de x, y et s, leurs valeurs, on aura une équation différentielle du second ordre, contenant qa, 'a, "a: ce sera sa solution particulière, et non pas son intégrale qui devra servir à déterminer ; mais comme cette solution particulière contiendra qe et q'a, il faudra l'intégrer pour en déduire la valeur de qa, laquelle renfermera ainsi une constante arbitraire. Substituant cette valeur dans celles de x et y, et éliminant ensuite " on aura en x, y et une seule constante arbitraire, l'équation de la courbe demandée. On peut remarquer que la difficulté dont nous venons de parler est semblable à celle qui se présente dans la théorie des développées, et que M. Lagrange a éclaircie de la même manière. Lorsque l'équation de la développée est donnée, celle de la déve loppante ne peut contenir qu'une seule constante arbitraire, dépendante du point où l'on commence le développement; cependant, si l'on met dans l'équation donnée, à la place des deux coordonnées de la développée, leurs valeurs génerales, il en résulte une équation différentielle du second ordre; mais M. Lagrange fait voir que son intégrale complette est l'équation d'un cercle qui a son centre sur la courbe donnée, et que cette équation du second ordre admet toujours une solution particulière du premier ordre, qui est proprement l'équation différentielle première de la développante. (Voyez la Théorie des fonctions, page 208 de la seconde édition.) Décomposition des fractions rationnelles en d'autres fractions plus simples; par M. DE STAINVILLE. ФХ Soit une fraction rationnelle, dont le numérateur soit d'un degré moins élevé que le dénominateur; si on suppose que ce dénominateur soit du degré p, et qu'il contienne le facteur x -a un nombre n de fois, et que, de plus, on substitue a + au lieu de x', tant au numérateur qu'au dénominateur, elle se changera en une autre dans laquelle le dénominateur ne pourra contenir de puissances de y, inférieures àn, de sorte qu'elle sera égale à 1 .p -1 Si on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 2, et qu'on fasse ensuite zy=1, elle deviendra Le numérateur de cette fraction étant d'un degré plus élevé que le dénominateur, on peut effectuer la division et la pousser jusqu'à ce qu'on soit parvenu dans le quotient à un terme qui soit de même degré que la plus faible puissance de z dans le numérateur. Si on le represente par Az" + Bz”—1 + Cz12 +....+Pz, et qu'on désigne le reste par R, on aura une équation qui, étant débarrassée de ses dénominateurs, donnera par la comparaison des termes affectés des mêmes puissances de les équations suivantes : 1 De ces équations il sera facile d'en déduire les valeurs de A, B C, etc. Les valeurs de ces quantités étant ainsi déterminées, si on substitue, tant dans le quotient que dans le reste, au lieu etxa au lieu de r, on aura de z 4x ФХ fx étant ce que devient ox, lorsqu'on a supprimé dans ce déno, minateur tous les facteurs égaux à x- et x étant un polynome de degré inférieur à fx, mais qu'il n'est point nécessaire d'obtenir pour avoir les fractions qui correspondent aux facb, xc, etc. teurs x Si on suppose que le facteur x a ne se trouve qu'une seule fois dans ox, il faudra, pour déterminer le numérateur de la fraction qui correspond à ce dénominateur, faire n = ì dans la première des équations précédentes, et on trouve ce qui donne la règle connue, puisque a est le résultat de la substitution de a à la place de x dans le numérateur de la fraction proposée, et que q'a est le résultat de la substitution de a à la place der dans le coefficient différentiel du dénominateur de cette même fraction. MÉCANIQUE. Pendule à oscillations coniques; par M. POUILLET (*), licencié ès sciences. Les équations générales du mouvement d'un point matériel pesant sur une sphère sont : › (4) de= (5) V (r2 — z2)(c' + 2 gz) (Mécanique de Poisson, liv. II, chap. IV.) Ces deux dernières équations étant intégrées, donnent z et a en fonctions du tems; d'ailleurs en sin Vrz2 2 x = cos ∞ Vr2 — z2. J = En Y mettant pour z eta, leurs valeurs en t, on aura z,y et x, en t, d'où l'on déduira les équations de la trajectoire; la position du mobile à chaque instant sur cette courbe, sa vitesse en un point quelconque, en un mot toutes les circonstances du mouvement. Appliquons ces formules générales au mouvement du pendule à oscillations coniques. # Supposons qu'un pendule d'une longueur r, ait été écarté de la verticale dans le plan des zx, d'un angle a, et qu'on lui imprime une vitesse à perpendiculaire à ce plan. Alors au commencement du mouvement, on a dz 2°. zrcos α, dt =o, et (3) devient a2c'+2 gr coss: donc c' a2 - 2 gr cos a. Soit l'angle du pendule avec la verticale en une position quelconque, on aura zr cose. Prenant cette variable, au lieu l'équation (4) devient de Posons sin, sin2am, et afin de pouvoir intégrer, supposons que les troisièmes puissances de pet de m puissent être négligées, ce qui revient à supposer les angles et a assez petits pour qu'on puisse négliger les sixièmes puissances de leur sinus. Alors après les réductions, on a dt=r √= p2 (a2 + gr) + p (a2 + m (a2+gr)) — a'm On voit d'après cela que k<sina entraine sink, Discutons successivement ces trois cas. 1o. Quand on a k< sin a ou a<Vgr.tang a, pour =ɔ a nuant d'augmenter, le cosinus diminue jusqu'à sin =k= Va'+gr t continuant d'augmenter, le cosinus reprend des valeurs croissantes, jusqu'à V kr alors t.2 a t augmentant encore on aura une seconde oscillation tout-à-fait semblable à la première. 2o. Quand on a k = sin a ou a = Vgr tang a il est nécessaire que sin soit aussi égal à ; c'est-à-dire, qu'alors le pendule décrit autour de la verticale au cône droit à base circulaire, dont l'angle au centre est doubie de celui de l'écart. Va2 + gr ter, le cosinus reprend des valeurs croissantes, jusqu'à...... =1 ou = a, t continuant d'augmenter, le cosi sin' _k o. Par conséquent sin sin' · ka reprend des valeurs cissantes jusqu'à sin =k= t continuant d'augmenter, le cosinus augmente jusqu'à a 1. Par conséquent diminue jusqu'à ◊ = a; c'est-à-dire que si a>Vgr tanga, le plus petit écart du pendule est l'écart primitif, et son plus grand écart a pour sinus a Va2 + gr or, pour trouver l'intégrale, nous avons supposé que les sixièmes puissances de sin a et sin soient négligeables; d'où il suit, que pour que la discussion précédente soit juste, il faut non-seulement |