que a soit assez petit pour que sina puisse être négligé; mais il faut encore que la force, d'impulsion soit telle que la sixième puisse être négligée; quand ces condi puissance de a Va2 + gr tions seront remplies, on aura l'angle du pendule avec la verticale à un instant quelconque; quand elles ne le seront pas, il faudra reprendre les formules rigoureuses, et l'analyse précédente ne sera plus applicable. Maintenant pour déterminer complettement sa position, cherchons en fonction de t par la formule (5); elle est intégrable, soit qu'on cherche d'abord ∞ en z, soit qu'on cherche directement en : ce moyen est plus court. En remplaçant c et z par leurs valeurs, l'équation (5) devient Tirant delà sina et cos a, pour les substituer dans yet x, et y mettant aussi pour.z sa valeur en t, on trouve pour déterminer à chaque instant la position du mobile. On en dédait pour les équations de la trajectoire, ou r2 sin'ay2+r2k2x2 = r4k2 sin'a r2 sin3a z2 + r2x2 ( k2 — sin3« ) — r1 sin3a ( 1 — k2), = d'où il suit, qu'en général, la projection de la trajectoire sur le plan des xy est une ellipse, et sa projection sur le plan des zx est une ellipse ou une hyperbole, selon que k est <ousin α ; c'està-dire, selon que la vitesse d'impulsion est <ou>Vgr.tang a; mais on voit par le second systême, que quand c'est une ellipse sur le plan zx, c'est une hyperbole sur le plan zy, et vice versa. Pour le cas particulier k sin «, ou a = Vgr tanga, la pro jection sur le plan xy, devient un cercle de rayon rk, et chacune des autres devient une ligne droite pour laquelle z est constant et rcos a. Connaissant ainsi les équations de la trajectoire, il est très-facile de trouver les points qui répondent à une valeur donnée de . Leur z se trouvera immédiatement par zr cos è, et les x et les y de ces points sont ceux de la rencontre du cercle y2+ x2 = r2 sin30 avec l'ellipse r2 sin3a y2 + r2k2x2 = r4k2 sin2α. On trouve pour la vitesse du mobile à un instant quelconque, Il est facile de voir qu'elle atteint son maximum, quand prend la plus petite valeur, c'est-à-dire, quand le mobile est au point le plus bas de sa trajectoire, et qu'elle atteint son minimum; quand prend sa plus grande valeur, c'est-à-dire, quand le mobile est au point le plus haut de sa trajectoirė. Pour le cas de constant, cette vitesse est constante et égale à la vitesse d'impulsion a. En faisant ao dans tout ce qui précède, on retrouve lè pendule simple à petites oscillations, et toutes les circonstances de son mouvement. Sur le mouvement de Rotation des corps libres; par M. RODRIGUES, licencié ès-sciences. Je prends dans la mécanique de M. Poisson les six équations du mouvement de rotation des corps libres, et je me propose d'intégrer complettement ces six équations dif férentielles, en conservant aux axes des coordonnées toute leur généralité. Je parviens, de même que dans l'ouvrage cité, aux équations Ap+Bq+Cr2 = h2, Apa +Bqb+ Crc = 1, Apa'+Bqb' + Crc' = Apa"+Bqb"+ Crc"", ces trois équations carrées et ajoutées donnent au moyen des équations Ap2+Bq+Cr2=h2, A2p2+Baq2+C2r2=K1 et des équations (c), on élimine p et q, et l'on a ainsi entrer et le tems une équation, où les variables se séparent sur-le-champ, et qui donne le tems en fonction de r au moyen d'une intégra tion. Ainsi, p, q, r sont déterminés en fonction du tems. Substituant ces valeurs dans les équations (b), on a trois équations entre,,, et le temps t, mais qui se réduisent à deux à cause que l2 + 112 + 1K. Il faut donc encore une intégrale pour compléter la solution de ce problême. Pour la trouver, j'observe que les équations (b) étant multipliées et ajoutées, la première par a, la deuxième par a', la troisième par a", donnent Je multiplie la première par p, la seconde par 9; je les ajoute ensuite, et je divise par (al+a'l'+a"l" )2 + (bl + b'l' + b "L")3, qui est égal à K-Cr; j'obtiens ainsi dt (Ap2 + Bq3) K2 - C22 = (al + a'l'+a"l") pdt + (bl + b′l'+b"l") qdt j'ai trouvé que cette formule était intégrable. En effet, mettons à a = cos sinsino + cos ↓ coso, b = cose sin cos o - —cos c = sine sin, sin, pdt sine sin od↓ — cos çdo', +do (sin cos y sin cos sin cos of cos' coscos sin cos sia), ou de même Ainsi or, a pbqsin cos sind ↓ -COS jde, (al + a'l' + a"l" ) pdt + ( bl + b'l' + b"l" ) qdt 2 = K2 — (cl + c'l' + c!l!)2 K-[sin(lsin+l'cos) + "cos 0 123 on a donc dt = 1 sing d↓ (cos (/sin↓+l'cos↓)—l'sin) —do (leos↓~7 sinf) , (d) Ap+ Bq K2 — Cǝr2 puisqu'on connaît p, q, r en fonctions du tems; en substituant leurs valeurs dans le premier membre de cette équation, on aura une formule qu'on intégrera par quadrature. Si donc je parviens' à intégrer le deuxième membre en regardant les variables 6,4, comme indépendantes, j'aurai la dernière équation nécessaire pour compléter la solution du problême. J'observe qu'en divisant haut et bas par sin dans la formule (d), et faisant cot, l'angle e disparaît, et la formule devient dx.(lcos—l'sin ↓ ) + d↓ (x ( l sin↓+l'cos ↓) — 2′′) K1 (1 + x2 ) − ( 1"x+7sin+l'cos ↓ )2 › le dénominateur prend la forme ; (d) ( K'—l112) x2 — 2xl (lsin+l'cos ↓)+K-(lsin++l'cos). Si on le multiplie par K-1", et qu'on observe que 2 2 K2 — 1" 2=l2+1'( sin++'cos)+(2 cos-l'sin)", il devient [(K2 —— l'3) x — 1" (2 sin ↓ + l'cos ↓ )]2+K3 ( l cos ↓ — l′sin ↓ )*. Ainsi la formule (d) devient (K-2)(Icos-l'sin↓)dx—(K3—l"3)d↓[lx(lsin++l'cos↓)] (d) [(K2 — 1" 3) x — 1"(Zsin↓+l'cos↓)]2+K2(l cos ↓ — l'sin ↓)2 Sous cette forme, elle est facilement intégrable par rapport à x, et l'on trouve pour résultat |