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la somme de ces trois quantités est

'sin 'sin

Donc, etc.

(cos,cos+cos,cosR'+ cosR^,cos,

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On doit regarder la base d'un des parallélepipèdes sur le plan de et, par exemple, comme positive quand elle est comprise dans l'angle des diamètres,, ou dans l'angle formé par leurs prolongemens, et comme négative quand elle est comprise entre un diamètre et le prolongement de l'autre.

(25) Si, par le centre de l'ellipsoide, on mène une droite "fixe, les plans tangens aux extrémités de trois diamètres con» jugués quelconques la rencontreront en trois points tels que la "somme des carrés des valeurs inverses de leurs distances au » centre de la surface sera une quantité constante. » En effet, soient, les cosinus des angles que cette droite fixe fait avec les trois axes coordonnés, et l, m, n les distances de l'origine aux points où elle perce les trois plans tangens aux extrémités des diamètres r, r', r", on aura

ν

t

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le second membre est une quantité constante; donc, etc. (26) On démontrerait de même le théorème suivant :

«Si, par le centre de l'ellipsoide, l'on mène deux droites » fixes, les traces des plans tangens aux extrémités de trois dia» mètres conjugués, sur le plan de ces deux droites, formeront » avec elles trois triangles dont la somme des valeurs inverses » sera une quantité constante. »

(27) « Si l'on multiplie deux à deux et par le sinus de l'angle qu'elles comprennent, les faces qui forment un angle trièdre

» du parallélepipède construit sur trois diamètres conjugués, la "somme des carrés des trois produits est une quantité cons

» tante. "

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En effet, le volume du parallélepipède construit sur r, r,

TM", est

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1—cos,r-cos',"-cost,r"+2cos, cost,"cost,r"=abc';

multipliant et divisant le premier membre par r sin sin rr",

l'on a

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rr' sin rr.rr" sin rr" sin D = aber ;

en appelant D l'angle dièdre dont l'arête est r, l'on aura • de même

r'r sin rr.rr" sin rr" sin D'abcr',

"rsinrr.r"r' sin rr′ sin D"= abcr",

D', D" étant les angles dièdres dont les arêtes sont r, r"; la somme des carrés de ces trois quantités est égale à

a2b2c2 (ra + r22 + r"2) = a2b3c2 (a2 + b2 + c3);

donc, etc.

(28) « La somme des momens d'inertie d'un ellipsoïde, par rapport à trois diamètres conjugués, multipliés par les carrés » de ces diamètres respectivement, est une quantité constante. » En effet, les momens d'inertie de l'ellipsoïde, par rapport aux diamètres r, r', r“, sont

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Métant la masse de l'ellipsoïde (Mécanique de M. Poisson,

M

5

(c2+a2), C=1/7 (a2+b*);

1

tome II, page 81). D'après les équations (c) du lemme, il vient

=

Kr2+K'r2+K","2 = Aa2 + Bb2 + Cc2

M

5

[a3 (c2 + ba) + b2 (a2 + co) + c2(a2 + b3)]

2.M

2—12 (aaba +a°c3 + b2c2) ;

cette quantité est constante. Donc, etc.

(29) Si deux courbes S, S' sont tracées dans le plan » qui passe par les extrémités de trois diamètres conjugués, » qu'on les projette, par des droites parallèles à ces diamètres, » sur les plans qu'ils forment deux à deux, et qu'on conçoive "six pyramides qui aient pour bases ces projections, et pour >> sommet commun un point quelconque de la surface, la somme » des produits deux à deux de celles de ces pyramides dont » les bases sont sur le même plan, est égale au produit des » deux pyramides qui ont pour bases les deux courbes S, S', » et pour sommet commun le centre de la surface. "

En effet, soient r,, r" les trois diamètres conjugués; la projection de la courbe S sur le plan de ret r" est S

sin(r,Σ)

sin(r,r'′r")

la pyramide qui a cette projection pour base, et l'extrémité du

diamètre pour sommet, a pour volume

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S sin(r,)

3 sin(",").sin(1, rʻr");

(15), et r sin(r,r′r") ==

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abc

r'r"sin

l'expression du volume devient r. sin (r,z) cos R1, ou

3

SK.cos, en désignant par K la distance du plan Σ au

3

centre de la surface. La pyramide qui a pour base la projection de S' sur le même plan r'r", aura de même pour volume

S'

3

SK SK

33

cos2 R1p;

K cos R,p; le produit de ces volumes est les deux autres produits semblables seront, d'après cela,

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puisque les trois diamètres R, R, R" sont rectangulaires, ré◄

sultat qui démontre le théorème énoncé.

