et par suite on aura cette série sin (x-y) sin A Telle est la valeur de la parallaxe de distance polaire. Cette valeur et la précédente (7′) sont dues à M. Delambre. On observera que les formules des parallaxes d'ascension droite et de déclinaison se déduisent sur-le-champ des formules ci-dessus, en y changeant seulement les longitudes en ascensions droites, et les latitudes en déclinaisons, ce qui revient à prendre l'équateur pour le plan des xy. On trouve avec la niême facilité les diverses expressions de la parallaxe de hauteur et celles de la parallaxe annuelle: c'est sur quoi par conséquent inutile d'insister. 3. Dans la pratique, on ne connaît à priori ni la longitude g, ni la latitude h du zénit; mais on déduit ces deux coordonnées circulaires de l'ascension droite de ce point et de sa déclinaison, qui sont données immédiatement par l'observation. En effet, l'ascension droite du zénit est le tems sidéral de l'observation réduit en degrés, à raison de 1 heure pour 15°, lequel est égal à l'ascension droite moyenne du Soleil, plus au tents moyen; et la déclinaison du zénit est égale à la latitude géographique, moins l'angle de la verticale avec le rayon. Or par les principes de la Trigonométrie sphérique on a, en désignant par l'obliquité de l'écliptique, Il suffit, dans la pratique, de faire usage des Tables de logarithmes à 5 décimales, pour calculer, soit le nonagésime g et le complément h de sa hauteur, soit les parallaxes précédentes. 4. Quand les latitudes et longitudes apparentes de deux astres sont connues, on détermine en général leur distance apparente par la formule qui donne le côté d'un triangle sphérique quelconque en fonction des deux autres côtés et de l'angle qu'ils comprennent. Soient, par exemple, a', b' les coordonnées circulaires du lieu apparent d'un astre P, et A, B' celles d'un autre astre : il est évident que l'on aura, en dénotant par D' la distance apparente cherchée, cos D' sin a' sin A' + cosa cos A′ cos (b'—B′), = ou bien, à cause de cos m=1 2 sin2 m il viendra sin2 D' sin2 (a'—') + cos a' cos A′ sin2 (b′— B′), formule qui a lieu quelle que soit la grandeur de D'; mais comme dans le cas des éclipses de Soleil ou des passages des planètes sur cet astre, la distance apparente D'est très-petite, et que de plus la latitude du Soleil est nulle, on conçoit qu'en pareille circonstance la formule précédente est plus facile à évafuer numériquement. Cependant notre but étant d'expliquer et de simplifier la méthode que M. Lagrange a proposée à cet effet, nous ne nous étendrons pas davantage sur cette solution trigonométrique. Détermination de la distance apparente de deux astres, aux approches ou pendant la durée d'une éclipse. 5. Choisissons un nouveau système d'axes rectangulaires x"y"z" ayant toujours pour origine le centre de la Terre; mais supposons l'axe des x" dirigé vers un point arbitraire C de la sphère céleste, dont la latitude et la longitude vraies soient a, 6; puis dénotant par XYZ les angles que cet axe x" fait avec ceux des xyz primitifs; par X'Y'Z' les angles analogues, relativement a l'axe des y"; enfin par X"Y"Z" les angles qui déterminent de même la direction de l'axe des z". Cela posé, si xy, sont dans ce nouveau système d'axes, les coordonnées d'un point quelconque de l'espace, et que x'y'z' soient celles du même point, par rapport au système primitif, on aura visiblement, par la théorie des projections, x = cosx + cost + 2 cosZ Yu = x'cos X' + y'cos Y' + z'cosZ', * = cosx"+ ý cosY" + 2 cosZ" ; mais les arcs X, a, ß forment nécessairement un triangle sphé rique rectangle dont X est l'hypoténuse; de même les arcs Y, 90°-, sont les côtés d'un autre triangle sphérique rectangle, et ainsi de suite; on a donc, en vertu de la propriété de ce triangle, et en supposant l'axe des y" dans le plan de l'écliptique, COSX COS & COSB, cos X' = sina, cos' sina cos ß, cosa, cosX"= - cosasinß, cosZ = sinß, cos Z' = 0, cosZ" = cos ß, auquel cas le plan des x"z" est celui du cercle de latitude du point C. De là et des relations (3) l'on conclut r'cosa cosb'cosacosß +r'sina'cosb'sinacosß+r'sinb'sinß, (a) YF -r'cos a'cos b'sine +r'sin a' cos b' cos α, z=-r'cosa cosb'cosesinß-r'sina'cosb'sinasinß+r'sinl'coss. Or, en menant, par l'origine des coordonnées, une droite égale et parallèle au rayon vecteur apparent d'un astre A, les équations de ce rayon vecteur seront en général celles du rayon vecteur apparent R' de l'astre B seront de même ainsi la tangente trigonométrique de l'angle ' de ces deux rayons ou de la distance angulaire apparente des centres des astres, sera, comme l'on sait (M) tang= √(l'—p′)2+(Q'—q′)+(P'q'—Q'p')* 1 + P′p'+ Q'q' expression dans laquelle il ne s'agirait plus que de remplacer PQ'p'q par leurs valeurs, si elle n'était d'ailleurs susceptible d'être considérablement simplifiée. Mais voyons auparavant quelles sont en général ces valeurs de P'Q'p'q'. D'abord on a p′ = " q= mettant en outre, au lieu de tanga' et et faisant, pour abréger, auquel cas l, m, n et a,, sont les cosinus des angles que le rayon vecteur r et le rayon de la Terre ę font avec les axes xy..> comme il est facile de s'en assurer; on aura définitivement pour l'astre A, et après avoir fait sin pour simplifier, T= en faisant attention résultats que l'on obtient tout d'abord, que rl — çλ, rme, rney sont les projections orthogonales du rayon vecteur apparent sur les mêmes axes des coordonnées. Pareillement, si A,B sont les coordonnées de la position vraie de l'astre B, et qu'on désigne par L,M,N ce que deviennent les relations (b) lorsqu'on y change a en A et b en B; on aura, relativement à ce second astre, étant le sinus de la parallaxe horizontale П. On remarquera que les deux systèmes d'équations (b), (c) satisfont aux relations suivantes : (d) { là +mu+n» ≈ cos (r, p)=cos(g—a)cosbcosh+sinbsinh, et que la méthode analytique actuelle signifie en Géométrie, que les lieux apparens des astres sont projetés perspectivement du centre de la sphère céleste, sur un plan qui la touche au point C. 6. On peut être curieux de trouver l'angle que le plan du grand cercle, passant par les projections des lieux apparens sur le plan tangent, fait avec le cercle de latitude x"z" du point de contact C or cela est très-facile; car soit en général l'équation du plan de ce grand cercle; les coordonnées des deux projections dont il s'agit étant visiblement, en prenant le rayon de la sphère céleste pour unité, ара Supposons maintenant que les projections des deux lieux parens et le point C soient en ligne droite ; on aura alors q'P'Q'p', et de l'expression précédente on tirera = M. Lagrange, en donnant cette valeur particulière de tang 'pour le cas général, a évidemment commis une inadvertance; et la remarque faite à ce sujet, au bas de la page 247 (Connaiss. des Tems, année 1817), ne nous paraît pas tout-à-fait exacte. 7. Toutes les formules de l'art. 5 sont de la plus grande généralité; mais il en est quelques-unes qui se simplifient, lorsque l'astre A, par exemple, est dans la direction de l'axe des x', ou en C. En effet, on a dans ce cas «a, ß=b, et par suite 11, m=0, n=0; enfin ces deux dernières valeurs sont donc l'effet de la parallaxe de l'astre A placé en C. Supposons, au contraire, que l'axe des x" passe par le centre du Soleil B; on aura = =Â ß=B=0, et par conséquent L=1, M=0, No. Quant aux équations (b) (c), "elles' deviennent l= cos(a-A)cosb, m = sin (a—A)cosb, (c') n = sin b, a = cos(g-A)cosh, μsin (g-A)cosh, y = sin h. 8. Malgré ces simplifications, la formule (M) serait encore beaucoup trop compliquée pour la pratique; mais il est aisé de prouver d'abord que, relativement aux éclipses de Soleil, cette formule peut être réduite à celle-ci : (M') tang = √ (p' — P')2 + (q' — Q')3, sans qu'il en résulte une erreur d'un dixième de seconde. Soit dans cette vue, |