M. Monge appelle droites diametrales conjuguées communes les trois directions des trois diamètres conjugués qui sont parallèles entr'eux respectivement dans les deux surfaces. (2) Les équations des deux surfaces, rapportées à leurs trois droites diamétrales conjuguées communes, sont Ax2+By+ Cz2 = 1, éliminant successivement x, y et z entre ces deux équations, on a les trois suivantes : (AB'—BA') y2 + (AC′—CA′)z2 — A—A′, qui représentent les projections de l'intersection des deux sur faces sur les trois plans coordonnés ; par conséquent cette intersection est toujours comprise en même tems sur les surfaces de trois cylindres qui ont pour bases des sections coniques et qui sont parallèles aux trois droites diamétrales conjuguées communes. Cela fournit une construction des trois droites diamétrales conjuguées communes qui deviennent, comme je l'ai déjà observé, les trois axes rectangulaires de l'une des deux surfaces, lorsque l'autre est celle d'une sphère. Quels que soient les signes des trois quantités (AB'—BẠ'), (AC-CA), (BC-CB'), dont le dernier n'est plus arbitraire quand les deux autres sont différens, deux des trois courbes que représentent les trois équations précédentes sont du genre de l'ellipse, et l'autre du genre de l'hyperbole. (3) Supposons qu'on fasse croître proportionnellement les trois paramètres A, B, C; on aura une suite de surfaces toutes concentriques, semblables entr'elles et semblablement placées; leur équation générale est n (A'x2 + B′y2+Cz2) = 1; chaque valeur de n donne une de ces surfaces. A Faisons n Α auquel cas la nouvelle surface et la pre mière, dont l'équation est Ax2+ By2 + Cz2 = 1, ont leurs dia. mètres suivant l'axe des x égaux. L'équation de la projection de leur intersection sur le plan. des. yz est (AB'— BA') y2 + (AC′— ÇA′)z2 = 0; soit AB'-BA'>0, AC-CA'>0; cette équation donne yo, 2=0; donc les deux surfaces se touchent en deux points situés sur l'axe des x, et n'ont pas d'autres points communs. B Bi B' Donnons à n une autre valeur égale à l'intersection de la nouvelle surface et de la première a pour projection sur le plan des xz, (AB'— BA')x — (BC′— CB′)z2 = 0 ; soit BC-CB'>o; nous avons déjà posé AB'—BA'>0; par conséquent cette équation représente deux droites passant par l'origine; donc, dans ce cas où les deux surfaces ont leurs diamètres suivant l'axe des y égaux, elles se coupent suivant deux courbes planes dont les points d'intersection sont sur l'axe des y; il est clair qu'en ces points les deux surfaces se touchent. n C Supposons enfin à ʼn la valeur ; la projection de l'intersection de la surface fixe et de la nouvelle, sur le plan des xy, est (AC—CA')x2 + (BC'— CB′) y2=0, l'on a AC-CA′ > 0, BC′— CB'>o; donc cette équation donne x=0, yo, et par conséquent les deux surfaces se touchent en deux points situés sur l'axe des z et n'ont pas d'autres points communs. On peut faire d'autres combinaisons sur les signes des quantités (AB-BA′), (AC'—CA'), (BC'— CB′), mais on parvient toujours à ce théorème : «Les trois droites diametrales conjuguées communes ne jouissent » pas toutes trois des mêmes propriétés. Pour deux de ces droites, » si les diamètres des deux surfaces qui se trouvent sur l'une » d'elles sont égaux entr'eux, les surfaces se touchent dans deux » points diamétralement opposés, et n'ont pas d'autres points » communs pour la troisième, si les diamètres des deux sur» faces sont égaux entr'eux, non-seulement les deux surfaces se » touchent en deux points diamétralement opposés, mais encore » elles se coupent dans le système de deux courbes planes pour » lesquelles les deux points de contact des surfaces sont deux "points d'intersection." Cela oblige à distinguer les trois droites diamétrales conjuguées communes en deux extrêmes et une moyenne. L'axe des x, par exemple, sera une droite diamétrale conjuguée commune extrême, ou moyenne, suivant que les deux coefficiens de y et z2 dans l'équation de la projection de l'intersection des deux surfaces sur le plan des yz, seront de mêmes signes ou de signes différens. (4) Dans le cas général, c'est-à-dire lorsque les deux surfaces quelconques du second degré ne sont pas concentriques, et quelque part que soient placés leurs centres, il y a toujours dans chacune d'elles trois diamètres conjugués qui sont respectivement parallèles à trois diamètres conjugués considérés dans l'autre. Car si l'on conçoit une troisième surface concentrique à la première, semblable et semblablement placée à la seconde, elle a, d'après ce qui précède, trois diamètres conjugués respectivement parallèles à trois diamètres conjugués de la première; mais tous ses diamètres conjugués sont parallèles à des diamètres conjugués de la seconde surface; donc deux surfaces quelconques du second, degré ont chacune trois diamètres conjugués parallèles à trois diamètres conjugués de l'autre. Nous appellerons toujours droites diametrales conjuguées communes les droites parallèles à ces diamètres; deux sont extrêmes et la troisième