Application à l'ellipsoide de différentes propriétés de la sphère.

a

Concevons une surface rapportée à trois plans rectangulaires; déformons-la de manière que les coordonnées x, y, z d'un de ses points deviennent X==¤, Y=y, Z=¦ż, a, b, c et étant trois quantités constantes. L'on formera ainsi une nouvelle surface qui sera du même degré que la proposée, puisque l'on a x=-X, y={Y, z=!Z; Z; nous appellerons cette nouvelle surface dérivée de la première.

с

Cette transformation donne le moyen d'appliquer à une surface des théorèmes qu'on sait appartenir à une autre surface du même degré.

Soit, par exemple, la sphère qui a pour équation

La courbe dérivée d'un cercle de la sphère sera une courbe plane; la surface dérivée d'un cône tangent à la sphère sera un cône tangent à l'ellipsoïde; donc la courbe de contact d'un cône et d'un ellipsoide est une courbe plane.

Par deux cercles d'une sphère on peut faire passer deux cônes; donc par deux courbes planes d'un ellipsoide on peut faire passer

deux cônes.

La courbe dérivée d'un grand cercle de la sphère est située dans un plan diamétral de l'ellipsoïde, par conséquent plusieurs des théorèmes de la théorie des transversales sphériques s'appliquent à des courbes tracées sur la surface d'un ellipsoïde, dans des plans passant par son centre.

Toutes les sphères ont pour dérivées des surfaces semblables et semblablement placées entr'elles.

Car soit

(x — 1)2 + (y — m)2 + (z — n)3 = ¿1 l'équation d'une sphère; celle de sa dérivée sera

ou

Y

bm

(x-4)2 + (x − b )2 + ( z − ) = 1,

et l'on voit que cette surface est semblable à celle qui a pour équation

a b
6

Son centre, dont les coordonnées sont 1,m,n est le point dérivé du centre de la sphère (x-1)2+(y—m)2+(z—n)'—i3. D'après cela, les théorèmes relatifs aux contacts des sphères ont lieu pour des ellipsoïdes semblables et semblablement placés. Ainsi le centre d'un ellipsoïde s. et s. p. (semblable et semblablement placé), et tangent à deux autres, se meut sur une surface du second degré.

Le centre d'un ellipsoïde s., s. p. et tangent à trois autres, se meut sur une courbe du second degré.

La suite des points de contact de cet ellipsoïde et de l'un des trois autres, est une courbe plane;

Etc., etc.

Mais il n'est pas nécessaire de démontrer d'abord pour des sphères tous ces théorèmes, pour ensuite les appliquer, ainsi que nous venons de le faire, aux ellipsoïdes; il est facile de les démontrer généralement pour des surfaces du second degré ss. et s. ps., soit par l'analyse, soit en ne posant aucune équation.

Le même mode de transformation peut aussi servir pour résoudre des problèmes de Géométrie descriptive.

Il sera facile, par exemple, de trouver, avec la ligne droite. et le cercle, les points d'intersection d'une droite et d'un ellipsoïde dont on connaîtra les six sommets; de mener par une droite un plan tangent à cet ellipsoïde, etc.

Une propriété importante de notre système de transformation. est que

"

«Le volume d'un corps quelconque est le même que celui

3

de son dérivé, quand = √ abc.

Pour le prouver, prenons d'abord une pyramide triangulaire située d'une manière quelconque par rapport aux trois plans coordonnés; l'expression de son volume se compose, comme on sait, d'une suite de produits de trois facteurs qui sont des coordonnées des sommets de la pyramide; et les coordonnées de

chaque facteur sont différentes, c'est-à-dire sont dirigées, l'une suivant l'axe des x, l'autre suivant l'axe des y, et la troisième suivant l'axe des z; (*) par conséquent la pyramide dérivée aura abc

03

pour volume la même expression multipliée par ; mais je suppose que abc; donc les deux pyramides auront même volume.

Or tout corps peut être regardé comme composé d'une infinité de pyramides triangulaires infiniment petites qui auront toutes leurs égales en volume dans son dérivé; donc le théorème est démontré.

Il suit de là qu'une portion quelconque de l'ellipsoïde X2 Y2 Z2

+ + =1 aura même volume qu'une portion corresa2 ba c2

3

pondante de la sphère x2+ y2+z2=(Vabc)', et que par conséquent l'ellipsoïde aura pour volume zabc.

Il suit aussi de ce qui précède que quand le sommet d'un core tangent à un ellipsoïde se meut sur la surface d'un ellipsoïde s., s. p. et concentrique au premier,

1o. Le volume compris entre la surface du cône et celle de l'ellipsoïde, depuis le sommet jusqu'à la courbe de contact, est constamment le même;

2°. Le volume du segment déterminé dans l'ellipsoïde par le plan de la courbe de contact du cône, est toujours le même ; 3°. Le volume du secteur semblablement déterminé reste également le même;

Etc., etc.

