simple question de nombres dont Fermat avait trouvé la solution complète. Ce genre de difficulté toute particulière, qu'on rencontre dans la théorie des nombres, ne peut s'expliquer que par le peu de liaison qu'il y a entre les différentes parties de cette théorie, et parce que dans chaque nature de question il faut en quelque sorte créer un principe ou une méthode particulière pour la résoudre. On en voit un exemple dans les démonstrations qui ont été données des deux premiers cas du théorème de Fermat, puisque le premier cas relatif aux nombres triangulaires, fait partie de la théorie générale des formes trinaires des nombres, et n'a été démontré que long-tems après le second cas, qui est tout-à-fait indépendant de cette théorie.

Quoi qu'il en soit, il était à desirer pour l'intérêt de la science et pour la satisfaction des géomètres, que le théorème sur les nombres polygones fût enfin démontré dans toute sa généralité, et c'est l'objet que s'est proposé M. Cauchy, dans le Mémoire dont nous allons rendre compte.

M. Cauchy suppose les deux premiers cas démontrés; il suppose, de plus, ce qui est un résultat général de la théorie des. formes trinaires des nombres, qu'on peut toujours décomposer en trois carrés tout nombre proposé qui n'est pas de la forme 8n +7, ou le produit de 8n+7 par une puissance de 4 il ・ établit ensuite un principe entièrement nouveau.

Il remarque d'abord qu'étant donné un nombre k composé de quatre carrés dont les racines, font une somme égale à s, le quadruple de ce nombre peut toujours être représenté pour quatre carrés dont l'un est s2.

De là il conclut qu'étant donnés deux nombres k et s de même espèce, c'est-à-dire tous deux pairs ou tous deux impairs, si s est compris entre les limites 4k et V(3k—2) — 1; si en outre 4-s2 n'est pas de la forme 4o(8n+7), il sera toujours possible de décomposer le nombre k en quatre carrés dont les racines prises positivement fassent une somme égale à s.

Cette proposition, très-belle et très-générale, est le fondement de la démonstration de M. Cauchy; elle apporte un perfectionnement remarquable au second cas du théorème de Fermat, puisqu'elle offre le moyen non-seulement de partager un nombre donné en quatre carrés, mais encore de faire ensorte que la somme des racines de ces carrés soit égale à un nombre donné, pris entre certaines limites qui s'éloignent de plus en plus, à mesure que le nombre proposé devient plus grand.

Les limites que M. Cauchy assigne aux valeurs de s, sont celles avec lesquelles on est assuré d'obtenir, dans chaque cas, une solution où toutes les racines sont prises positivement pour

former la valeur de s. Si on se permettait de prendre arbitrairement les signes de racines dont les carrés composent la valeur du nombre donné k, la somme s de ces racines pourrait être fort inférieure à la moindre des limites supposées, ce qui augmenterait le nombre des cas résolubles; mais pour l'application que l'auteur a eu en vue, une condition essentielle est de n'admettre dans la somme s que les racines prises positivement, attendu que l'expression générale des nombres polygones, passé l'ordre des carrés, indique deux séries différentes, selon qu'on prend l'indice de chaque terme positif ou négatif. Ces deux séries considérées analytiquement sont coordonnées entr'elles, de manière que l'une n'est que le prolongement de l'autre, etque les deux réunies ne forment qu'un même système qui s'étend à l'infini, tant dans le sens des indices positifs, que dans le sens des indices négatifs. Or l'énoncé du théorème de Fermat est restreint aux nombres polygones pris dans le sens positif, et on ne doit faire entrer aucunement en considération la série qui a lieu dans le sens négatif.

Pour donner maintenant une idée de la méthode que suit l'auteur dans la démonstration du théorème de Fermat, considérons l'expression générale d'un nombre quelconque P qui serait composé, conformément au théorème, de n nombres polygones de l'ordre n; cette expression sera de la forme Ak+Bs, dans laquelle A et B sont des coefficiens constans qui ne dépendent que de n; s est la somme des indices de tous les polygones, et k la somme de leurs carrés. La question serait de déterminer pour chaque nombre proposé P, les valeurs de k et de s, avec la condition que k ne comprenne que n carrés au plus, et que s soit la somme de leurs racines prises positivement.

Cette question, qui n'est que l'énoncé de la proposition géné rale à démontrer, paraît trop vague et trop indéterminée pour que l'analyse puisse lui être appliquée avec succès. M. Cauchy a eu l'idée heureuse de restreindre le problème, en supposant que sur les n polygones, qui doivent composer le nombre P, il y en a n- 4 égaux à zéro ou à l'unité indistinctement. Ainsi au lieu de la formule Ak+ Bs, M. Cauchy prend Ak+Bs+r, r étant un nombre positif qui ne doit pas surpasser n-4 i alors k ne doit plus contenir que quatre carrés indéterminés et s représente toujours la somme de leurs racines prises positivement.

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Cela posé, si on prend pour k un nombre impair assez grand pour qu'il y ait au moins deux nombres impairs compris entre les limites qui conviennent au nombres, ce qui suppose seulement que k n'est pas <121; M. Cauchy fait voir que la for

mule Ak+Bs+r représentera tous les nombres entiers compris entre la plus petite et la plus grande valeur dont cette formule est susceptible, à raison des limites de s; d'où il suit que tous ces nombres peuvent être décomposés en n polygones dont n-4 seront égaux à zéro ou à l'unité.

La même formule, en augmentant k de deux unités, et prenants dans les limites qui conviennent à cette nouvelle vafeur de k, fournira la même conclusion, c'est-à-dire, qu'on aura une seconde suite de nombres entiers plus grands que ceux de la première suite, lesquels seront également décomposables en n polygones de l'ordre n.

