Note sur une difficulté relative à l'intégration des équations aux differences partielles du premier ordre; par M. POISSON (*).

Lorsqu'on a une équation aux différences partielles du premier ordre, à trois variables et non linéaire par rapport aux différences, on fait dépendre son intégration de celle d'une autre équation linéaire et à quatre variables. L'intégrale de celle ci renferme une fonction arbitraire de deux quantités, ce qui semblerait devoir en introduire une semblable dans l'intégrale de la proposée laquelle ne doit cependant contenir qu'une fonction d'une seule quantité. Dans les leçons sur le calcul des fonctions (**) M. Lagrange dit que cette difficulté l'a long-tems tourmenté, et qu'il est enfin parvenu à la résoudre, en employant un changement de variables au moyen duquel il fait voir que la fonction double se réduit toujours à une fonction simple; mais cette méthode a l'inconvénient, ainsi que M. Lacroix l'a remarqué dans la seconde édition de son Calcul intégral (***), de compliquer la forme générale de l'intégrale, qui se trouve alors représentée par le système de trois équations, tandis que dans chaque cas elle doit être exprimée par deux équations seulement. En suivant une marche différente, on parvient, d'une manière qui me semble plus directe, à lever complètement la difficulté dont nous parlons, ou plutôt à montrer qu'elle n'est qu'apparente, et l'on a en même tems l'avantage de conserver à l'intégrale la forme simple qu'elle doit avoir c'est ce que je me propose de faire voir dans cette

note.

Représentons l'équation proposée par

f(x, y, z, p, q)=0;

(1)

pet q désignant les différences partielles de z par rapport à x et à ý. On tirera de là la valeur de p pour la substituer dans

dz=pdx + qdy;

(2)

(*) Cette note a été publiée dans le Bulletin de la Société Philomatique, en novembre 1815, pag. 183. Nous la rapportons ici, pour servir d'éclaircissement à la méthode donnée par M. Monge, pour l'intégration des équations aux différences partielles des surfaces courbes. H. C.

(**) Journal de l'École Polytechnique, douzième cahier, pag. 311.

(***) Tome II, pag. 555.

et l'on disposera de la quantité q, qui reste indéterminée, pour rendre intégrable cette valeur de dz. Or on sait que q devra alors être donnée par l'équation

dans laquelle il faudra aussi substituer la valeur de p, et qui sera, en x, y, z et q, l'équation auxiliaire dont nous venons de parler.

L'intégrale de cette équation (3) dépend de trois équations différentielles ordinaires que nous n'aurons pas besoin d'écrire ; nous représenterons leurs intégrales complètes par

a=f(x, y, z,q), b=f、 (x, y, z, q), 'c=f3 (x, y, z, q); (4) a, b, c étant les constantes arbitraires : l'intégrale générale de l'équation (3) sera a =п(b, c),

П désignant une fonction arbitraire.

(5)

Supposons l'une des équations (4), la première, par exemple, résolue par rapport à q; soit

q = 4 (x, y, z, α)

(6)

la valeur qu'on en tire; substituons-la dans les deux autres équations, ce qui donne des résultats de cette forme : (

b=4, (x, y, z, a), c = 4, ( x, y, z, α); substituons ensuite ces valeurs de b et c dans l'équation (5), nous

aurons

a=п[4,(x, y, z, a), 41⁄2 (x, y, z, a) ];

(7)

et nous pouvons dire maintenant que la valeur la plus générale de q qui satisfasse à l'équation (3), et qui ait, par conséquent, la propriété de rendre intégrable l'équation (2), est exprimée par l'équation (6), en y considérant a comme une quantité donnée par l'équation (7).

