célèbre mathématicien et astronome indou, qui vivait vers le commencement du 13° siècle de l'ère chrétienne. Le dernier de ces deux traités, relatif à l'Algèbre et à ses applications, a été traduit en langue persane par Utta Ulla Rusheedee, en 1634, probablement à Agra ou à Dehli. Le Leelawuttée a été traduit dans la même langue, en 1587, par le célèbre Fyzee. Notice de M. STRACHEY. C'est un fait bien constaté, dit M. Strachey, que les Perses ont appris leurs sciences des Arabes, et que ceux-ci doivent beaucoup de leurs connaissances mathématiques aux Grecs; mais il n'en est pas moins certain que l'arithmétique des Arabes leur est venue des Indiens, et il devient très-probable que leur algèbre est venue de la même source; le tems de l'introduction de cette science parmi les Arabes, et les autres circonstances qui accompagnèrent cette introduction, sont entièrement inconnus. Quoi qu'il en soit, il paraît que l'Astronomie cultivée sous le règne de al Mamoon, est la plus ancienne des sciences mathematiques indiennes introduites chez les Arabes. Dans des tems plus récens, plusieurs Mahométans se sont occupés de livres indous; on en trouve une Notice dans l'Ayeen Ackbery, et dans l'ouvrage d'Herbelot. Abul Fuzl contient une liste d'ouvrages sanscrits, traduits en langue persane du tems d'Akbar, parmi lesquels le Leelawuttée est le seul qui traite des Mathématiques. Si l'on compare l'Algèbre des Grecs, des Arabes et des Européens d'aujourd'hui, avec les traductions persanes du Leelawuttée et du Beej Gunnit, il en résulte, avec beaucoup de probabilité, que l'Algèbre des Arabes diffère entièrement de l'Algèbre de Diophante, que l'un n'est pas déduit de l'autre ; que les Arabes n'ont pas poussé bien loin au-delà de ce qu'ils ont pris des Indiens; que le Leelawuttée et le Beej Gunnit renferment les principes nécessaires pour résoudre toutes les questions de l'Algèbre de Diophante et de l'Algèbre des Arabes; que dans ces traductions se trouvent des questions résolues d'après des principes auxquels l'Algèbre de Diophante et l'Algèbre des Arabes ne sauraient suppléer; enfin, que les Indiens étaient plus avancés dans toutes les parties de cette science, que ne le furent les Européens avec tous les progrès qu'ils avaient fait faire à cette science jusque vers le milieu du 18e siècle. Sur les séries; extraits du Leelawuttée. La traduction du Leelawuttée renferme un chapitre sur les combinaisons, et un autre sur les progressions. Nous allons en rapporter quelques exemples. Combinaisons. « Trouver le nombre de mélanges dont différentes choses sont >> susceptibles? » Ecrivez sur une même ligne la suite des nombres naturels » en commençant par le nombre de choses, et en finissant par "l'unité. Au-dessous écrivez la même suite dans un ordre inverse, » de manière que le nombre 1 soit au commencement; divisez le » premier terme de la première suite par le nombre correspon»dant inférieur. Le quotient est le nombre de combinaisons des » choses prises une à une. Multipliez ce quotient par le deuxième "terme de la ligne supérieure, et divisez le produit par le deuxième terme correspondant inférieur. Le quotient est le nombre des » combinaisons des choses prises deux à deux; on multiplie derechef ce quotient par le troisième terme de la ligne supérieure, » et on divise le produit par le terme correspondant de la ligne » inférieure, et ainsi de suite; si l'on fait ensuite la somme de » tous les quotiens qu'on a obtenus, on aura le nombre total de " combinaisons dont ces choses sont susceptibles. » « Exemple. Les six saveurs appelées en indien Khut rus " sont, 1° le sucré, 2o le salé, 3° l'aigre, 4° le doux, 5° l'amer, "6° l'acre. Je veux connaître le nombre de mélanges qu'on peut » produire en combinant ces saveurs entr'elles de toutes les manières possibles. Ecrivez ainsi : » la somme de tous les quotiens est 63; ainsi le nombre total des " combinaisons cherchées est 63. » Toutes les règles de l'algèbre sont exprimées dans cet ouvrage de la même manière, en phrases très-longues, qui dans des cas compliqués, induisent aisément en erreur, et rendent ces règles difficiles à suivre; tandis qu'on comprend ces règles, pour ainsi dire, à la seule inspection, en se servant des notations en usage parmi nous. PROGRESSIONS. Des Progressions croissantes. «Elles sont de plusieurs espèces : 1°. la progression par 1, c'est» à-dire une progression dont chaque terme surpasse d'une unité »le précédent. Pour trouver la somme de cette progression il faut » ajouter au dernier terme, et multiplier ensuite par la moitié » de ce terme. Pour trouver ensuite la somme des termes pro» venant de l'addition continuelle des termes de la première pro»gression, ajoutez deux au nombre de termes, multipliez par » le dernier