et prouvent que la première surface, dont l'équation est (A); coupe les deux autres, considérées dans l'état où les représentent les équations (D) et (E), chacune dans le système de deux plans parallèles entr'eux, et au plan de leur courbe de contact respective.

Mais, par l'hypothèse, les deux dernières surfaces sont circonscrites à la première; donc, pour chacune d'elles, les deux plans de son intersection avec la première se confondent; par conséquent les deux radicaux des deux dernières équations sont l'un et l'autre égaux à zéro, ce qui détermine les valeurs de e, e', et les équations (F) et (G) sont chacune un carré parfait dont les racines sont

Tout étant ainsi préparé, considérons actuellement l'intersec tion des deux surfaces circonscrites dont les équations sont (D), (E). On aura l'équation de sa projection sur le plan des x, y, en éliminant z entre les équations de ces deux surfaces, ou bien en éliminant la parenthèse commune (Ax2+ By2+ Cz2), qui seule contient z, ce qui donne

¿'3 { A′ (x — a)2 — Ae2x2 — 1 } — e3 { B" ( y − b )2 — B′d' 1y2 — 1 } = 0, − B'¿'1y2 ou ajoutant dans les deux parenthèses, qui sont de signes contraires, la même quantité e'e',

Or ces parenthèses ne sont autre chose que les premiers membres. des équations (F), (G), qui, comme nous venons de le voir, sont deux carrés parfaits; donc l'équation (H) de la projection sur le plan des x, y de l'intersection des deux surfaces cir

Conscrites est

e'3 { (A'—Ae2)x—A'a}a — e2 { (B"—Be'2)y—B′′b}2 = 0, dont le premier membre est la différence de deux carrés, et équi vaut par conséquent au système des deux équations linéaires 'e' {(A'—Ae2)x A'a} + e {(B”—Be12)y é' {(A' — Aeo)x — A'a} e

B"b}

{(B"-Be')y B"b} = o.

Donc l'intersection elle-même est comprise dans le système des

deux plans auxquels appartiennent les deux équations précédentes, et sont par conséquent des courbes du second degré. On connaissait depuis très-long-tems quelques cas particuliers de cette proposition générale. On savait, par exemple, que dans les voûtes d'arêtes ou en arcs de cloître, droites ou biaises, horizontales ou rampantes, les arêtes saillantes ou rentrantes de ces voutes sont toujours des ellipses planes, parce qu'elles sont les intersections de surfaces cylindriques circonscrites à la surface d'un même ellipsoide. Il en est de même des voûtes d'arêtes en arcs de cloître multiples, qui couvrent ordinairement les rondspoints de nos vieilles églises gothiques, ou les salons de quelques-unes de nos abbatiales; mais le théorème que nous venons de démontrer est d'une généralité beaucoup plus grande. Nous observerons même à cet égard que, comme dans la démonstration nous n'avons pas fait attention aux signes des neuf coefficiens A, B, C, A', B′, C′, A", B", C" qui entrent dans les trois équations (A), (B), (C). La vérité du théorème est indépendante du nombre de sommets réels dont chacune des trois surfaces de second degré que l'on considère est susceptible; ainsi chacune d'elles peut-être indifféremment un ellipsoïde, ou un hyperboloide à une nappe, ou un hyperboloïde à deux nappes, sans que le théorème cesse d'avoir lieu. Enfin il aurait encore lieu quand même les trois surfaces auraient leurs centres à l'infini. ( Article de M. Monge.)

Propriétés des diamètres de l'ellipsoïde; par M.CHASLES, ancien élève de l'Ecole Polytechnique.

LEMME.

(1) « Si entre les neuf quantités «, 6, v, à', 6', y', a", 6", y′′ on a les six équations

2

2

2

«" 112 » (α)... «2 +62+z2=1, a22+6′2+y′2=1, a′′2 +672 +z "2—1, » (b)... aa +66 +ry=0, aa"+66"+ry"=0, a'ù""a" + 6'6" + y 2 "=02 » l'on aura les quinze suivantes :

En effet, a, 6, x ; ά'1⁄2 ~′, x'; «", ", " peuvent représenter

2

les cosinus des angles que trois droites rectangulaires R, R', R" font avec trois axes x, y, z également rectangulaires; car les six équations proposées exprimeront que la somme des carrés des cosinus des angles qu'une des droites R, R', K" fait avec les trois axes, est égale à l'unité, et que les angles de ces droites sont droits.

