centre de la surface, se réduit, en vertu des équations (a) et (b), à Cette quantité est constante; donc le plan roule sur la sphère qui l'a pour rayon et dont le centre est à l'origine. (8) «La somme des carrés de trois diamètres conjugués est (9) « La somme des carrés des projections de trois diamètres » conjugués sur une droite fixe; est constante. " (*) En effet, en appelant ♪,, les cosinus des angles qu'une droite D fait avec les trois axes des coordonnées, on aura : d'où r cos r,D and + bbs + cro, — and + bb'ε + crQ, r" cosr",Daa"d+ bo"ε + cy"q ; rcos" r^,D+r' cos2r","D+r" "cos3r",D=aad+b°i°+c°q°, (cet d) rcos r,D, r'cos,D, 7"cos D sont les projections des diamètres r, r′, r" sur la droite D; le second membre est une quantité constante; donc, etc. Il suit de ce théorème et du précédent, que La somme des carrés des perpendiculaires abaissées des extrémités de trois diamètres conjugués sur un diamètre fixe, est une quantité constante. (10) « La somme des carrés des perpendiculaires abaissées » des extrémités de trois diamètres conjugués sur un plan fixe » passant par le centre de la surface, est constante. » En effet, les perpendiculaires abaissées des extrémités des trois diamètres r, r, r" sur le plan Ax+ By + Cz = 0, pour longueurs Aaa+Bbb+Ccy Aaa+Bb'+Ccy √ A2 + B2+C2 Aaa"+Bb6"+Ccy" ont (*) Proposition démontrée page 258 du Traité des surfaces du second degrécité. la somme des carrés de ces trois quantités est A'a2+ B2b2 + C2c3 A2 + B2 + C2 Cette quantité est constante; donc, etc. (c et d) Il suit de là et du théorème (8), que : La somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués sur un plan fixe, est une quantité constante. (11) Le cosinus de l'angle des deux diamètres r, rest = (a2x2+b263+c°z3) (a2x22+b36′3+c2y′3) — (a2à«′+b266′+c3yy' ́)* = a2b2(«6′— a′6)2 + aac2 (ay' — a′y)2 + b2c2(6y'—6′y)3, ou, en vertu des équations (e), = a2b3y“2+a2c2C"a + c2b2a”• ++) = a2b3c2 R rr' sin r,.R" abc. (2) Or rr' sin rr est l'aire du parallelogramme construit sur les deux diamètres r, ; R" est égal à la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan tangent à l'extrémité du diamètre 7" (3); donc rr'sin rr.R" représente le volume du parallélepipède construit sur r, r, r"; donc : Le volume du parallelepipède construit sur trois diamètres conjugués est constant (*). (12) L'on a les trois équations a2b2 + b2c2 + a'c2; (*) Voyez pages 257 et 258 du Traité cité. (5) Donc : La somme des carrés des faces du parallélepipède construit sur trois diamètres conjugués est une quantite constante. (13) Ayant construit un parallèlepipède sur trois diamètres conjugués, la somme des carrés des projections des faces de ce parallelepipède sur un plan fixe, est une quantité constante. En effet, le plan passant par les deux diamètres r, r' a pour équation оц ab(aï'—á’'6)z + ac(yn'—xy') y+bc(by' — y6′)x =0, aby"z+ace"y+bca′′x = 0. Le cosinus de l'angle qu'il fait avec le plan Lx+My+Nz = k (e) est, en observant que rr ́sinr,r′ = √ aab3y"2+aac222+ c" (11), Lbca"Mac" + Naby" √L2+M2+N* rr′sinr,r l'aire de la projection du parallelogramme rr' sint sur le plan que nous considérons, est donc Lbca"Mac"+ Naby" Les aires des projections des parallélogrammes rr" sin r,r'; rr'sin rr", sur le même plan, sont semblablement Lbca+Mac' + Naby V L2 + M2 + N2 Lbca+Mac+ Naby La somme des carrés de ces trois projections est égale à Lab'c2 + Ma2c2 + N2a2b3 L+M+N Cette quantité est constante; donc, etc. (c et d) (14) « Si l'on projette trois diamètres conjugués sur un » plan diamétral, qu'on construise trois parallélepipèdes dont » chacun ait pour arêtes contigues un des diamètres et les projections des deux autres; la somme de leurs volumes sera » constamment égale à abc. » En effet, l'aire de la projection du parallelogramme rr"sin sur le plan qui a pour équation est Lx+My+Nz = 0, Lbca+Mac+ Naby √ Ľ2 + M2 + N2 (13) la perpendiculaire abaissée de l'extrémité du diamètre r, sur ce plan, a pour longueur Laa+MbG+Ncy V L2 + M2 + Na donc le parallélepipède construit sur r et les projections de et" a pour volume + (Lbca+Macs+Naby) (Laa + Mb6+ Ncy) LM(a2+ba)cæ% +LN(a2+c2)bay + MN(b2+c2)aby On aura semblablement les volumes des deux autres parallélepipèdes construits, l'un sur et les projections de r et r", et l'autre sur et les projections de ret r'; l'on voit que leur somme se réduit à abc, en vertu des équations (c) et (d) du lemme. Donc, etc. On prouverait facilement que : « Si l'on projette trois diamètres conjugués sur une droite qui » passe par le centre de la surface, et qu'on forme trois pa"rallélepipèdes dont chacun ait pour arêtes contigues deux dia» mètres et la projection du troisième, leur somme sera égale » à abc. » (15) « Si l'on a six diamètres dont trois soient conjugués et » les trois autres également conjugués entr'eux, le volume du pa» rallélepipède construit sur trois quelconques de ces diamètres » sera égal à celui du parallélepipède construit sur les trois autres. » En effet, le plan passant par les deux diamètres r', 7" a pour équation beax + acby+abyz = 0; (13) le sinus de l'angle qu'il fait avec le diamètre, dont l'extrémité a pour coordonnées xaż, y = bv, étant les cosinus des angles qu'un diamètre axes coordonnés, est z — α, &,, { fait avec les trois abccos R, 1.r'r" sin,r" Le premier membre est le volume du parallélepipède construit sur r," et : si est conjugué de ret r", p se confondra avec R; on aura cos,1, et ce volume se réduira à abc, comme nous l'avons déjà trouvé (11). Il est clair qu'on obtiendrait de même "sin" r. sin (r,..") = abc cos R, ,et étant trois diamètres conjugués; donc le volume du parallélepipède construit sur r', ", est égal au volume du parallélepipède construit sur, ", r; donc, etc. (16) La somme des carrés des volumes des trois paralléle» pipèdes construits sur un diamètre quelconque, et sur deux » des trois diamètres conjugués r, r, r", est constamment égale » à a2b2c2. " En effet, nous venons de trouver 1′7′′ sin 7^,r" ..4 sin (4,7′7′′) = abc cos R,‚p; on aura de même rr" sin r,r".. sin (4, rr") = abc cos K^,, rr' sin r1r.¿sin (1,rr') = abc cos élevant ces trois équations au carré, et les ajoutant membre à membre, on aura pour somme a2b2c2 (cos2 R1p + cos3 Rp + cos2 Rp) = a*b*c*, puisque R, R', R" sont rectangulaires. Donc, etc. (17) « Si l'on a deux diamètres fixes, ', et trois diamètres » conjugués r, r', r", qu'on forme six parallélepipèdes dont trois naient, et les trois autres, pour arête commune, et deux » des trois diamètres r, r," pour autres arêtes contiguës; la |