terme, et divisez par trois ; le quotient sera la somme » des termes de la seconde suite. » Ces règles se réduisent, comme on voit, à trouver la somme des nombres naturels et la somme des nombres triangulaires. On trouve ensuite dans la traduction persane, une règle pour la sommation des carrés et des cubes des nombres naturels. La somme des n premiers termes de la première série est égale à 2n+1 3 S et la somme des n termes de la deuxième série est S2, S étant la somme des n premiers termes de la progression naturelle. Nous avons exprimé ces règles par la notation usuelle, et nous ferons de même à l'égard des règles pour les progressions arithmétiques en général, qu'on trouve dans le même ouvrage, à la suite de celles que nous venons de donner. Ces règles sont renfermées dans ces équations a étant le premier terme, m le terme moyen, z le dernier terme, d la différence, S la somme. L'auteur indou a déduit la dernière de ces formules de la précédente, en résolvant une équation du deuxième degré assez compliquée, et dont la résolution suppose une grande habitude dans ces sortes d'opérations. Après ces règles sur la progression arithmétique, vient immédiatement une règle pour trouver la somme d'une progression géométrique (*). Elle ne diffère pas de la nôtre, et nous fait voir que les Indiens avaient des signes particuliers pour la multiplication et l'élévation des puissances. (*) Nous la supprimons parce que son énoncé est très-obscur dans la traduction anglaise. (Note du Traducteur français. ) Il n'est pas bien sûr qu'on ait connu en Europe, avant le seizième siècle, quelques-unes des règles contenues dans ces deux chapitres du Leelawuttée. Pelletarius, dans son Algèbre imprimée en 1558, donne une Table des carrés et des cubes des nombres naturels, et entr'autres propriétés de ces nombres, il fait remarquer que la somme des nombres cubiques, en partant de l'unité, est toujours un carré dont la racine est égale à la somme des racines de ce nombre. Cette propriété s'accorde avec la règle du Leelawuttée rapportée ci-dessus. Il ne paraît pas que les connaissances des Indiens sur les nombres figurés s'étendissent au-delà de ce que nous venons d'en citer. Sur la Mesure du Cercle et de la Sphère; extrait du Leelawuttée. Le Leelawuttée donne les règles suivantes pour trouver la mesure du cercle, et celle de la sphère. Pour trouver la longueur d'une circonférence de cercle, multipliez son diamètre par 3927 et divisez le produit par 1250, où bien, multipliez le diamètre par 22 et divisez le produit par 7. Nous voyons ici deux approximations; celle de 22 à 7 est la même que celle d'Archimède; l'autre approximation revient à celle de 1 à 3,1416, rapport du diamètre à la circonférence, plus exact que celui des Européens avant les travaux de Viete. Parmi d'autres règles de géométrie, nous rapporterons les suivantes exprimées à notre manière, dans lesquelles D désigne le diamètre, et C la circonférence aire du cercle, surface de la sphère DC solidité de la sphère, Cette dernière formule est vicieuse, apparemment par une faute d'impression. Nous l'avons rétablie par celle-ci qui doit être la véritable, Cette dernière évaluation diffère très peu de la nôtre qui est 0,523623. D désignant le diamètre, C la corde, le sinus verse de l'arc a, on a l'équation D — V ( D2 — C) V. Ce théorème est d'une ¦ ¦ . exactitude géométrique; l'auteur en déduit celui-ci2 √(DV-V2)=C. Mais les deux théorèmes qu'il donne ensuite ne sont que des approximations; ils sont renfermés dans ces deux équations partie de sa longueur La corde C est trop grande presque d' pour un arc de deux degrés, l'expression étant exacte jusqu'à la quatrième figure décimale inclusivement; et elle donne la corde trop grande de la soixante-sixième partie de sa longueur pour un arc de 30 degrés, l'expression n'étant exacte que jusqu'à la troisième figure décimale; mais on ne voit pas comment ils sont parvenus à cette formule (*). La seconde équation est (*) Note de M. Servois, professeur aux Écoles Royales Militaires d'Artillerie. sin a = a a { 1 – 13 2.3 + etc. } I 472 a2 + etc. } a étant un arc de la circonférence 27. Le sinus du même arc a en parties du rayon de la circonférence, c, sera En s'en tenant aux deux premiers termes du développement, on a une formule approximative d'autant plus exacte, que l'arc a sera plus petit, en faisant =x, π= = 3,14, Dans cette formule on peut altérer un tant soit peu le coefficient numérique, pourvu qu'on en laisse un à déterminer, par le condition que la formule soit exacte dans un cas particulier, pris parmi ceux où la formule commence à s'écarter sensiblement de la vérité : ainsi écrivons I- Ax (1 -2x) et supposant que la formule est vraie pour l'arc a = 30° ( 1ere division), alois |