D'après cela, les six équations (c) et (d) auront lieu; car elles indiqueront que la somme des carrés des cosinus des angles qu'un des axes x, y, z fait avec les trois droites R, R', R" est égale à l'unité, et que les angles de ces axes sont droits. Enfin pour vérifier une des neuf equations (e), la première, par exemple, on observera que le cosinus de l'angle que le plan des deux droites R', R" fait avec le plan des zy est

2

2

·√ (a2 2+622 + y22) (u" +6′′3+y′′2)— (a' a"+6′6′′ +z′g")"

Or le dénominateur se réduit à l'unité, en vertu des deuxième, troisième et sixième équations, on a donc simplement 6'2"-"'; mais ce cosinus est le même que celui que la droite R fait avec l'axe des x, lequel est ; l'on a donc

On prouverait semblablement que les huit dernières équations sont vraies.

rapporté à ses trois axes rectangulaires.

Appelons, 6, y les cosinus des angles qu'un diamètre R fait avec ces axes, on aura

Les coordonnées xaa, y = be, z=cy peuvent représenter l'extrémité d'un diamètre r de l'ellipsoïde, car elles satisfont à son équation; la longueur de ce diamètre a pour carré

r2 = a2a2 + b262 + c2y2.

Les coordonnées de l'extrémité de r indiquent la construction sui

(*) Voyes Le traité des surfaces du second degré, par M. Hachette, p. 169.

vante pour obtenir ce diamètre, quand on connaît la direction du premier R.

On décrira trois sphères concentriques à la surface et qui aient pour rayons a, b, c; par les points où elles couperont le diamètre Ŕ on mènera trois plans parallèles aux plans zy, zx, xy respectivement; leur point d'intersection sera l'extrémité du diamètre r. on déduira semblablement les dia

Des diamètres R', R", mètres r', r",..., et l'on aura

(3) Si à l'extrémité du diamètre r on mène un plan tangent, et que du centre de la surface on lui abaisse une perpendiculaire, elle sera égale au diamètre R; car ce plan a pour équation

(4) Si les trois diamètres R, R', R", sont rectangulaires, les trois r, r', r" seront des diamètres conjugués.

En effet, pour rapporter la surface à des coordonnées X, Y, Z parallèles à r, r, r" respectivement, on fera :

Substituant ces valeurs dans l'équation de l'ellipsoide et indiquant que les termes en XY, XZ, YZ doivent disparaître pour que r, r', r" soient conjugués, on aura les trois conditions an' + 66'+vy' =0, ax"+66"+ry"=0, á' a"+6′6′′+2′z" =0,

lesquelles auront toujours lieu quand R, R', R" seront rectangulaires.

Ainsi quand r, r, r" seront conjugués, les vingt-une équations du lemme (1) auront lieu.

(5) La somme des carrés des valeurs inverses de trois dia» mètres rectangulaires est une quantité constante. »

En effet,

(6) Les plans tangens aux extrémités des diamètres R, R', R" ont pour équations

Elevant au carré et ajoutant membre à membre ces trois équations, on aura, en supposant R, R, R" rectangulaires,

ce qui fait voir que :

Le point d'intersection de trois plans tangens à un ellipsoide • aux extrémités de trois diamètres rectangulaires, se meut sur une surface du second degré concentrique à la proposée.

(7) Le plan qui passe par les extrémités de trois diamètres

» rectangulaires roule sur une sphère. »

En effet, en ayant égard aux équations (e) du lemme, on trouve pour équation de ce plan

(RR′a"+RR"a'+R'R′′a)x + (RR′C"+RR""'+R'R′′C) y

+ (RR'7"+RR"y' + R'R"y) z = RK'R".

La longueur de la perpendiculaire abaissée sur

ce plan, du