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celle de la projection de leur intersection sur le plan des xy sera

(AB'—BA′)x2 — (BC'—CB′)z2 + 2BA′ax + 2BCcz

= B'-B+BA'a2 + BC'c2,

et devra représenter deux droites, puisque les deux surfaces se coupent suivant deux courbes planes dont les plans sont parallèles à l'axe des y.

Or, pour que cette équation représente deux droites, il faut 1°. Que (AB'—BA′) et (BC— CB′) soient de mêmes signes, ce qui prouve que l'axe des y est la droite diametrale conjuguée commune moyenne des deux surfaces (3);

2°. Que l'on ait la condition

:

(BA'a2+BC' c2+ B'— B) (AB'— BA′) (BC'— CB') +(BC'—CB′)B2A'2a2 — (AB'—BA′)B2C'2c2 = 0. D'après cela, l'équation précédente prend la forme : (AB'—BA') { (BC'— CB′)z — BCc}'

(BC' — CB') { (AB'—BA')x+BA'a}2 = 0,

et l'on voit qu'elle représente deux plans parallèles à l'axe des y le système de ces deux plans forme une surface du second degré rapportée à trois de ses axes conjugués.

Ainsi les deux surfaces proposées et le système des deux plans de leurs courbes d'intersection ont les mêmes droites diamétrales conjuguées communes; la moyenne de ces droites est parallèle à l'intersection des deux plans.

De ce théorème on pourrait déduire tout le précédent.

On peut en conclure aussi que quand deux surfaces se touchent en deux points sans se couper, ces deux surfaces et le système de leurs deux plans tangens communs ont les mêmes droites diamétrales conjuguées communes. Car alors les deux surfaces peuvent être considérées comme se coupant suivant deux courbes planes infiniment petites, par lesquelles passent leurs deux plans tangens communs.

(7) Deux surfaces quelconques du second degré étant dor» nées, si, 1°. leurs centres sont placés sur une même droite » diamétrale conjuguée commune extrême; et si, 2°. les sec"tions faites dans les deux surfaces par le plan diamétral op"posé à cette droite, sont semblables entr'elles, l'intersection des » deux surfaces est composée du système de deux courbes planes » du second degré, semblables entr'elles, semblablement placées » et dont les deux plans sont parallèles au plan diamétral, et » par conséquent parallèles entr'eux. »

En effet, supposons que le centre de la première surface étant à l'origine des coordonnées, celui de la seconde soit sur l'axe des x, les équations des deux surfaces seront

Ax2 + By + Cz2 = 1

A′(x — aŸ3+B'′y2 + C′z2 = 1,

et l'on aura la condition BC-CB'—9, qui exprime que les sections des deux surfaces par le plan des yz sont semblables

entr'elles.

Multipliant la première équation par B' et la seconde par B, et les retranchant l'une de l'autre, on a

(AB'—BA′) x2 + 2A'Bax— (BA'a2+B'—B) = 0,

équation qui représente deux plans parallèles au plan des yz, sur lesquels se trouvent les courbes d'intersection des deux surfaces. Si l'on substitue successivement dans l'une des deux équations de ces surfaces, les deux valeurs de x tirées de la précédente, on aura les équations de ces deux courbes, qui sont semblables et semblablement placées à celle que représente l'équation By2+ Cz2=1.

Il faut que l'axe des x, sur lequel sont les centres des deux surfaces, soit une droite diamétrale conjuguée commune extrême; car les plans des deux courbes d'intersection doivent être parallèles à la droite diamétrale moyenne (6), ce qui n'aurait pas lieu si cette droite était l'axe des x.

con

Lorsque les deux valeurs de x données par l'équation précédente sont égales, les deux courbes d'intersection_se fondent en une seule, et par conséquent les deux surfaces sont circonscrites l'une à l'autre, c'est-à-dire qu'elles se touchent dans une courbe. Cette courbe est plane et son plan est parallèle au plan diamétral opposé à la droite menée par les centres des deux surfaces.

(8) Réciproquement: « Lorsque deux surfaces du second » degré sont circonscrites l'une à l'autre, 1°. leur courbe de con>>tact est plane; 2°. la droite qui joint leurs centres est pa» rallèle à l'une de leurs droites diamétrales conjuguées com"munes extrêmes; 3°. le plan de leur courbe de contact est » parallèle au plan diamétral opposé à cette droite. »

1o. Si par trois points de la courbe de contact des deux surfaces on mène trois plans tangens à l'une d'elles, ils seront tangens à l'autre.

Concevons deux cônes qui aient leurs sommets au point d'intersection de ces trois plans, et qui soient tangens, l'un à la première surface, et l'autre à la seconde. Les deux courbes de

contact seront planes et passeront par les trois points par les quels nous avons mené les trois plans tangens, ainsi elles se toucheront en ces points et seront situées dans leur plan, ce qui exige qu'elles se confondent en une seule commune aux deux surfaces, qui par conséquent se touchent suivant une courbe plane.

2o. et 3°. Les centres des deux surfaces doivent se trouver sur la droite qui joint le centre de leur courbe de contact avec le sommet du cône qui leur est tangent suivant cette courbe; et le plan diamétral opposé à cette droite dans chacune des surfaces, est parallèle au plan de la courbe de contact du cône; donc cette droite est une des droites diamétrales conjuguées communes aux deux surfaces; il est facile de voir qu'elie est une des extrêmes; car les deux surfaces se coupent suivant deux courbes dont les plans se confondent en un seul, qui doit être parallèle à la droite diamétrale commune moyenne des deux surfaces (6); cette droite moyenne ne peut donc être la ligne des centres, laquelle par conséquent est une droite extrême.