On prouve d'ailleurs que ces deux suites ne laissent point de lacune entr'elles, mais plutôt que la fin de l'une se confond avec le commencement de l'autre, de sorte qu'étant réunies elles offrent la série complète de tous les nombres entiers compris depuis le plus petit terme de la première suite jusqu'au plus grand terme de la seconde.

Il est inutile d'en dire davantage, et on voit qu'en prenant pour k des nombres impairs de plus en plus grands, la formule Ak+Bs +r représentera successivement tous les nombres entiers depuis celui qui répond aux moindres valeurs de k et de s jusqu'à l'infini. Par conséquent tous ces nombres sont décomposables en n nombres polygonaux dont n-4 sont égaux à zéro ou à l'unité.

Il ne reste donc à examiner que les nombres compris dans la même formule Ak+Bs+r, lorsque k est inférieur à 121. Or cet examen est sans difficulté, puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de valeurs de k à considérer; et d'ailleurs l'auteur avait préparé d'avance la solution de ces cas particuliers, par quelques propositions subsidiaires. Il est donc bientôt conduit à la conclusion générale, qui est que tout nombre entier peut être représenté par la formule Ak+Bs+r avec les conditions prescrites, et qu'ainsi tout nombre entier peut être décomposé en n polygones de l'ordre n, dont n-4 sont égaux à zéro ou à l'unité.

La supposition qu'avait faite M. Cauchy pour simplifier la solution du problème, se trouve ainsi justifiée par la conclusion à laquelle il parvient. Non-seulement donc il démontre le théorème de Fermat dans toute sa généralité, pour tous les polygones au-delà des carrés; mais il substitue au théorème de Ferma! un théorème beaucoup plus précis et plus intéressant puisqu'il prouve que sur les n nombres polygonaux qui entrent dans la composition d'un nombre donné quelconque, il y en a toujours n- -4 égaux à zéro ou à l'unité

Il résulte en même tems de l'analyse de M. Cauchy, que

la décomposition effective d'un nombre donné en n polygones de l'ordre n peut toujours s'opérer à priori, en supposant seulement qu'on sache décomposer en trois carrés les nombres qui sont susceptibles de ceite décomposition.

Nous concluons de ce qui précède que le Mémoire de M. Cauchy offre une nouvelle preuve du talent et de la sagacité que l'auteur a montrés dans d'autres recherches également utiles au progrès de l'Analyse et de la Géométrie. Nous pensons en conséquence que ce Mémoire est digne des éloges de la Classe, et d'être imprimé dans le Recueil des Savans étrangers.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Théorème. « Lorsque deux surfaces quelconques du second degré » sont circonscrites à une troisième surface du même degré, elles "se coupent toujours dans le système de deux courbes planes » du second degré. » (Voyez la Correspondance, tome II, page 321 et la page 339 de ce cahier).

Démonstration de cette proposition, dans le cas particulier où les trois surfaces du second degré ont pour diamètres conjugués les parallèles aux trois droites D, D', D", dont deux D, D' sont dirigées du centre de la surface inscrite aux centres des deux surfaces circonscrites, et la troisième D", est l'intersection des plans des deux courbes de contact.

Supposons que les trois surfaces soient rapportées à trois axes parallèles aux droites D, D', D", et que le centre de la surface inscrite soit l'origine des coordonnées, l'équation de cette première surface sera

(A)

Ax2+By2+ Cz2 = 1

dans laquelle les quantités A, B, C sont trois constantes données à volonté; et en nommant a, b les distances de l'origine aux centres des deux surfaces qui circonscrivent la première, les équations de ces deux surfaces pourront d'abord être mises sous les formes suivantes :

(B) (C)

A'(x—a)2 + B'y2 + C′22 = 1,
A"x2 +B"( y—b)2 + C′′z2 = 1

puisque le centre de l'une est sur la droite des x, et que le centre de l'autre est sur la droite des y. Les six quantités A', B, C, A", B", C", que renferment ces équations, sont encore

des constantes; mais elles ne peuvent pas être prises arbitrairement, et il faut les déterminer de manière que les deux dernières surfaces soient circonscrites à la première.

Or lorsque deux surfaces sont circonscrites, toutes les sections faites dans les deux surfaces, par un plan parallèle à celui de leur courbe de contact, sont semblables entr'elles et semblablement placées; donc les dimensions homologues de ces sections sont entr'elles dans le même rapport. Ainsi en nommant e ce rapport pour le cas du premier contact, on aura

B' — e2B,

C' = e2C;

et nommant e le rapport pour le cas du second contact, on aura `A" = é3A,

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C" = e'2C,

équations dans lesquelles les rapports e, e' sont élevés au carré, parce que les constantes A, B, C, B', C', A", B" sont toutes de deux dimensions.

Si l'on substitue pour B′, C', A", C" ces valeurs dans (B), (C), ces équations deviendront

ou

(D) (E)

A'(x-a)2 + e2 (By2 + Cz2) = 1,

B"(y—b)2 + e'3(Ax2+ Cz3) = 1,

A' (x-a)2 - Ae2x2+e2 (Ax2+By2+Cz2) = 1,
B" (y—b)2

Bey2+e'2(Ax2+By2+Cz2) = 1. Actuellement, si l'on cherche l'intersection de la première surface, dont l'équation est (A), avec chacune des deux surfaces circonscrites, dont les équations sont (D) et (E), en éliminant la quantité Ax2+By+Cz2, qui est commune à ces trois équations, on aura pour la première intersection,

équations du second degré algébriques, l'une en x, dont les résolutions donnent

l'autre en y

(A' — Ae2)x = A'a + √ Ae1 + e2 (A A'a2 — A — A') + A', (D"-Be'3)y=B"b + V Be++e (BB"b2 — BB") + B",

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