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terminé de la masse fluide, la relation entre la pression p et la vitesse V2g, qui a lieu à l'orifice en même tems que cette pression. Au moyen de ces équations (dit M. de Prony), on déterminera sans difficulté le maximum de vitesse. Dans les circonstances les plus ordinaires, la vitesse acquiert une valeur fort approchante de son maximum, au bout d'un tems très-court, et qui s'abrège d'autant plus que l'orifice est plus petit. (Voyez la Correspondance, tome Ier., pag. 289; et la Mécanique de M. Poisson, tome II, page 444.)

ÉCOULEMENT DES LIQUIDES PAR DES ORIFICES Lettres qui représentent

HORISONTAUX.

DÉSIGNATION DES QUANTITÉS.

Aire de la surface supérieure du fluide.

Aire d'une section horisontale quelconque de la masse fluide.
Aire de l'orifice inférieur par où le fluide s'écoule.

Pression rapportée à l'unité de surface

Distance verticale entre les sections
Distance verticale entre les sections
Vitesse de la tranche infiniment mince

et horisontale correspondante

sur l'aire
sur l'aire k..

..

et ...
et k.

à la section k..

à l'orifice W...

Hauteur due à la vitesse u du fluide à l'orifice.

Hauteur d'un prisme de fluide ayant l'orifice pour base, et un volume égal à celui du fluide écoulé par cet orifice, pendant le tems t.

2

k2

les quantités.

Le tems écoulé depuis le commencement du mouvement..

Nota. La caractéristique ♪ indique les variations qui ne dépendent pas du tems, mais seulement de la distance de deux sections horisontales infiniment voisines; la caractéristique d'indique les variations qui dépendent du mouvement d'un tranché élémentaire ou de son déplacement pendant l'instant dt.

Extrait d'un Mémoire, ayant pour titre : Théorie plus complète des machines qui sont mises en mouvement par la réaction de l'eau ; par L. Euler, académie de Berlin, Mémoires de l'année 1754; par M. HACHette.

Description d'une machine hydraulique, fig. 7, pl. 2.

L'axe autour duquel la machine doit tourner uniformément, est vertical. Cette machine est composée d'un tambour creux de forme conique, et d'une enveloppe extérieure de même forme, qui tourne avec le tambour. Au-dessus de cet appareil, est un réservoir fixe, d'où l'eau s'écoule dans l'espace compris entre le tambour et son enveloppe extérieure. Cet espace est ouvert par le haut, et fermé dans la partie inférieure par un disque, autour duquel sont placés plusieurs petits tuyaux ouverts par les deux bouts. Ces tuyaux sont coudés suivant les tangentes a un même cercle. La base inférieure du tambour mobile est d'un plus grand diamètre que la base supérieure. Le réservoir fixe a aussi la forme d'un tambour. Au fond de ce réservoir se trouvent plusieurs canaux séparés par de minces diaphragmes, qui servent à diriger l'eau sous l'inclinaison requise. Si le réservoir fournit autant d'eau qu'il en sort par les embouchures des tuyaux, les tuyaux sont constamment pleins d'eau, et le mouvement de rotation de la machine devient bientôt uniforme.

Euler conclut de la théorie de cette machine que, pour obtenir le plus grand effet possible, la vitesse de l'eau par les embouchures des tuyaux doit être précisément égale à la vitesse même de ces embouchures; auquel cas l'eau en s'échappant tombe verticalement.

Rapport fait à la Classe des sciences Physique et Mathématiques de l'Institut, sur un ouvrage imprimé de M. Hachette, ayant pour titre : Supplément à la Géométrie descriptive de M. Monge. (Séance du lundi 23 mars 1812.)

(M. CARNOT, Commissaire.)

LA Classe m'a chargé de lui rendre compte d'un ouvrage imprimé de M. Hachette, ayant pour titre : Supplément à la Géométrie descriptive.

