Elle est tirée de la première, en résolvant l'équation du sex cond degré, Nous allons extraire du même ouvrage les expressions des longueurs des côtés des figures régulières inscrites dans les circonférences. Trois de ces nombres sont fautifs apparemment par une faute du copiste, on a corrigé ces nombres dans la colonne adjacente. c'est-à-dire dans l'hypothèse du diamètre = 2; lorsque le diamètre şera D, et la circonférence c, on aura cord. a = 4a D(ca) c'est la formule de l'indou. Fin de la Note de M. Servois. Sur les Équations radicales du second degré; extrait du Leelawuttée et Beij Gunnit. La résolution des équations radicales du second degré est présentée ainsi dans la traduction du Leelawuttée. « Lorsque le produit de la racine du nombre pensé, multiplié » par un nombre connu, est donné, et que la somme de ce pro» duit, ajoutée au nombre pensé, ou que la différence de ce pro» duit, retranchée du nombre pensé, est aussi donnée, il faut, » pour trouver ce nombre pensé, suivre cette règle : prenez la » moitié du multiplicateur de la racine, et élevez cette moitié au » carré; ajoutez à ce carré le second nombre donné ; extrayez la » racine carrée de cette somme; ajoutez ou retranchez la moitié du » multiplicateur de la racine, selon qu'il s'agit dans la question, » d'une soustraction ou d'une addition. Elevez le résultat au » carré, et ce carré est le nombre pensé. » Cette règle s'accorde parfaitement avec nos procédés. En effet, en mettant la question en équation, il vient, xa√x= b; d'où l'on tire, Lorsque le multiplicateur du nombre pensé est fractionnaire, on donne dans l'ouvrage la règle suivante pour débarrasser le nombre pensé de son multiplicateur. « Lorsque le nombre pensé est augmenté ou diminué de ce » même nombre pensé, multiplié par une fraction, il faut pro» céder ainsi. Augmentez ou diminuez la fraction de l'unité, di» visez le multiplicateur du nombre pensé et le second nombre >> donné respectivement par cette somme ou cette différence, et >> traitez le quotient comme il a été enseigné ci-dessus. » En effet, faisant usage de notre notation, on obtient l'équa ci-dessus, en remplaçant a et b par les quotiens La traduction du Beij Gunnit renferme les mêmes objets, mais ils sont traités d'une manière plus obscure. Voici un exemple de résolution de l'équation du second degré, ax2 + bx= C. << Multipliez tous les termes par 4a, il vient 4a2x2+4abx = 4ac; » ajoutez le carré de b aux deux nombres, on obtient ceci 4a2x2 + 4abx+ b2 = b2 + 4ac, Ce procédé par lequel on évite les fractions, est plus aisé que le nôtre en pareil cas. L'auteur s'exprime sur les deux valeurs qu'on obtient dans une équation du second degré, en ces termes; «Lorsque la chose se trouve d'un côté, les nombres étant » négatifs, et que les nombres de l'autre côté sont moindres que » les nombres négatifs du premier côté, il y a deux méthodes à » suivre la première consiste à égaler ces nombres entr'eux sans » les changer; la seconde consiste à rendre négatifs les nombres » du second côté, s'ils sont positifs, et à les rendre positifs s'ils » sont négatifs; formez ensuite l'équation, on obtiendra deux » valeurs, dont l'une satisfera probablement à la question. » Malgré l'obscurité de cet énoncé, on voit qu'il doit se rapporter à deux racines positives d'une certaine équation radicale du second degré. Les exemples que nous venons d'extraire du Lee lawuttée et du Beij Gunnit, nous apprennent que la résolution des équations du second degré était aussi avancée parmi les Indiens que parmi les Arabes, et même chez les Européens, avant le siècle de Cardan. Lucas de Borgo, dont l'ouvrage fut imprimé vers la fin du 15e siècle, fait usage des deux valeurs de l'inconnue, dans le cas seulement où ses valeurs sont toutes les deux positives, mais il n'a aucun égard aux racines négatives. Voici encore un autre exemple d'une équation radicale du second degré, résolue dans le Beija Gunnita. « Un essaim d'abeilles placé sur un arbre, la racine carrée » de la moitié du nombre d'abeilles s'envole, et ensuite les » du nombre d'abeilles; il en reste deux on demande com» bien il y avait, d'abeilles ? » Cette question qui, traitée à la manière ordinaire, en prenant x pour le nombre inconnu d'abeilles, mène à une équation assez compliquée, est résolue avec beaucoup