(9) Lemme. « Lorsque deux courbes du second degré

» BMCN, DMEN touchent une troisième courbe du second

» degré BDCE(fig. 1), aux points B, C pour la première, et » D, E pour la seconde ; ces deux courbes se coupent en quatre points M, N, P, Q, tels que les droites MN, PQ passent » par le point d'intersection des deux droites BC, DE.» En effet, soit R le point d'intersection des tangentes à la

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courbe BDCE aux points B, C, et soit T celui des tangentes à la même courbe aux points D, E. La droite RT est rencontrée par les deux droites BC, DE en des points 0, K tels qu'on a AC AB OC OB, AE: AD :: KE KD (Correspondance, tome III, page 11); si par le point A l'on

mène une

droite quelconque qui coupe la courbe BMCN

♥ >

ε

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-

aux points 6, la courbe DMEN aux points, droite RT au point », l'on aura Ay : Aổ :: wy: w6,

Aww (Correspondance, tome III, page 11).

et la

A:

D'après cela, si nous menons une droite par les points Aet A,

et qu'elle rencontre les deux courbes BMCN, DMEN aux

points M', M" respectivement, et la droite RT en H, l'on aura AN : AM' :: HN: HM', AN : AM" :: HN:HM"; donc AM AM" :: HM : HM"; or il est facile de voir que les points M', M" sont d'un même côté de la droite RT; par conséquent il faut, pour que la dernière proportion ait lieu, que les deux points M', M" se confondent en un seul, qui est le point M; ainsi la droite MN passe par le point A. Il en est de même de PQ.

(10) « Lorsque deux surfaces quelconques du second degré sont circonscrites à une même troisième surface du second » degré, elles se coupent toujours dans le système de deux » courbes planes, dont les plans passent par la même droite que >> ceux des deux courbes de contact des deux premières surfaces » avec la troisième. » (*)

En effet, tout plan qui coupera les deux courbes de contact déterminera dans les surfaces trois courbes dont les deux premières toucheront la troisième, chacune en deux points, et par conséquent se couperont en quatre points qui seront deux à deux en ligne droite avec le point où le même plan rencontre la droite d'intersection Ldes plans deux des courbes de contact (9); donc chacune des courbes d'intersection des deux premières surfaces est telle que la droite qui joint deux quelconques de ses points rencontre la droite L; donc cette courbe est plane et son plan passe par la droite L; donc, etc.

La droite L est parallèle à la droite diamétrale conjuguée commune moyenne des deux surfaces circonscrites à la troisième (6). Le théorème précédent n'est qu'un cas particulier de celui-ci : (11) Lorsque deux surfaces du second degré coupent une » même troisième surface du second degré, chacune suivant deux » courbes planes, et que les plans de ces quatre courbes passent » tous les quatre par une même droite L, les deux premières » surfaces se coupent suivant deux courbes planes dont les plans » passent par la même droite L. »

Pour donner la démonstration de ce théorème, je me servirai du lemme suivant :

(12) Lemme. « Si, par un point A (fig. 2) pris dans le plan d'une » section conique, on mène quatre droites BC, B'C, DE, D'E » qui la coupent aux points B, C; B', C; D, E; D', E'; » que l'on fasse passer deux courbes du second degré, l'une

(*) C'est ce théorème qu'on a démontré pour un cas particulier, page 299 de ee cahier.

» par les quatre premiers points, et la seconde par les quatre » autres, ces deux courbes se couperont en quatre points M, » N, P, Q, tels que les droites MN, PQ passeront par le » point A. "

En effet, les quatre points OBC BC, RBB CC, K DE D'E, et TDD EE' seront sur une même droite TO (Correspondance, tome III, page 11). Si, par le point N et le point A, l'on mène une droite, elle rencontrera les courbes BBCC, DD'EE' en deux points M′, M" respectivement, et la droite TO en un point H, et l'on aura AN : AM' :: HN: HM, AN: AM" :: HN: HM"; d'où AM: HM :: AM": HM"; mais les points M', M" se trouvent toujours d'un même côté de la droite TO; il faut donc, à cause de la proportion précédente, qu'ils se confondent en un seul, qui est le point M. On verrait de même que PQ passe par le point A; ce qu'il fallait démontrer.

(13) Pour déduire de cette proposition la démonstration du théorème, menons un plan quelconque qui coupe les quatre courbes d'intersection des deux premières surfaces avec la troisième; il rencontrera la droite L en un point A, et déterminera dans les surfaces trois courbes telles que les points d'intersection des deux premières avec la troisième, seront deux à deux en ligne droite avec le point 4; donc les points d'intersection de ces deux premières courbes seront aussi deux à deux en ligne droite avec le même point A (art. 12, lemme), et cela aura lieu quelle que soit la position du plan coupant; donc l'intersection des deux premières surfaces est composée de deux courbes planes dont les plans passent par la droite L. Donc, etc.

J'ai démontré (Correspondance, tome III, page 11 et suiv.) les derniers articles du Mémoire de M. Monge; je me dispenserai de les rapporter ici; je ferai simplement observer qu'il existe une surface dans laquelle on trouve deux droites qui jouissent de propriétés réciproques, semblables à celles dont il est question dans l'article IX de ce Mémoire. C'est la surface enveloppe de l'espace parcouru par une surface du second degré semblable, semblablement placée et tangente à trois autres surfaces du second degré.

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