Le but de la Géométrie descriptive est de représenter sur des

surfaces planes, qui n'ont que deux dimensions, les objets qui en ont trois; et réciproquement de retrouver la forme de ces objets à trois dimensions, d'après les dessins qui les représentent sur ces surfaces planes.

Le moyen qu'on employe pour y parvenir, consiste à faire sur ces plans les projections des corps proposés.

La science des projections en général se divise en deux branches, dont l'une est l'exécution raisonnée, mais purement graphique de ces projections, et l'autre est leur théorie purement analytique.

Quoique ces deux branches de la même science ne soient, proprement parler, que deux méthodes différentes de traiter les mêmes questions, leurs procédés respectifs ont entre eux si peu d'analogie apparente, que l'identité constante de leurs résultats forme des rapprochemiens continuels, dont on ne peut s'empêcher d'être frappé. On admire la correspondance intime de deux sciences qui vont toujours d'un pas égal; dont l'une n'employant jamais le calcul, semble être entièrement du domaine de l'imagination, et dont l'autre ne tirant du fond de la question que les données strictement nécessaires pour l'expression algébrique des conditions proposées, laisse ensuite à l'analyse la plus abstraite, la plus dégagée de toute autre considération, le soin de dénouer successivement toutes les difficultés, et de ramener enfin aux résultats les plus élémentaires que puisse comporter la naturé de la question.

Cet accord imperturbable de ce que l'analyse a de plus transcendant, avec ce que la synthèse offre de plus simple et cependant. de plus subtil, donne la satisfaction de voir deux théories si disparates au premier aspect, se confirmer cependant l'une par l'autre, s'expliquer, se généraliser réciproquement; l'une en un mot, former des tableaux qui parlent aux yeux, tandis que l'autre s'occupe à les décrire aussi fidèlement qu'exactement dans la langue qui lui est propre.

Plusieurs auteurs ont traité séparement les deux branches de la science des projections sans s'apercevoir, ou du moins sans faire remarquer leur liaison. D'autres au contraire les ont traitées conjointement, sans chercher à les isoler l'une de l'autre : Clairaut par exemple, donna, dès 1741, un Traité particulier des courbes à double courbure, qui se rapporte à la branche analytique; et longtems auparavant Philibert de Lorme, Mathurin Jousse, le Père Deran, Larue avaient donné l'art du trait appliqué à la coupe des pierres et à la charpente, lequel se rapporte à la partie purement graphique des projections. Enfin M. Frezier, ingénieur en chef à Landau, avait traité conjointement de l'une et de l'autre, sous le nom de stéréotomie, dans un ouvrage savant et rempli d'applications curieuses et utiles.

Mais les méthodes de pure théorie n'étaient d'aucun usage dans les arts; les méthodes de simple pratique imaginées par des hommes industrieux, étaient reçues aveuglement et comme traditions par leurs successeurs, et les méthodes mixtes n'étaient accessibles qu'aux personnes plus qu'initiées dans la science du calcul. D'ailleurs toutes ces méthodes avaient l'inconvénient d'être trop restreintes, et applicables seulement à des cas particuliers.

M. Monge est, comme on le sait, celui qui a fait prendre une face nouvelle à la science des projections, considérée dans toute sa généralité. Il en a soigneusement séparé les branches, en même tems qu'il en a fait ressortir l'intimité et les rapports: les discussions analytiques l'ont conduit à de profondes spéculations sur les équations aux différences partielles. Quant à ce qui regarde les projections purement graphiques, le but et le résultat des travaux de M. Monge a été de ramener cette science à des principes géné raux, et à des règles uniformes, à une pratique tout à-la-fois facile et rigoureuse; d'en faire un corps de doctrine utile aux artistes qui ne connaîtraient que les élémens de la géométrie ordinaire, et d'en étendre enfin les applications à une foule d'objets qui paraissent n'avoir entre eux que des rapports très-éloignés.

