équation qui n'est pas facile à compléter. L'auteur ajoute d'abord aux deux membres le binome 400x+1, et il obtient la nouvelle équation x4 — 2x2+1=400x+10000; extrayant de part et d'autre la racine carrée, il vient x-1=V 400x+10000. x2 Comme le second membre n'est pas carré parfait, l'auteur revient sur ses pas et prend une autre voie. Il ajoute aux deux membres la quantité 4x2 + 400x + 1; il obtient ainsi l'équation x + 2x2 + 1 = 4x2 + 400x + 10000, dont les deux membres sont des carrés parfaits. Extrayant la racine carrée, il vient x2+1=2x+100;

d'où x2

•2x+1=100; extrayant de nouveau la racine car

rée, ona x-1=10;

d'où x=11.

Ce procédé a quelque ressemblance avec celui qui a été pratiqué depuis, sinon imité par Louis Ferrari. Quoi qu'il en soit, à l'exception de quelques cas particuliers, il ne paraît pas que les Indiens aient eu quelque méthode générale de résoudre les équations des troisième et quatrième degrés; car à la suite de l'exemple précédent l'auteur ajoute avec emphase : «La solu» tion de telles questions exige un jugement droit, assisté du " secours de Dieu. »

Les solutions de quelques problèmes d'analyse appliquée principalement aux triangles rectangles, qu'on trouve à la fin du premier Livre du Bija, font présumer que les Indiens connaissaient bien les propriétés de Géométrie contenues dans les Elémens d'Euclide. Quelques propositions de cet ouvrage sont citées sous des noms particuliers, et d'autres, selon M. Strachey, portent le quantième de la proposition et du livre d'Euclide; mais il est à croire que la dernière sorte de citation est une addition du traducteur ou du copiste. M. Strachey dit qu'il y a deux exemplaires où les Elémens sont cités sans être dénommés. On cite, par exemple, les quatrième et huitième propositions du deuxième Livre, sans dire de quel ouvrage. La qua→ trième est textuellement ainsi citée : « Par la quatrième figure du » deuxième livre. » Et la huitième, par ces mots : « Par cette » figure. » Et la figure pour la démonstration de cette proposition est en marge. La figure de la fiancée est une épithète qui sert à désigner le théorème de Pythagore. Dans un exemplaire on trouve ces mots : « Car la somme des côtés ( du triangle) est » toujours plus grande que l'hypothénuse pour la proposition » à l'âne. »

Parmi les problèmes d'analyse appliquée, on trouve celui-ci : « 15 et 20 étant les deux côtés d'un triangle rectangle, on de» mande à trouver l'hypothénuse? >>

L'auteur fait là-dessus cette observation. « Quoiqu'on sache par la figure de la fiancée, que l'hypothénuse est la racine carrée » de la somme des carrés des deux côtés, pour obtenir une solution » algébrique du problème, il faut procéder ainsi : supposons le » triangle divisé en deux autres par la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit; calculons le segment du triangle rec» tangle qui a 15 pour hypothénuse, et le segment du triangle rectangle qui a 20 pour hypothénuse; établissant ensuite l'équa» tion, on aura ce qu'il faut. »

Le langage un peu obscur de l'original se réduit à ceci.
Soit ABC un triangle rectangle en B;

AB 20,

et BD une perpendiculaire abaissée sur BC 15

(AC)2 = 625, d'où AC= √625 = 25.

Après ce problème, vient immédiatement le théorème suivant : «le carré de l'hypothénuse d'un triangle rectangle est égal à » deux fois le rectangle des côtés de l'angle droit, plus le carré » de la différence de ces côtés. Car en plaçant quatre triangles >> rectangles égaux, de manière que leurs hypothénuses forment » les côtés d'un carré; il y a au milieu de ce carré, un petit » carré dont le côté est égal à la différence des côtés de l'angle » droit ; et comme l'aire d'un triangle rectangle équivaut à la » moitié du rectangle de ces côtés, il s'ensuit que l'aire des quatre » triangles rectangles égaux, est équivalente au double du rec» tangle des côtés de l'angle droit, c'est-à-dire, à 600 dans » l'exemple précédent. A ce nombre, j'ajoute 25, qui est le petit » carré du milieu (car 5 est la différence des côtés 20 et 15), et la somme 625 est le grand carré construit sur l'hypothénuse, d'où » l'on tire la grandeur de cette hypothènuse ou chose cherchée. "De là on peut conclure aussi que la somme des carrés de deux » nombres, est égale à deux fois le rectangle de ces nombres, » plus le carré de leur différence. »

L'original porte en marge la figure (pl. 1) de quatre triangles égaux, réunis comme il est dit dans le théorème. Cette nouvelle démonstration du théorème de Pythagore est remarquable, en ce qu'on peut la regarder comme la démonstration indou de cette célèbre proposition. Peut-être même que cette figure géométrique, qui ressemble assez à celle de la chaise dont on se sert dans le

pays

pour transporter la nouvelle mariée chez son époux, a donné lieu aux épithètes de figure de la fiancée, de la chaise nuptiale, que les écrivains orientaux donnent à cette proposition.