En voici une seconde démonstration.
L'ellipsoïde rapporté à ses trois diamètres conjugués 7, r′, r′′

a pour équation

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X'sin2(r,) + Yasina (r′,Σ) + Z2 sin2 (r′′,Σ) =

K2,

en appelant K la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan Σ qui passe par les extrémités de r, r′, r". On peut écrire cette équation sous la forme :

SS' sin (r,)

X'sin2(r,r'r"). 3.3 ⋅ sin2(r,r'r")

SS sin2 (r",)

+ Zasin2(r”,rr′)·3.3' sin2(r",rr′)

SS' sin2(,)

+Y'sin2(r',rr")·3.3 sin2(r,rr")

SK S'K

== 33

dont l'inspection conduit à l'énoncé de la proposition.

Il est facile de voir que ce théorème et cette seconde démonstration s'appliquent à un nombre m de courbes situées dans

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3m pyramides qui ont pour bases les projections de ces courbes sur les trois plans coordonnés, soit sur la surface

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Le théorème du n° 16 est un cas particulier du précédent. (30) « Les propriétés du parallélepipède construit sur trois » diamètres conjugués appartiennent au parallélepipède qui a "ses arêtes dirigées suivant les perpendiculaires abaissées du » centre de la surface sur les faces du premier, et égales aux " valeurs inverses de ces perpendiculaires. »

Cet énoncé renferme plusieurs théorèmes auxquels il serait facile d'appliquer des démonstrations semblables aux précédentes; mais en voici une qui est générale; elle consiste à observer que si sur la perpendiculaire p abaissée de l'origine sur le plan tangent à l'extrémité du diamètre r, on prend une partie égale à sa valeur inverse, c'est-à-dire à on aura un diamètre de la surface a2x2 + b3y2 + c2z2 = 1, qui se déduira de la droite R, par rapport à cette surface, de la même manière que r s'est déduit de R dans la surface

х2 a2

1

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+ + = 1.

1 1

Les trois perpendiculaires p, p, p" abaissées de l'origine sur les faces du parallélepipède construit sur r, r, r" sont donc dirigées suivant les trois diamètres de la surface a2x2+b2y2+c2z2=1, qu'on déduit des trois droites R, R', R"; et leurs valeurs insont égales à ces diamètres, lesquels sont conp' p" p" jugués quand R, R', R" sont rectangulaires. Ainsi les droites 1 1 1 sont trois diamètres conjugués de la surface a2x2 + p' p''p"

verses

b2y2 + c2¿2 = 1, en même tems que r, r', r" sont des diamètres

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conjugués de la surface + + =1 ›

théorème énoncé.

ba a2

I 1 1

(31) Quand les trois diamètres

P''P

ce qui démontre le

sont rectangulaires, la somme des carrés de leurs valeurs inverses est constante, c'est-à-dire que p2 + p2+p"2 = a2 + b2 + c2 (5); il suit de là que:

Le point d'intersection de trois plans rectangulaires tangens x2 y2 za à la surface++ = 1, se meut sur la sphère

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x2 + y2+z2=a2 + b2+c2 (*).

Car le carré de la distance du point d'intersection de ces trois plans à l'origine est p2+p+p" a2 + b2 + c2.

On peut démontrer ce théorème en observant que les conditions pour que les trois plans tangens aux extrémités des diamètres r, r," soient rectangulaires, expriment que les trois diamètres R, R', R" sont conjugués; que par conséquent la somme de leurs carrés est a2 + b2+c22 (8); or R=p, R'=p', R"-p" (3); donc p2+p+p" = a2 + b2 + c2; donc le point d'intersection, etc.

(32) En voici une troisième démonstration.

Soit r, la longueur du diamètre qui dérive de r, de la même manière que nous avons déduit r de R (2); les coordonnées

de l'extrémité de ce diamètre seront x=

a2 a

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=- z=

y r

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et le plan tangent à l'ellipsoïde, en ce point, aura pour équation ax+by+yz=1.

(*) Ce théorème, donné par M. Monge a été démontré par M. Poisson, premier volume de la Correspondance, page 240, et Traité des Surfaces du second degré, page 234.

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