Cela posé, la valeur de a sera, ou une quantité variable dépendante de la forme qu'on donnera à la fonction П, ou une constante arbitraire quand on prendra pour cette fonction une semblable constante. Supposons d'abord que le second cas ait lieu; concevons qu'on ait intégré l'équation (2); après y avoir subs

titué à la place de p et q, leurs valeurs tirées des équations (1) et (6), et désignons son intégrale par

F(x, y, z, a)=k,

(8)

k étant la constante arbitraire. Si l'on veut présentement avoir l'intégrale de la même équation (2), dans l'hypothèse de a variable, il est évident qu'on peut encore supposer qu'elle soit représentée par l'équation (8), pourvu qu'on y regarde k comme une nouvelle variable, et qu'on détermine convenablement sa valeur, c'est-à-dire, de manière que la différentielle de l'équation (8) reste la même quand a et k sont constantes, et lorsque a et k sont devenues variables. Il faudra donc qu'on ait

d. F ( x, y, z, a)

da

da = dk;

(9)

or cette équation ne saurait subsister, à moins que le coefficient de da, dans le premier membre, ne soit une fonction de a et k sans x, y, z; ainsi П, désignant une fonction arbitraire, il faudra que l'équation qui sert à déterminer a revienne à celle-ci. d.F(x, y, z, a)

da

= 1, (α, k),

(7)

laquelle, par conséquent, devra être identique avec l'équation (7). Cela étant, on aura dk II, (a, k) da; et de cette équation on tirera k qa, ce qui change les équations (8) et (9) en celles-ci :

qui représenteront l'intégrale générale de l'équation (2). Quant à l'équation (7), elle est maintenant superflue, car elle peut être remplacée par l'équation (7′), qui devient

et qui ne fait qu'établir une relation entre les deux fonctions arbitraires désignées par 4 et II,, dont la seconde n'entre pas dans les équations (10).

Nous pouvons conclure de là :

1°. Que l'intégrale générale de l'équation (2), ne contient qu'une fonction arbitraire d'une seule quantité, quoique la valeur de q soit donnée par une équation renfermant une fonction de deux quantités;

2o. Que, pour l'obtenir, il suffit de connaître une intégrale par

ticulière de l'équation (3), renfermant une simple constante arbitraire, c'est-à-dire une des trois équations (4); ce qui coïncide avec la méthode ordinaire.

2

On vérifiera sans peine tout ce qui précède, sur l'équation -pqo, que M. Lagrange a prise pour exemple, et particulièrement l'identité des équations (7) et (7′), que nous avons démontrée d'une manière générale.

En effet, les trois intégrales particulières dont dépend son intégrale complète; ou les équations (4), sont, dans ce cas (*),

tirant la valeur de q de la première et la substituant dans les deux autres, il vient

En mettant pour p et q leurs valeurs, savoir:

c'est donc cette équation qu'il faut intégrer, en y regardant a comme déterminée par l'équation (7). J'intègre d'abord dans l'hypothèse de a constante, ce qui donne

k étant la constante arbitraire. Pour étendre cette intégrale au cas de a variable, il faut y joindre sa différentielle par rapport à a et k, ainsi qu'on l'a dit plus haut; on a alors

et elle montre que la quantité (a+x) est une fonction de a et k; donc, en vertu de l'équation précédente, k ne peut être qu'une fonction de a. Soit, par conséquent, k=pa; l'intégrale générale de l'équation (a) sera exprimée par le système de ces deux équations:

de sorte qu'elle ne fera qu'établir une relation entre la fonction 4 et la fonction II, ce qu'il s'agissait de vérifier.

Sans entrer dans de plus grands détails, nous nous contenterons d'observer que le même exemple peut servir à deux autres vérifications semblables, en partant successivement de la seconde et de la troisième équation (4), c'est-à-dire en prenant successivement les constantes b et c et les équations qui les contiennent, à la place de la constante a et de la première équation (4).

RAPPORT fait à l'Institut, le 11 décembre 1815, par M. LEGENDRE, sur un Mémoire de A. L. CAUCHY intitulé: Démonstration générale du théorème de FERMAT, sur les nombres polygones.

Quoique la théorie des nombres ait fait de grands progrès dans ces derniers tems, et qu'elle soit beaucoup plus avancée maintenant qu'elle ne l'était du tems de Fermat; cependant le beau théorème sur les nombres polygones, dû à ce savant célèbre, n'a encore été démontré que dans ses deux premières parties, qui sont relatives aux nombres triangulaires et aux carrés; de sorte que tout ce qui regarde les autres polygones à l'infini, reste encore à démontrer.

Il y a lieu de s'étonner que les géomètres, qui ont su vaincre tant d'autres difficultés, aient été arrêtés jusqu'ici devant une