est le même que celui de l'oscillation d'un pendule qui aurait pour longueur la moitié de la hauteur initiale du fluide. Le tems pendant lequel la moitié du fluide s'écoule, répond à h = 1H, et il est égal à la moitié du tems de l'écoulement entier.

Dans le cas de m-2 la formule (4) se présente sous la

m-2

forme -; ainsi en développant l'exponentielle ()" suivant

о

H

les puissances de m-2, réduisant et faisant ensuite m = 2, on trouve pour sa véritable valeur

On ne peut pas intégrer cette expression sous forme finie, pour une valeur quelconque de h; mais on peut déterminer exactement le tems de l'écoulement entier, ou la valeur de l'intégrale définie prise depuis h=H jusqu'à ho. En effet, faisant h =Hx2, et désignant ce tems par T, on trouve

l'intégrale étant prise depuis xo jusqu'à x=1. Or, entre ces limites, Euler a trouvé

c'est-à-dire le tems de l'oscillation d'un pendule dont la lon

Nous allons montrer maintenant comment on peut transformer l'équation (4) de manière à rendre très-facile pour toutes les valeurs de m, le calcul du tems de l'écoulement entier du

fluide.

Supposons d'abord m >2. On fera h=Hx, H=g, et en appelant T le tems demandé, l'équation (4) donnera

F'intégrale étant prise depuis x=0 jusqu'à x=1, et désignant le tems pendant lequel un corps pesant parcourt la hauteur H. Or les intégrales définies de cette forme se ramènent à d'autres dont M. Legendre a calculé des Tables très-étendues qui vont trouver ici une application utile. Ces transcendantes, qu'il désigne par la lettre r, sont (*)

r (a) = f.dr (log — ),

« étant une quantité positive, et l'intégrale étant prise depuis x=0 jusqu'à x=1. Cela posé, on a, d'après un théorème connu (**),

P, q, n étant des exposans positifs quelconques, et l'intégrale du premier membre ayant aussi pour limite xo et x=1. Donc, en faisant p1, n= 2m— -4, q=m— 2, on aura , relativement à l'intégrale que nous considérons,

substituant dans la valeur de T, et observant que

r (i) = Sdx (log — ) * = √«‚

Les Tables de M. Legendre (***) donnent les logarithmes

(*) Ces intégrales reviennent par un simple changement de variable, aux intégrales de la forme fe-za-dz, prises depuis 3=0 jusqu'à == = Sous celte forme, leurs principales propriétés sont démontrées dans le nouveau bulletin de la Société Philomatique, tom. II, pag. 243.

(**) Exercice du Calcul intégral, deuxième partie, pag. 279. (***) Idem, pag. 302, et quatrième partie, pag. 85.

de la fonction r(a), pour toutes les valeurs de a, de millième en millième, depuis a=1 jusqu'à a=2. Il faut donc, pour pouvoir en faire usage, que les quantités

1

et

m

1

2m-4 2m -4 tombent entre les limites 1 et 2; or c'est à quoi l'on parviendra toujours en les augmentant ou diminuant d'un certain nombre d'unités, au moyen de la formule

r(a+1)= a.r(a), (6)

que l'on peut appliquer successivement à a, a+1, a+2, efç, Ainsi l'on aura

et maintenant, pour toutes les valeurs de m plus grandes que 3, les deux nombres compris sous le signe r tomberont immédiatement entre les limites 1 et 2.

Soit, pour exemple, m4, ce qui suppose l'orifice moitié de la base du cylindre. On aura

la Table de M. Legendre donne

log (1,25) 9,9573211, log г (1,75) = F

=

9,9633451;

Maintenant si l'on a m<2, on écrira l'équation (4) sous

l'intégrale étant prise depuis x=0 jusqu'à x=1. Or en fai

r (2,143) 1,143.г (1,143);

et je trouve dans les Tables citées

log r (1,643) = 9,9537966, log г (1,143) = 9,9709922 * tout calcul fait, on a T= (1,4907),

c'est-à-dire à peu près une fois et demie le tems qu'un corps pesant emploierait à tomber de la hauteur initiale du fluide.

Il est encore bon de connaitre la pression qui a lieu, pendant le mouvement, en un point quelconque du cylindre; or en appelant z la distance de ce point au-dessous du niveau variable du fluide, p la pression demandée, П celle qui a lieu sur le niveau, la densité du fluide, on trouve que la valeur de p se réduit, dans le cas du cylindre vertical, où l'on a y=y'=b, à (*)

p = "+gpz

kpz du
b. dt

éliminant dt au moyen de la seconde équation (1), et u au moyen de l'équation (3), cette valeur devient

Dans l'état d'équilibre, cette pression serait p+gpz; on voit donc que la pression, dans l'état de mouvement, est plus grande ou plus petite, à chaque instant, que la pression hydrostatique, selon que la quantité

est plus grande ou plus petite que l'unité. Si, par exemple, on suppose m=3, cette quantité devient

(H—h); elle est

H

donc plus petite que l'unité, dans la première moitié de l'écou lement, où l'on a h>H, et plus grande, au contraire, dans la seconde partie. Quand la moitié du fluide est écoulée, on a h=H, et à cet instant la pression est la même que si le fluide était en équilibre.

Dans le premier moment du mouvement, h diffère infiniment peu de H, et la valeur de p se réduit à pП; de sorte que P pression due au fluide disparaît entièrement, à l'instant où le fluide commence à couler. Ce résultat est subordonné à l'hypothèse du parallélisme des tranches, sur laquelle est fondée l'expression générale de la quantité p: il tient à ce que, dans cette hypothèse, le vase étant supposé cylindrique vertical et percé d'un orifice horizontal, les tranches fluides prennent au premier instant des vitesses infiniment petites, qui sont les mêmes que si ces tranches étaient libres, ainsi qu'il est facile de s'en assurer.

(*) Traité de Mécanique, tom. II, pag. 450.