés