Propriétés de la surface enveloppe de l'espace parcouru par une surface semblable, semblablement placée et tangente à trois autres surfaces du second degré, semblables entr'elles et semblablement placées, La surface (E) qui enveloppe les surfaces (E), (='′), etc., semblables, semblablement placées et tangentes aux trois autres (N), (N′), (N") du second degré (*), peut être engendrée d'une seconde manière par une surface mobile (2) tangente à trois des surfaces (E), ('), etc. Les centres de similitude directe des surfaces (2), (2), etc. combinées deux à deux, sont sur une même droite L, et ceux des surfaces (), ('), etc. sont sur une droite λ. Les caractéristiques de la surface (E), considérée comme enveloppe de la surface mobile (E), sont des courbes du second degré, dont les plans passent tous par la droite L. Par deux de ces courbes on peut mener une surface semblable et semblablement placée à (2), (′), etc.; et un cône ayant son sommet sur la droite a; deux cônes ainsi déterminés se coupent suivant deux courbes du second degré dont les plans passent par la droite L. Par une seule de ces courbes on peut mener un cône tangent à la surface enveloppe, son sommet est sur la droite a; deux de ces cônes tangens se coupent suivant deux courbes du second degré dont les plans passent par la droite L. Pareillement : Les caractéristiques de la surface (E) considérée comme enveloppe de l'espace parcouru par la surface mobile (2), sont des courbes du second degré, leurs plans passent tous par la droite a. Par deux de ces courbes on peut faire passer une surface semblable et semblablement placée à (2), etc., et un cône ayant son sommet sur la droite L; deux cônes ainsi déterminés se coupent suivant deux courbes du second degré dont les plan passent par la droite a. Par une seule de ces caractéristiques on peut mener un cône tangent à la surface enveloppe, son sommet est sur la droite L, (*) Je suppose que la surface (E), qui en général peut toucher les trois surfaces (N), (N′), (N′′) de huit manières différentes, n'en enveloppe aucune op les enveloppe toutes trois. deux de ces cônes tangens se coupent suivant deux courbes planes dont les plans passent par la droite a. les Ainsi, dans la surface enveloppe que nous considérons, deux droites L, à jouissent, l'une par rapport à l'autre, de propriétés qui sont réciproques, comme dans les surfaces du second degré. Enfin par la courbe du second degré lieu des centres des surfaces (2), (2), etc., et celle qu'on obtient dans la surface (E) par un plan passant par la droite L, on peut mener un cône dont le sommet est sur la courbe lieu des centres des surfaces (E), ('), etc., et, par cette courbe et celle que détermine dans la surface enveloppe tout plan passant par , on peut mener un cône dont le sommet engendre la courbe des centres de (2), (2′), etc. Quand les surfaces (2), ('), etc. sont des sphères, les caractéristiques de la surface enveloppe (E) sont des cercles, et sont en même tems les lignes de courbures de cette surface. (Analyse appliquée à la Géométrie, par Monge, p. 328.) On peut tirer d'autres conséquences de ce cas particulier. (Voyez la Correspondance, tome II, p. 423). ASTRONOMIE ET GÉODÉSIE. Sur la détermination de la distance apparente des astres sujets à la parallaxe; par M. PUISSANT, Officier supérieur, chef des études à l'Ecole des IngénieursGéographes. Le calcul des éclipses de Soleil, ou des passages des planètes sur son disque, est fondé sur celui de la distance angulaire apparente de ces astres. Cette distance, considérée au même instant physique, n'est pas la même, à cause des parallaxes, pour tous les points de la Terre qui voient l'éclipse. En effet, le commencement ou la fin de ce phénomène ayant lieu pour un point particulier de la Terre, lorsque les disques des deux astres paraissent en contact, il arrive en général que ces disques, relativement à tout autre point, ne s'atteignent pas encore, ou que l'un anticipe sur l'autre. Il résulte de là que le problème des longitudes géographiques, par les éclipses de cette espèce, est un des plus compliqués de l'Astronomie-pratique. M. Lagrange a publié sur cette matière deux Mémoires très intéressans; l'un dans les volumes de l'Académie de Berlin (année 1766); l'autre dans les Éphémérides de cette ville, pour l'année 1782 ce second Mémoire vient d'être reproduit dans la Connaissance des Tems pour 1817. La méthode que cet illustre géomètre expose dans celui-ci, étant considérée analytiquement, ne laisse sans doute rien à desirer; mais, sous le rapport de la pratique, elle n'a pu obtenir l'assentiment unanime des astronomes, qui préfèrent toujours leurs méthodes habituelles, parce qu'elles sont aussi exactes et d'un usage bien plus facile. Ayant eu occasion de traiter le même sujet, dans mon Cours de Géodésie à l'Ecole d'application des Ingénieurs-Géographes, j'ai remarqué que cette méthode de M. Lagrange était non-seulement susceptible d'offrir les mêmes avantages que les autres, et de mériter en outre la préférence pour les éclipses de Soleil, en y faisant les modifications convenables; mais encore de procurer, avec la plus grande facilité, toutes les formules de parallaxes dont ce géomètre n'a pas parlé. C'est ce que je me propose de faire voir ici, à l'aide des considérations les plus simples de la Géométrie analytique, mais le plus rapidement possible. 1. Rapportons les points de l'espace à trois axes rectangles; prenons pour origine des coordonnées le centre de la Terre; pour axe des x celui qui passe par l'équinoxe du printems; pour axe des y la droite située dans l'écliptique et passant par le point du Cancer; enfin pour axe des z la droite passant par le pôle boréal de l'écliptique. Soient en outre x,y,z les coordonnées rectangles du centre d'un astre situé dans l'hémisphère boréal, r sa distance au centre de la Terre, a la longitude de cet astre ou l'angle que la projection du rayon r fait avec l'axe des x, b sa latitude ou l'inclinaison du même rayon sur l'écliptique. On aura, comme l'on sait, x=rcos acos b, y=r sina cos b, z=r sin b. (1) Soient pareillement,, les coordonnées rectangles du point où se trouve un observateur sur la surface de la Terre, et g h la longitude et la latitude du zénit vrai, c'est-à-dire du zénit déterminé par le prolongement du rayon de la Terre, mené par le lieu d'observation. On aura de même = sinh. (2) = cos g cosh, gsing cosh, Enfin prenons le lieu de l'observateur pour l'origine commune de trois autres axes rectangulaires, respectivement parallèles aux primitifs; puis désignons par la distance de l'observateur à l'astre, et par a', b'les latitude et longitude apparentes de cet astre. On aura x=rcos a'cos b', y=r'sin a'cos b', z'=r'sin b'. (3) Or il existera évidemment, entre les coordonnées du lieu vrai et du lieu apparent de l'astre, les relations suivantes : si donc l'on divise successivement la seconde et la troisième équation par la première, et qu'on fasse sin«, » étant alors la plus grande parallaxe de hauteur, on aura Ces formules donnent le lieu apparent en fonction du lieu vrai et de la plus grande parallaxe de hauteur, qu'on nomme ordinairement parallaxe horizontale. Il est plus simple dans la pratique, d'évaluer les parallaxes de longitude et de latitude par le lieu vrai, pour en déduire ensuite le lieu apparent. La première parallaxe est (aa), et la seconde (b'-b). Voici un moyen très-direct pour les obtenir. Formules de parallaxes. 2. La première équation (6) ayant lieu quelle que soit l'origine des longitudes, on peut retrancher de chacune d'elles la même quantité, l'arc a, par exemple; ce qui revient évidemment à changer la direction des axes x, y, en les laissant toutefois dans leur plan primitif. D'après cette remarque, on a sur-le-champ tang (a-a)= cos b sin sin (ag) cos h (7) mais la différence a'a étant toujours très-petite, même pour la Lune, on pourra réduire cette expression en série, et n'en conserver que les termes les plus sensibles; on aura alors, secondes de degré, en Par un raisonnement analogue au précédent, les équations (6) se changent de suite en celles-ci : tang (a’— g) = sin(a-g)cosb cos(a-g)cosb sin T COS h tang b' = cos (ag) (sinb-sin sin h) ensorte qu'en les divisant l'une par l'autre on a sin (d'—g) (tang b ou bien introduisant les distances polaires vraie et apparente, c'est-à-dire faisant b 90°-A, b'=90°— A', il vient sin(ag) (cot A cot A= sin(a-g) Pour tirer de cette formule la valeur de la parallaxe de latitude ou plutôt de distance polaire, savoir, AA, on remarquera que l'on a d'abord sink); sin sin h cot A-cot A' cot A sin(a-g) sin(a-g) enfin sin sin(4+) sin(a-g)sinesinh σ La parallaxe ☛ ne serait pas assez facile à évaluer au moyen de cette équation; mais le calcul par les logarithmes s'effectuera commodément, à l'aide des transformations suivantes. Faisant le premier terme du second membre deuxième terme tangy; on aura sinσ = (tang x tangy) sin (A+); puis développant et divisant par cose, il viendra |