Le troisième Livre du Bija concerne les questions et les équations à plusieurs inconnues. L'auteur opère comme nous, et élimine successivement les inconnues jusqu'à ce qu'il n'en reste plus qu'une seule. Il pose en principe, que le nombre des équations indépendantes doit être égal à celui des inconnues. Lorsqu'il y a plus d'inconnues que d'équations, il donne des valeurs arbitraires à quelques-unes de ces inconnues. Nous avons déjà dit que les Indiens se servaient de divers caractères et dénominations pour représenter les inconnues. Voici à cet égard, les propres paroles de l'auteur: « Ainsi, vous pouvez supposer que la première quan» tité cherchée soit l'inconnue, et que la deuxième quantité cher"chée soit noire, la troisième, bleue; la quatrième, jaune, etc., " et ainsi de suite, en donnant des noms quelconques aux quan» tités qu'on desire connaître. Si au lieu de couleurs, vous voulez » prendre d'autres objets, comme des lettres, etc., cela est en» core faisable. »

Ce même troisième Livre renferme des exemples très-curieux et très-difficiles, d'expressions algébriques qu'on fait devenir des carrés ou des cubes-parfaits. On y reconnaît la touche du maître, et une manière entièrement différente de celle de Diophante.

Les deux autres Livres contiennent aussi des questions d'analyse indéterminée, mais qui deviennent successivement plus difficiles et plus compliquées. Les questions suivantes se rapportent au cinquième chapitre de l'Introduction, et sont résolues dans l'ouvrage même. Nous allons les transcrire suivant notre notation.

1.

2.

Trouver un triangle rectangle dont l'aire soit égale (numé

riquement) à son hypothénuse.

Trouver un triangle rectangle dont l'aire soit égale au produit de ces trois côtés.

a+b+c+d+ p + q + r = 13a = 169.

7x2 + 8y2 = 01

=8}

6.

y; en nombres entiers.

Le moyen de rendre rationnelle l'expression

en faisant ax + my=

r

(ax+my+ry,

-y est indiqué dans l'ouvrage.

2

Outre ce que nous venons d'extraire, le Bija Ganita renferme plusieurs recherches curieuses qui font présumer, dit M. Strachey, que les Indiens possèdent des ouvrages très-intéressans sur cette branche de l'Algèbre. Il est probable qu'on trouvera dans ces ouvrages une théorie des fractions continues, des méthodes d'approximations et des théories de séries et d'équations. Les règles du cinquième Livre du Bija, et les applications qu'en fait l'auteur, donnent lieu à penser que les Indiens avaient quelques connaissances des courbes et de l'usage des mathématiques dans la philosophie naturelle. Il est donc très-probable, comme nous l'avons déjà avancé, que l'Algèbre est originaire de l'Inde, ainsi que l'Arithmétique. Il est vrai que nous avons à cet égard peu de notions certaines, et que même les Arabes attribuent l'invention de l'Algèbre aux Grecs. Mais cette assertion des Arabes devient très-problématique, quand on considère que l'Algèbre de ce peuple diffère considérablement de l'Algèbre de Diophante, et qu'il est très-douteux que les Grecs aient jamais eu une Algèbre autre que celle de Diophante; d'ailleurs la facilité qu'on avait à Alexandrie de communiquer avec les Indes, rend trèsincertaine l'origine grecque de l'Algèbre de Diophante; et la composition bien plus récente du Bija Ganita ne détruit pas cette incertitude; car il ne faut pas oublier que l'ouvrage sanscrit a été précédé par d'autres bien plus anciens, ainsi que l'a trèsbien prouvé M. Davis, dans un savant Mémoire sur le cycle de 60 ans, inséré dans les Recherches asiatiques. C'est de ces anciens ouvrages indous, dont l'existence est très-probable, qu'auront été tirés non-seulement le Bija Ganita, mais aussi l'Algèbre des Grecs et des Arabes.

Sur le Lilavati.

Le Lilavati, le second ouvrage indou dont il a été question plus haut, traite des mesures des corps, de l'arithmétique, etc. Dans l'Introduction, nous lisons que « l'auteur de la collection » du Lilavati se nommait Bhasker Acharya, de la ville de "Bidder", sur la frontière septentrionale de l'Indostan. L'époque précise de la publication de l'ouvrage n'est pas bien connue; mais dans un autre ouvrage du même auteur, de l'année 1105 du