Personne n'ignore non plus les services qu'a rendus à cette science usuelle M. Lacroix, l'un des premiers qui se soient occupés d'en développer les bases et de les mettre à la portée de tous les lecteurs, par la clarté et la précision de l'écrit ( Complément des élémens de Géométrie, 1 vol. in-8°.) qu'il a publié sur cette

matière.

Diverses circonstances ayant empêché que M. Monge ne complétât les travaux qu'il avait entrepris sur ce sujet et sur ses applications, M. Hachette s'est proposé de remplir les lacunes. Déja il a publié plusieurs ouvrages qui ont cette destination; tels que l'Essai Sur la composition des machines, qu'il a composé en commun avec MM. Lanz et Bétancourt, et le Traité des machines, qu'il présenta l'année dernière à la classe. Aujourd'hui il lui offre, sous le titre de Supplément à la géométrie descriptive, une série de questions particulières qu'il a classées pour être rapportées respectivement à chacun des cinq paragraphes qui composent la Géométrie descriptive de M. Monge, et c'est de ce supplément que la classe m'a chargé de lui rendre compte.

Le premier paragraphe de M. Hachette explique la génération des surfaces courbes, et ce qu'on doit entendre par les surfaces dévelop pables, leur arête de rembroussement, leur séparation en deux nappes par cette arête, leur axe de développement qui répond à l'axe des abscisses dans les courbes planes. Il y donne des notions générales. sur les surfaces de révolution, les surfaces enveloppes, et particu

lièrement les surfaces du second degré qu'il réduit à cinq; savoir l'ellipsoide, l'hyperboloide à une nappe, l'hyperboloide à deux nappes, le paraboloide elliptique, et le paraboloïde hyperbolique. M. Hachette démontre diverses propositions nouvelles relatives à ces surfaces.

Le second paragraphe contient quelques développemens relatifs au paragraphe correspondant de la géométrie descriptive de M. Monge. Le troisième traite du contact des surfaces courbes. On y fait voir que le plan tangent à un point quelconque contient nécessairement les tangentes de toutes les sections planes, ou à double courbure qui passent par ce point. On y résout d'une manière nouvelle ce problême utile par son application dans les arts graphiques : trouyer la courbe de contact d'une surface de révolution, ou d'une surface engendrée par la ligne droite avec une surface conique qui a son sommet en un point donné de l'espace. On y traite en particulier du contact des sphères, et on y résout par des considérations purement géométriques les problêmes relatifs à cet objet; problêmes que Fermat avait autrefois traités d'une manière très-élégante el très-simple, à la manière des anciens.

Le quatrième paragraphe traite des intersections des surfaces. M. Hachette applique particulièrement sa méthode de discussion aux surfaces du second degré et aux courbes à double courbure qui résultent de l'intersection des cônes et cylindres du second degré.

"

Le paragraphe cinq est relatif aux courbes à double courbure décrites par un point qui se meut suivant une loi donnéc. M. Hachette a pris pour exemples de ces courbes l'hélice décrite sur un cylindre et l'épicycloïde sphérique. Il avait déja fait des applications trèsinteressantes de ces considérations, dans son Traité des machines, pour expliquer la théorie de la vis d'Archimède, et des engrenages cylindriques et coniques.

M. Hachette termine son ouvrage par la solution graphique de tous les problêmes relatifs à la trigonométrie sphérique, et par l'explication de quelques épures relatives à des problêmes énoncés dans la géométrie de M. Monge. L'exactitude, ainsi que la netteté du dessin, y est remarquable, et c'est une chose précieuse dans cette géometrie.

Le travail de M. Hachette m'a paru digne de figurer à la suite de l'ouvrage dont il est le supplément; et les savans, ainsi que les artistes, accueilleront sûrement avec piaisir la promesse que fait l'auteur de compléter le Cours entier de géométrie descriptive par un second supplément, qui contiendra la stéréotomie, la perspective et les ombres.