moyenne. Si l'on rapporte les deux surfaces à ces trois droites diamétrales, par des coordonnées qui soient respectivement parallèles à ces droites, leurs équations seront Ax2 + By2 + Cz2 = 1, A'(x-a)+B'(y—b)2 + C′(z—c)2 = 1, la première surface ayant son centre à l'origine des coordonnées et la seconde au point dont les coordonnées sont a, b, c. (5) Voyons ce qui a lieu quand les deux surfaces se touchent. Si elles se touchent en deux points, elles ont deux plans tangens communs en ces points; or on ait que le plan qui passe par la droite d'intersection de deux plans tangens à une surface du second degré, et par le milieu de la droite qui joint les deux points de contact, contient le centre de la surface et est diamétral opposé à cette droite; donc le plan qui passe par les centres des deux surfaces et par le milieu de la droite qui joint leurs points de contact est, dans les deux surfaces, plan diamétral opposé à cette droite, laquelle est par conséquent parallèle à l'une des trois droites diamétrales conjuguées communes aux deux surfaces. Examinons à laquelle. Les deux surfaces devant avoir leurs centres dans le plan diamétral opposé à l'une des droites conjuguées communes, supposons que ce soit dans le plan des yz; leurs équations seront Ax2 + By2 + Cz2 = 1, L'intersection de ces deux surfaces a pour projection sur le plan des yz la courbe représentée par l'équation (AB'—BA') y2+(AC' — CA′)z2 — 2AB′by — 2AC cz +AB'b2 + AC′ċ2 — A — A', qui peut se mettre sous la forme (B). S+ (AC'—CA'){(AB'—BA') y — AB'b}' + (AB'—BA'){(AC—CA')z — ACc}2 Or, si les deux surfaces se touchent, pour chaque point de con dy' dz' tirées de la première équation, dx dx tact les valeurs de les valeurs de y et z que donnent ces deux équations sont les coordonnées des points de contact des deux surfaces; ces points se trouvent sur leur intersection, ainsi ces valeurs doivent satisfaire à l'équation (B); pour cela il faut qu'on ait (AB′b2 + AC′c2+A'—A) (AC'— CA') (AB'— BA′) (AC' — CA')A2B′2b2 —— (AB' — BA') A2C12c2 = 0 ; telle est la condition nécessaire pour que les deux surfaces se touchent. D'après cela, l'équation (B) se réduit à S (AC—CA'){(AB'— BA') y — AB'b}a (B).·.·{+ (AB—BA'){(AC—CA) %— ACc}=0. Lorsque les deux coefficiens (AB'—BA'), (AC'—CA′) sont de même signe, cette équation fournit les deux autres, =0, ·(AB'—BA')y—AB'b=0, (AC-CA')z—AC′c = 0, qui représentent un point sur le plan des yz; les deux surfaces se touchent donc en deux points situés sur une droite parallèle à l'axe des x, et n'ont pas d'autres points communs; dans ce cas l'axe des x est une droite diamétrale conjuguée commune extrême (3). Lorsque les deux coefficiens (AB'—BA'), (AC'—CA′) sont de signes différens, l'équation (B') représente deux plans se coupant suivant une droite parallèle à l'axe des x; donc les deux surfaces se coupent suivant deux courbes planes en même tems qu'elles se touchent; mais dans ce cas l'axe des x est parallèle à la droite diamétrale conjuguée commune moyenne. On peut donc conclure ce théorème : «Lorsque deux surfaces quelconques se touchent en deux » points, la corde commune qui passe par les deux points de contact "est toujours parallèle à l'une des trois droites diametrales con» juguées communes : cette droite est une des extrêmes, si les » deux surfaces n'ont d'autres points communs que leurs points » de contact; elle est, au contraire, la droite diametrale » moyenne, si les deux surfaces se coupent en même tems qu'elles » se touchent, et alors l'intersection est composée du système » de deux courbes planes pour lesquelles les deux points de » contact des surfaces sont deux points d'intersection. »> L'équation (B') fait voir que les deux surfaces et le système des deux plans de leurs courbes d'intersection ont les mêmes droites diamétrales conjuguées communes. (6) « Lorsque deux surfaces du second degré se coupent sui» vant deux courbes planes, ces deux surfaces et le système des » deux plans de leurs courbes d'intersection ont les mêmes droites » diamétrales conjuguées communes ; la moyenne de ces droites » est parallèle à la droite d'intersection des deux plans. » Nous venons de voir que ce théorème a lieu dans le cas où les deux surfaces se touchent en même tems qu'elles se coupent; démontrons-le généralement. Par les deux courbes d'intersection des deux surfaces on peut faire passer deux cônes (Correspondance, tome III, p. 14); leurs sommets et les centres de ces deux courbes sont dans un même plan qui contient les centres des deux surfaces; ce plan est dans chacune de ces surfaces plan diamétral opposé à la droite d'intersection des plans de leurs deux courbes communes ; cette droite est donc une des trois droites diamétrales conjuguées communes aux deux surfaces, et ce plan diamétral contient les deux autres. Prenons-le pour plan des xz, les deux surfaces auront pour équations rapportées à leurs trois droites diamétrales conjuguées communes, Ax2 + By2 + Cz2 = 1, A′(x — a)2 + B'y2 + C′(z — c)2 =1; ་ |