Démonstration des théorèmes sur les surfaces du second degré, énoncés par M. Monge, Correspondance sur l'Ecole Polytechnique, tom. II, p. 519; par M. CHASLES.

(1) Lorsque deux surfaces quelconques du second degré » sont concentriques, il y a toujours dans chacune d'elles trois » diamètres conjugués dont les directions sont les mêmes que » celles de trois diamètres conjugués considérés dans l'autre. " En effet, supposons les deux surfaces rapportées à trois axes qui soient les diamètres conjugués rectangulaires de la première; elles auront pour équations

(*) Journal de l'Ecole Polytechnique, 15e cahier, page 97.

Ax2 + By + Cz2 = 1,

A'x2 + B′y2+ C'z2 + 2D′yz + 2E'xz+2F'xy

= 1,

Menons par l'origine trois nouveaux axes ox, oy', oz', dont les équations soient

x = az

y = bz pour

le

x = a'z

er 1

y = b'z

pour le 2°, et *="z

x=a′′z} y= b'

pour le 3°; les formules qui serviront à passer du système d'axes rectangulaires ox,oy, oz, aux axes obliques o.x', oy', oz', seront : (Traité des Surfaces du second degré, par M. Hachette, p. 120.)

Si l'on substitue ces valeurs de x, y, z dans les équations des deux surfaces, et qu'on égale à zéro les coefficiens des termes en x'y', x'z', y'z', pour exprimer que les trois axes o, oy, oz' sont, dans chacune des surfaces, trois diamètres conjugués, on aura les six équations......(4)

Aad Bbb+c=0,
Aaa" + Bbb"+C=0,.
Aa'a"+Bbb"+C=0,

A'aa' +B'bb'+C′+D′ (b+b′) +E'(a+a')+ F′′ (ab′-+ba') =
A'aa" +B′bb" +C'+D′(b +b′′) +E′(a+a′′)+F" (ab"-+- ba′′) ·
A'd′a"+B′b′b"+C′+D′(b'+b′′)+E′ (a′+a")+F" (a′b"+b′a′′) :

lesquelles donneront les valeurs des six inconnues a, b, a, b', a", b".

Multiplions la première par a", et la seconde par a', et retranchons-les l'une de l'autre; puis multiplions la première par b" et la deuxième par b', et retranchons-les encore l'une de l'autre; nous aurons les deux suivantes :

Bb (a'b" - b'a") + C(a' —a") = 0,
Ac (ab"-b'a") + C(¿"— b') = 0;

0,

0,

faisant les mêmes opérations sur la quatrième et la cinquième des équations (A), on obtiendra

(B′b+F'a+D′)(a′b′′—a′′b′) + (D′b+E′a+C′)(a'—a′′) = o, (A'a+F'b+E′)(a′b"—a′′b′) + (D′b+E′a+C')(b"—b′)=0;

éliminant

a'b"-b'a"

a-a"

entre la première et la troisième de ces

ab"-b'a"
"b"-b'

entre la seconde et la qua

quatre équations, et
trième, on parvient à deux équations qui ne contiennent que
a et b; elles sont

(B'b+Fa+D')C — (D'b+E'a+C')Bb = 0,
(A'a+F'b+E)C — (D'b+E′a+C) Aα = 0.

Si de cette dernière, qui ne contient b qu'à la première puissance, on tire la valeur de cette inconnue, et qu'on la substitue dans l'autre équation, les termes en at se détruiront, et il restera une équation du troisième degré qui donnera toujours une valeur réelle pour a; mettant cette valeur dans la seconde des équations précédentes, on aura une valeur réelle correspondante de b. Ces deux valeurs de a et b détermineront Ja position de l'axe ox'; on les substituera dans la première et la quatrième des équations (A) on aura par là deux équations du premier degré en a et b', desquelles on tirera des valeurs réelles pour ces deux inconnues; les mettant dans les troisième et sixième équations (A), on aura deux équations qui donneront des valeurs réelles pour a" et b". Ainsi les trois axes ox, oy', oz seront parfaitement déterminés et pourront toujours l'être; donc le théorème est démontré.

Les équations (A) étant symétriques par rapport aux inconnues, les valeurs de a, a', a" doivent être données par la même équation; mais nous venons de voir que cette équation n'est que du troisième degré; elle ne donne donc qu'une valeur pour chacune des inconnues a, a, a"; donc, en général, il n'existe qu'un système d'axes qui satisfasse à la question. Si la première surface est une sphère, les trois axes or', oy', oz sont rectangulaires, donc :

Dans toute surface du second degré il existe trois axes coor donnés rectangulaires pour lesquels l'équation de la surface ne renferme pas les rectangles xy, xz, yz. (Traité des surfaces du second degré, page 162).