d'adresse dans l'ouvrage indien. En effet, en prenant x pour l'inconnue cherchée, on est conduit à l'équation, x − {x − V = x2, ou bien x - Vx=2. L'auteur prend pour inconnue la quantité 2x2, qu'il suppose égale au nombre cherché d'abeilles, et obtient ainsi l'équation très-simple, 2x2 1,6 x2 x2, ou bien, x2 équation dont la solution est plus aisée. Des Problèmes indéterminés du second degré; extrait de Diophante et du Beej Gunnit, ou mieux, du Bija Ganita. La seizième question du sixième Livre de Diophante est énoncée en ces termes «Etant donné deux nombres et un nombre carré tel, qu'en > retranchant le premier de ces nombres du produit du nombre » carré, multiplié par le second nombre, le reste est encore un » carré. On demande à trouver un carré plus grand que le pre»mier qui remplisse les mêmes conditions. Soit, par exemple, » 3 et 11 les deux nombres donnés et 25 le carré donné; en » multipliant 3 par 25, on a 75 pour produit; si l'on en ôte 11, » qui est le second nombre, le reste 64 est le carré parfait; il » s'agit de trouver un carré plus grand que 25, qui jouisse de la » même propriété à l'égard des nombres 3 et 11; supposons que "N+5 est la racine du carré cherché, le carré de cette quan¬ » tité est No2 + 10 N+ 25; le triple de ce carré, diminué de 11, » laisse pour reste la quantité 3N2 + 30N+ 64, qui, d'après la » question, doit être un carré parfait; supposons la racine égale » à N-8; on tire de cette supposition, (en formant l'équation) » N=62, et N+562 + 5 = 67; 672 = 4489; ainsi 4489 » est le carré demandé. » Dans le Bija Ganita, ce même problème est aussi résolu mais par une méthode plus générale et plus scientifique, et à l'aide d'un autre problème qui est resté inconnu en Europe jusque vers le milieu du 17° siècle, et n'a été appliqué aux questions de ce genre, que vers le milieu du 18° siècle, par Euler. Lorsque l'équation indéterminée a cette forme, ax + b = y', le Bija Ganita indique ce moyen pour trouver de nouvelles valeurs. Soit ag2+6=h2 un cas particulier; cherchez deux nombres m et n qui satisfassent à l'équation an2 + 1 = m2; et posant {n}, les nombres x et y satisfont à l'équation proposée. ng On trouve dans le quatrième et le cinquième chapitre du Bija Ganita, des méthodes générales pour la résolution des équations indéterminées des deux premiers degrés, et qui diffèrent entièrement des méthodes dont Diophante s'est servi. Selon l'opinion de M. Strachey, qui paraît extrêmement probable, l'ouvrage indou abonde en théorèmes et en artifices très-ingénieux, qu'on chercherait vainement chez les Grecs. Tels sont, par exemple, l'emploi d'un nombre indéfini de quantités inconnues et de signes propres à les présenter, une bonne arithmétique des irrationnels une théorie complète des équations indéterminées du premier degré, et une connaissance assez étendue des équations indéterminées du second degré. La disposition et la méthode des deux ouvrages indou et grec, diffère autant que leurs contenus. Le Bija Ganita forme un corps régulier de doctrine. Il n'en est pas ainsi de l'ouvrage de l'analyste grec. Le premier présente un ensemble dont les parties sont bien liées et bien développées, abondant en règles dont le caractère de généralité dénote une science profonde; ces règles sont éclaircies par des exemples, et les solutions sont préparées avec art. Le dernier, quoique non entièrement dépourvu de méthode, donne peu de règles générales, et se distingue principalement par l'art et l'habileté de l'auteur, dans le choix des suppositions qu'il fait pour parvenir aux solutions de ses questions particulières. L'ordre systématique de l'ouvrage indou fait apprendre l'algèbre comme une science; tandis que l'ouvrage grec augmente la pénétration de l'esprit, par le grand nombre de solutions ingénieuses, de problèmes très-difficiles qu'il contient. Le Bija Ganita est la production d'un compilateur savant et laborieux; Diophante s'annonce comme un homme de génie qui écrit sur une science encore dans l'enfance.. A ces renseignemens, extraits principalement, comme il a été dit, de la notice imprimée de M. Strachey, je vais joindre d'autres particularités curieuses concernant les deux ouvrages indous, et que j'ai apprises récemment de M. Davis, baronnet, De plus, feu M. Reubou Burrow, a recueilli dans les Indes |